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7. 若$ a = 2025^0 $，$ b = 14 × 16 - 15^2 $，$ c = (-\dfrac{2}{3})^4 × (\dfrac{3}{2})^5 $，则$ a, b, c $的大小关系是()
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ c ＜ b ＜ a $
D.$ b ＜ c ＜ a $
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ c ＜ b ＜ a $
D.$ b ＜ c ＜ a $
答案
B
解析
分别计算a、b、c的值：
1. 计算a：根据零指数幂性质，非零数的0次幂等于1，得$a=2025^0=1$。
2. 计算b：利用平方差公式变形，$14×16=(15-1)(15+1)=15^2-1$，代入得$b=15^2-1 -15^2=-1$。
3. 计算c：利用积的乘方逆运算，$c=(\frac{2}{3})^4×(\frac{3}{2})^4×\frac{3}{2}=(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^4×\frac{3}{2}=1×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
比较大小得：$-1＜1＜\frac{3}{2}$，即$b＜a＜c$。
1. 计算a：根据零指数幂性质，非零数的0次幂等于1，得$a=2025^0=1$。
2. 计算b：利用平方差公式变形，$14×16=(15-1)(15+1)=15^2-1$，代入得$b=15^2-1 -15^2=-1$。
3. 计算c：利用积的乘方逆运算，$c=(\frac{2}{3})^4×(\frac{3}{2})^4×\frac{3}{2}=(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^4×\frac{3}{2}=1×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
比较大小得：$-1＜1＜\frac{3}{2}$，即$b＜a＜c$。
二、填空题
1. 若式子$\frac{x+2}{|x|-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是。
1. 若式子$\frac{x+2}{|x|-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是。
答案
$x ≠ 2$且$x ≠ -2$
解析
解：要使式子$\frac{x+2}{|x|-2}$在实数范围内有意义，需满足分母不为0，
即$|x| - 2 ≠ 0$，
解得$x ≠ \pm 2$。
即$|x| - 2 ≠ 0$，
解得$x ≠ \pm 2$。
2. 已知$a,b,c$都是实数，且$\sqrt{a-2}+\left|2b+\frac{1}{2}\right|+(c+2a)^2=0$，则$\frac{a-c}{4a+8b}=$ 。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
∵ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$\left|2b+\frac{1}{2}\right| ≥ 0$，$(c+2a)^2 ≥ 0$，且三者之和为0，
∴ 可得：
$a - 2 = 0$，
$2b + \frac{1}{2} = 0$，
$c + 2a = 0$，
解得：
$a = 2$，
$b = -\frac{1}{4}$，
$c = -4$。
将$a=2$，$b=-\frac{1}{4}$，$c=-4$代入$\frac{a-c}{4a+8b}$：
分子：$a - c = 2 - (-4) = 6$，
分母：$4a + 8b = 4×2 + 8×(-\frac{1}{4}) = 8 - 2 = 6$，
∴ $\frac{a-c}{4a+8b} = \frac{6}{6} = 1$。
最终
∵ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$\left|2b+\frac{1}{2}\right| ≥ 0$，$(c+2a)^2 ≥ 0$，且三者之和为0，
∴ 可得：
$a - 2 = 0$，
$2b + \frac{1}{2} = 0$，
$c + 2a = 0$，
解得：
$a = 2$，
$b = -\frac{1}{4}$，
$c = -4$。
将$a=2$，$b=-\frac{1}{4}$，$c=-4$代入$\frac{a-c}{4a+8b}$：
分子：$a - c = 2 - (-4) = 6$，
分母：$4a + 8b = 4×2 + 8×(-\frac{1}{4}) = 8 - 2 = 6$，
∴ $\frac{a-c}{4a+8b} = \frac{6}{6} = 1$。
最终
3. A,B两种机器人都被用来搬运原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运3000千克,A型机器人搬运4500千克所用的时间与B型机器人搬运3000千克所用的时间相等.设B型机器人每小时搬运x千克原料,则符合题意的方程是.
答案
$\boldsymbol{\frac{4500}{x+300}=\frac{3000}{x}}$
解析
解：
已知B型机器人每小时搬运$x$千克原料，
则A型机器人每小时搬运$(x+300)$千克原料。
A型机器人搬运4500千克所用时间为$\frac{4500}{x+300}$小时，
B型机器人搬运3000千克所用时间为$\frac{3000}{x}$小时。
由两类机器人所用时间相等，可得方程：
$\frac{4500}{x+300}=\frac{3000}{x}$
最终
已知B型机器人每小时搬运$x$千克原料，
则A型机器人每小时搬运$(x+300)$千克原料。
A型机器人搬运4500千克所用时间为$\frac{4500}{x+300}$小时，
B型机器人搬运3000千克所用时间为$\frac{3000}{x}$小时。
由两类机器人所用时间相等，可得方程：
$\frac{4500}{x+300}=\frac{3000}{x}$
最终
4. 若用去分母的方法解关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{kx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$时有增根，则$k=$.
答案
解：
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$2(x+2) + kx = 3(x-2)$
该分式方程的增根为使最简公分母$(x+2)(x-2)=0$的根，即$x=2$或$x=-2$。
① 将$x=2$代入上述整式方程：
$2×(2+2) + 2k = 3×(2-2)$
$8 + 2k = 0$
解得$k=-4$
② 将$x=-2$代入上述整式方程：
$2×(-2+2) + (-2)k = 3×(-2-2)$
$-2k = -12$
解得$k=6$
综上，$k=-4$或$6$。
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$2(x+2) + kx = 3(x-2)$
该分式方程的增根为使最简公分母$(x+2)(x-2)=0$的根，即$x=2$或$x=-2$。
① 将$x=2$代入上述整式方程：
$2×(2+2) + 2k = 3×(2-2)$
$8 + 2k = 0$
解得$k=-4$
② 将$x=-2$代入上述整式方程：
$2×(-2+2) + (-2)k = 3×(-2-2)$
$-2k = -12$
解得$k=6$
综上，$k=-4$或$6$。
三、计算题
1. 计算：
(1) $-1^{2026} - |-2| + (3.14 - π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2) $\dfrac{2y}{3x} · (\dfrac{3x}{y})^2 ÷ \dfrac{x^3}{y^2}$。
1. 计算：
(1) $-1^{2026} - |-2| + (3.14 - π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2) $\dfrac{2y}{3x} · (\dfrac{3x}{y})^2 ÷ \dfrac{x^3}{y^2}$。
答案
解：
(1) 原式 = $-1 - 2 + 1 + (-3)$
$= -1 - 2 + 1 - 3$
$= -5$
(2) 原式 = $\dfrac{2y}{3x} · \dfrac{9x^2}{y^2} · \dfrac{y^2}{x^3}$
$= \dfrac{2y · 9x^2 · y^2}{3x · y^2 · x^3}$
$= \dfrac{6y}{x^2}$
(1) 原式 = $-1 - 2 + 1 + (-3)$
$= -1 - 2 + 1 - 3$
$= -5$
(2) 原式 = $\dfrac{2y}{3x} · \dfrac{9x^2}{y^2} · \dfrac{y^2}{x^3}$
$= \dfrac{2y · 9x^2 · y^2}{3x · y^2 · x^3}$
$= \dfrac{6y}{x^2}$
