2. (1)已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x+4}=\frac{m}{x}$与分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x-1}$的解相同，求$m^2 -2m$的值；
(2)先将$(1-\frac{1}{x})÷\frac{x-1}{x^2+2x}$化简，然后请选一个你喜欢的$x$值代入求值。

解：(1) 先解方程$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x-1}$
方程两边同乘$2x(x-1)$，得$3(x-1)=2x$
展开得$3x-3=2x$
解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$2x(x-1)=12≠0$，所以$x=3$是该分式方程的解。
将$x=3$代入$\frac{2}{x+4}=\frac{m}{x}$，得$\frac{2}{3+4}=\frac{m}{3}$
解得$m=\frac{6}{7}$
代入$m^2-2m$计算：
$m^2-2m=(\frac{6}{7})^2 - 2×\frac{6}{7}=\frac{36}{49}-\frac{84}{49}=-\frac{48}{49}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{x})÷\frac{x-1}{x^2+2x}&=\frac{x-1}{x}÷\frac{x-1}{x(x+2)}\\&=\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{x-1}\\&=x+2\end{aligned}$
由分式有意义的条件得$x≠0$，$x≠1$，$x≠-2$，
选取$x=2$代入，得原式$=2+2=4$。

四、解答题
1. 定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么这个分式被称为“美好分式”,如,$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,则$\frac{x+1}{x-1}$是“美好分式”.
(1)下列分式中,是“美好分式”的是.(只填序号)

(2)将“美好分式”$\frac{x^2 -2x +2}{x-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式.
(3)判断$\frac{5x}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2 -1}{x^2 -7x}$的结果是不是“美好分式”,并说明理由.

解：
(1) 对三个分式逐一变形：
① $\frac{2x^6+5}{x^3}=\frac{2x^6}{x^3}+\frac{5}{x^3}=2x^3+\frac{5}{x^3}$，$2x^3$是整式，$\frac{5}{x^3}$的分子为常数5，符合定义；
② $\frac{3x+2}{x^2}$无法写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，不符合定义；
③ $\frac{3x}{x+3}=\frac{3(x+3)-9}{x+3}=3-\frac{9}{x+3}$，3是整式，$\frac{9}{x+3}$的分子为常数9，符合定义。
故答案为：$\boldsymbol{①③}$。
(2) $\frac{x^2-2x+2}{x-1}$
$=\frac{(x^2-2x+1)+1}{x-1}$
$=\frac{(x-1)^2+1}{x-1}$
$=\frac{(x-1)^2}{x-1}+\frac{1}{x-1}$
$=x-1+\frac{1}{x-1}$
(3) 该运算结果是“美好分式”，理由如下：
先化简原式：
$\frac{5x}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2-7x}$
$=\frac{5x}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x-7)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{5x}{x+1}-\frac{x-7}{x+1}$
$=\frac{5x-(x-7)}{x+1}$
$=\frac{4x+7}{x+1}$
将结果变形：
$\frac{4x+7}{x+1}=\frac{4(x+1)+3}{x+1}=4+\frac{3}{x+1}$
其中4是整式，$\frac{3}{x+1}$的分子为常数3，符合“美好分式”的定义，因此该运算结果是“美好分式”。