16. 计算：
（1）$(a^{2} b^{3})^{-1} ·(a b^{-2})^{2}$；
（2）$x^{2} · x^{4}-(2 x^{3})^{2}+x^{7} ÷ x$.

16. (1)原式$=a^{-2}b^{-3}· a^{2}b^{-4}=a^{0}b^{-7}=\frac{1}{b^{7}}$. (2)原式$=x^{6}-4x^{6}+x^{6}=-2x^{6}$.

17. 已知$2^{m}=3,2^{n}=5$.
（1）求$2^{m+n}$的值.
（2）求$8^{m} ÷ 4^{n}$的值.

17. (1)原式$=2^{m}· 2^{n}=3×5 = 15$. (2)原式$=(2^{3})^{m}÷(2^{2})^{n}=(2^{m})^{3}÷(2^{n})^{2}=3^{3}÷5^{2}=\frac{27}{25}$.

（1）$2^{m+n}=2^{m}·2^{n}=3×5=15$
（2）$8^{m}÷4^{n}=(2^{3})^{m}÷(2^{2})^{n}=(2^{m})^{3}÷(2^{n})^{2}=3^{3}÷5^{2}=\frac{27}{25}$

18. 在幂的运算中规定：若$a^{x}=a^{y}(a＞0$且$a ≠ 1, x 、 y$是正整数$)$，则$x=y$.利用这个结论解答下列问题：
（1）若$4^{x}=2^{8}$，求$x$的值.
（2）若$3^{x+1}-3^{x}=18$，求$x$的值.

18. (1)$\because 4^{x}=2^{8}$，$\therefore (2^{2})^{x}=2^{8}$，$\therefore 2^{2x}=2^{8}$，$\therefore 2x = 8$，$\therefore x = 4$. (2)$\because 3^{x + 1}-3^{x}=18$，$\therefore 3×3^{x}-3^{x}=2×3^{2}$，$\therefore 2×3^{x}=2×3^{2}$，$\therefore x = 2$.

19. 规定$m * n=3^{n} × 3^{m}$.
（1）求$2 * 3$的值.
（2）若$2 *(x+1)=81$，求$x$的值.

19. (1)由题意得$2*3=3^{3}×3^{2}=27×9 = 243$. (2)$\because 2*(x + 1)=81$，$\therefore 3^{x + 1}×3^{2}=3^{4}$，$\therefore x + 1 + 2 = 4$，解得$x = 1$.

20. 阅读下列材料：
若$a$、$b$两数满足$a^{x}=b$，则称$x$为$b$的“对数”，记作$(a, b)=x$，如$4^{2}=16$，所以$(4,16)=2$.
请根据以上规定，回答下列问题：
（1）根据上述规定要求，请完成填空：
$(3,27)=$，$(-2,16)=$，$(-\frac{2}{3}, \_\_\_\_\_\_)=3$.
（2）计算$(5,10)-(5,2)$.

20. (1)3 4 $-\frac{8}{27}$ 解析：$\because 3^{3}=27$，$(-2)^{4}=16$，$\therefore (3,27)=3$，$(-2,16)=4$，$\because (-\frac{2}{3})^{3}=-\frac{8}{27}$，$\therefore (-\frac{2}{3},-\frac{8}{27})=3$. (2)设$(5,10)=p$，$(5,2)=q$，则有$5^{p}=10$，$5^{q}=2$，$\therefore 5^{p}÷5^{q}=5^{p - q}=\frac{10}{2}=5$，$\therefore p - q = 1$，$\therefore (5,10)-(5,2)=1$.

（1）3；4；$-\dfrac{8}{27}$
（2）设$(5,10)=p$，$(5,2)=q$，则$5^{p}=10$，$5^{q}=2$，$\because 5^{p}÷5^{q}=5^{p-q}=\dfrac{10}{2}=5$，$\therefore p-q=1$，即$(5,10)-(5,2)=1$