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1. 某渔民捕捞了一些春虾,从中抽取了10尾春虾,其长度(单位:cm)如下:8.8,8.6,9.1,9.2,8.9,8.9,9.3,8.9,9.4,8.9.利用计算器计算被抽取的这组数据的方差是 （
A.$0.72\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$0.054\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$0.045\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$0.076\ \mathrm{cm}^{2}$
B
）A.$0.72\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$0.054\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$0.045\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$0.076\ \mathrm{cm}^{2}$
答案
1. B
解析
【分析】要计算这组数据的方差，需遵循方差的计算步骤：先求出数据的平均数，再利用方差公式计算每个数据与平均数差的平方和，最后除以数据个数得到方差，再对应选项选出答案。
【解析】首先计算这10尾春虾长度的平均数：$\bar{x}=\frac{1}{10}(8.8+8.6+9.1+9.2+8.9+8.9+9.3+8.9+9.4+8.9)=\frac{90}{10}=9$（cm）。根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入数据计算：
$(8.8-9)^2=0.04$，$(8.6-9)^2=0.16$，$(9.1-9)^2=0.01$，$(9.2-9)^2=0.04$，$(8.9-9)^2=0.01$（共4个，总和为$4×0.01=0.04$），$(9.3-9)^2=0.09$，$(9.4-9)^2=0.16$。
所有平方和为：$0.04+0.16+0.01+0.04+0.04+0.09+0.16=0.54$，因此方差$s^2=\frac{0.54}{10}=0.054\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查统计中基础的方差计算，核心是掌握平均数和方差的公式，计算时需注意求和与平方运算的准确性，属于巩固统计知识的基础题。
【难度系数】0.6
【解析】首先计算这10尾春虾长度的平均数：$\bar{x}=\frac{1}{10}(8.8+8.6+9.1+9.2+8.9+8.9+9.3+8.9+9.4+8.9)=\frac{90}{10}=9$（cm）。根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入数据计算：
$(8.8-9)^2=0.04$，$(8.6-9)^2=0.16$，$(9.1-9)^2=0.01$，$(9.2-9)^2=0.04$，$(8.9-9)^2=0.01$（共4个，总和为$4×0.01=0.04$），$(9.3-9)^2=0.09$，$(9.4-9)^2=0.16$。
所有平方和为：$0.04+0.16+0.01+0.04+0.04+0.09+0.16=0.54$，因此方差$s^2=\frac{0.54}{10}=0.054\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查统计中基础的方差计算，核心是掌握平均数和方差的公式，计算时需注意求和与平方运算的准确性，属于巩固统计知识的基础题。
【难度系数】0.6
2. 某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10 mm 的精密零件的技术比赛,随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件,测得的结果如下表. 请你用计算器比较 $s_{甲}^{2},s_{乙}^{2}$ 的大小（
A.$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$
B.$s_{甲}^{2}=s_{乙}^{2}$
C.$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$
D.$s_{甲}^{2}≤ s_{乙}^{2}$
A
）A.$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$
B.$s_{甲}^{2}=s_{乙}^{2}$
C.$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$
D.$s_{甲}^{2}≤ s_{乙}^{2}$
答案
2. A
解析
【分析】要比较甲、乙两名车工加工零件直径的方差大小，需先分别计算两组数据的平均数，再根据方差公式计算各自的方差，最后比较方差的大小（方差反映数据的波动程度，方差越大，数据波动越大）。
【解析】
1. 计算甲、乙两组数据的平均数：
甲的5个数据为：10.05、10.02、9.97、9.96、10，
$\overline{x}_甲=\frac{10.05+10.02+9.97+9.96+10}{5}=\frac{50}{5}=10$；
乙的5个数据为：10、10.01、10.02、9.97、10，
$\overline{x}_乙=\frac{10+10.01+10.02+9.97+10}{5}=\frac{50}{5}=10$。
2. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{5}[(10.05-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(9.96-10)^2+(10-10)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.05^2+0.02^2+(-0.03)^2+(-0.04)^2+0^2]$
$=\frac{1}{5}(0.0025+0.0004+0.0009+0.0016+0)=\frac{0.0054}{5}=0.00108$；
乙的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{5}[(10-10)^2+(10.01-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(10-10)^2]$
$=\frac{1}{5}[0^2+0.01^2+0.02^2+(-0.03)^2+0^2]$
$=\frac{1}{5}(0+0.0001+0.0004+0.0009+0)=\frac{0.0014}{5}=0.00028$；
3. 比较方差大小：$0.00108＞0.00028$，即$s_甲^2＞s_乙^2$。
【答案】A
【知识点】方差计算、平均数与方差
【点评】本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，通过计算两组数据的方差比较波动程度，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.3
【解析】
1. 计算甲、乙两组数据的平均数：
甲的5个数据为：10.05、10.02、9.97、9.96、10，
$\overline{x}_甲=\frac{10.05+10.02+9.97+9.96+10}{5}=\frac{50}{5}=10$；
乙的5个数据为：10、10.01、10.02、9.97、10，
$\overline{x}_乙=\frac{10+10.01+10.02+9.97+10}{5}=\frac{50}{5}=10$。
2. 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{5}[(10.05-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(9.96-10)^2+(10-10)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.05^2+0.02^2+(-0.03)^2+(-0.04)^2+0^2]$
$=\frac{1}{5}(0.0025+0.0004+0.0009+0.0016+0)=\frac{0.0054}{5}=0.00108$；
乙的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{5}[(10-10)^2+(10.01-10)^2+(10.02-10)^2+(9.97-10)^2+(10-10)^2]$
$=\frac{1}{5}[0^2+0.01^2+0.02^2+(-0.03)^2+0^2]$
$=\frac{1}{5}(0+0.0001+0.0004+0.0009+0)=\frac{0.0014}{5}=0.00028$；
3. 比较方差大小：$0.00108＞0.00028$，即$s_甲^2＞s_乙^2$。
【答案】A
【知识点】方差计算、平均数与方差
【点评】本题考查方差的计算，核心是掌握方差公式，通过计算两组数据的方差比较波动程度，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.3
3. 在一次爱心捐款活动中,某班 50 名学生积极捐款,其中 5 人每人捐款 5 元,8 人每人捐款 15 元,12 人每人捐款 25 元,18 人每人捐款 35 元,7 人每人捐款 45 元,则该班50 名学生捐款金额的方差为
140.16
元$^{2}$.答案
3. 140.16
解析
【分析】
要计算该班50名学生捐款金额的方差，需分两步：第一步，先计算捐款金额的加权平均数；第二步，利用加权方差公式计算方差。加权平均数通过总捐款数除以总人数得到，加权方差是各捐款数与平均数差值的平方乘以对应人数，求和后再除以总人数。
【解析】
1. 计算加权平均数：
总捐款数 = $5×5 + 8×15 + 12×25 + 18×35 + 7×45 = 25 + 120 + 300 + 630 + 315 = 1390$（元）
平均数$\bar{x} = 1390÷50 = 27.8$（元）
2. 计算方差：
加权方差公式为$S^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{n}$，代入数据：
$\begin{aligned}S^2&=\frac{5×(5-27.8)^2 + 8×(15-27.8)^2 + 12×(25-27.8)^2 + 18×(35-27.8)^2 + 7×(45-27.8)^2}{50}\\&=\frac{5×519.84 + 8×163.84 + 12×7.84 + 18×51.84 + 7×295.84}{50}\\&=\frac{2599.2 + 1310.72 + 94.08 + 933.12 + 2070.88}{50}\\&=\frac{7008}{50}=140.16\end{aligned}$
【答案】
140.16
【知识点】
加权平均数、方差计算
【点评】
本题考查加权平均数与方差的实际应用，需牢记加权方差公式，计算时注意数值运算的准确性，步骤清晰即可正确求解。
【难度系数】
0.3
要计算该班50名学生捐款金额的方差，需分两步：第一步，先计算捐款金额的加权平均数；第二步，利用加权方差公式计算方差。加权平均数通过总捐款数除以总人数得到，加权方差是各捐款数与平均数差值的平方乘以对应人数，求和后再除以总人数。
【解析】
1. 计算加权平均数：
总捐款数 = $5×5 + 8×15 + 12×25 + 18×35 + 7×45 = 25 + 120 + 300 + 630 + 315 = 1390$（元）
平均数$\bar{x} = 1390÷50 = 27.8$（元）
2. 计算方差：
加权方差公式为$S^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{n}$，代入数据：
$\begin{aligned}S^2&=\frac{5×(5-27.8)^2 + 8×(15-27.8)^2 + 12×(25-27.8)^2 + 18×(35-27.8)^2 + 7×(45-27.8)^2}{50}\\&=\frac{5×519.84 + 8×163.84 + 12×7.84 + 18×51.84 + 7×295.84}{50}\\&=\frac{2599.2 + 1310.72 + 94.08 + 933.12 + 2070.88}{50}\\&=\frac{7008}{50}=140.16\end{aligned}$
【答案】
140.16
【知识点】
加权平均数、方差计算
【点评】
本题考查加权平均数与方差的实际应用，需牢记加权方差公式，计算时注意数值运算的准确性，步骤清晰即可正确求解。
【难度系数】
0.3
4. 给定一组数据:1,1,4,4,4,7,7.
(1) 请你估计一下这组数据的平均数、方差各是多少.
(2) 用计算器计算这组数据的平均数、方差,与你的估计值进行比较,你的估计是否准确?
(1) 请你估计一下这组数据的平均数、方差各是多少.
(2) 用计算器计算这组数据的平均数、方差,与你的估计值进行比较,你的估计是否准确?
答案
4. 解:(1) 估计这组数据的平均数是4、方差是5.
(2) 平均数为$(1+1+4+4+4+7+7)÷7=4$,方差为$\frac{1}{7}×[2×(1-4)^2+3×(4-4)^2+2×(7-4)^2]=\frac{36}{7}$. 与估计值进行比较,估计基本准确.
(2) 平均数为$(1+1+4+4+4+7+7)÷7=4$,方差为$\frac{1}{7}×[2×(1-4)^2+3×(4-4)^2+2×(7-4)^2]=\frac{36}{7}$. 与估计值进行比较,估计基本准确.
解析
【分析】首先，对于平均数的估计，观察数据中各数值的出现次数：1出现2次，4出现3次，7出现2次，中间值且出现次数最多的是4，因此可初步估计平均数为4；对于方差的估计，方差反映数据的波动程度，1和7与平均数4的偏离程度相同，估算总偏离平方和约为35，除以数据个数7得约5，故估计方差为5。计算时，平均数为所有数据之和除以数据个数，方差为各数据与平均数差的平方的平均数（需按各数据出现次数加权计算），再将计算结果与估计值对比，判断估计是否准确。
【解析】(1) 观察数据分布：1出现2次，4出现3次，7出现2次，中间位置且出现次数最多的数是4，因此估计这组数据的平均数为4；方差反映数据波动，估算数据与平均数的总偏离平方和约为35，除以7得约5，故估计方差为5。
(2) 计算平均数：数据总和为$1+1+4+4+4+7+7=28$，数据个数为7，因此平均数$=28÷7=4$；
计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}×[2×(1-4)^2 + 3×(4-4)^2 + 2×(7-4)^2]=\frac{1}{7}×(18+0+18)=\frac{36}{7}$；
将计算结果与估计值比较，平均数估计值与计算值一致，方差估计值5与计算值$\frac{36}{7}≈5.14$接近，故估计基本准确。
【答案】(1) 估计平均数为4，方差为5；(2) 平均数为4，方差为$\frac{36}{7}$，估计基本准确。
【知识点】平均数，方差
【点评】本题考查统计中平均数与方差的估计及精确计算，通过观察数据分布可初步估算，再通过公式精确计算验证，体现了统计学习中估算与精确计算的结合，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 观察数据分布：1出现2次，4出现3次，7出现2次，中间位置且出现次数最多的数是4，因此估计这组数据的平均数为4；方差反映数据波动，估算数据与平均数的总偏离平方和约为35，除以7得约5，故估计方差为5。
(2) 计算平均数：数据总和为$1+1+4+4+4+7+7=28$，数据个数为7，因此平均数$=28÷7=4$；
计算方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}×[2×(1-4)^2 + 3×(4-4)^2 + 2×(7-4)^2]=\frac{1}{7}×(18+0+18)=\frac{36}{7}$；
将计算结果与估计值比较，平均数估计值与计算值一致，方差估计值5与计算值$\frac{36}{7}≈5.14$接近，故估计基本准确。
【答案】(1) 估计平均数为4，方差为5；(2) 平均数为4，方差为$\frac{36}{7}$，估计基本准确。
【知识点】平均数，方差
【点评】本题考查统计中平均数与方差的估计及精确计算，通过观察数据分布可初步估算，再通过公式精确计算验证，体现了统计学习中估算与精确计算的结合，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
5. 为了进一步推动阳光体育运动,提高学生身体素质,今年5月学校举行健美操比赛,最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛.团体决赛需要分别进行五个单项比赛,计分规则如下表:
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析,并绘制统计图表,部分信息如下:
丙班五个单项得分表
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 已知丙班第二个单项比赛中,五名裁判的打分分别为 80,84,86,83,82,求丙班第二个单项的得分 m.
(2) 若团体最终成绩相同,则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前,那么获得团体比赛冠军的是
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析,并绘制统计图表,部分信息如下:
丙班五个单项得分表
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 已知丙班第二个单项比赛中,五名裁判的打分分别为 80,84,86,83,82,求丙班第二个单项的得分 m.
(2) 若团体最终成绩相同,则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前,那么获得团体比赛冠军的是
乙
班(填“甲”“乙”或“丙”).答案
5. 解:(1) 去掉最高分 86 分,最低分 80 分后,$m=\frac{1}{3}×(84+83+82)=83$(分),所以丙班第二个单项得分为 83 分.
(2) 乙 提示:甲班团体最终成绩为 $80+83+98+92+93=446$(分),用计算器计算甲班五个单项得分的方差为 44.56 分$^2$;乙班团体最终成绩为$84+88+93+86+95=446$(分),乙班的方差为17.36 分$^2$;丙班团体最终成绩为 $78+83+94+90+92=437$(分). 因为 $437＜446,44.56＞17.36$,所以乙班获得团体比赛冠军.
(2) 乙 提示:甲班团体最终成绩为 $80+83+98+92+93=446$(分),用计算器计算甲班五个单项得分的方差为 44.56 分$^2$;乙班团体最终成绩为$84+88+93+86+95=446$(分),乙班的方差为17.36 分$^2$;丙班团体最终成绩为 $78+83+94+90+92=437$(分). 因为 $437＜446,44.56＞17.36$,所以乙班获得团体比赛冠军.
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先明确计分规则：单项得分是去掉一个最高分和一个最低分后的平均分；团体冠军需先比较总分，若总分相同则比较方差（方差越小，数据稳定性越好）。第(1)问需先找出给定分数的最高、最低分，去掉后计算剩余分数的平均数；第(2)问需分别计算三个班的团体总分和方差，再根据规则判断冠军。
【解析】
(1) 丙班第二个单项的打分是80,84,86,83,82，其中最高分是86，最低分是80，去掉这两个分数后，剩余分数为84,83,82，因此得分$ m = \frac{84 + 83 + 82}{3} = 83 $分。
(2) 分别计算三个班的团体总分：
甲班总分：$ 80 + 83 + 98 + 92 + 93 = 446 $分；
乙班总分：$ 84 + 88 + 93 + 86 + 95 = 446 $分；
丙班总分：$ 78 + 83 + 94 + 90 + 92 = 437 $分；
因为$ 437 ＜ 446 $，丙班总分最低，排除。
再计算方差（反映稳定性）：甲班方差为44.56分²，乙班方差为17.36分²，由于$ 17.36 ＜ 44.56 $，乙班稳定性更好，因此获得团体比赛冠军的是乙班。
【答案】
(1) 83分；(2) 乙
【知识点】
平均数、方差、统计量的应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查了平均数和方差的实际应用，需准确掌握统计量的计算方法，理解方差越小数据越稳定的性质，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，首先明确计分规则：单项得分是去掉一个最高分和一个最低分后的平均分；团体冠军需先比较总分，若总分相同则比较方差（方差越小，数据稳定性越好）。第(1)问需先找出给定分数的最高、最低分，去掉后计算剩余分数的平均数；第(2)问需分别计算三个班的团体总分和方差，再根据规则判断冠军。
【解析】
(1) 丙班第二个单项的打分是80,84,86,83,82，其中最高分是86，最低分是80，去掉这两个分数后，剩余分数为84,83,82，因此得分$ m = \frac{84 + 83 + 82}{3} = 83 $分。
(2) 分别计算三个班的团体总分：
甲班总分：$ 80 + 83 + 98 + 92 + 93 = 446 $分；
乙班总分：$ 84 + 88 + 93 + 86 + 95 = 446 $分；
丙班总分：$ 78 + 83 + 94 + 90 + 92 = 437 $分；
因为$ 437 ＜ 446 $，丙班总分最低，排除。
再计算方差（反映稳定性）：甲班方差为44.56分²，乙班方差为17.36分²，由于$ 17.36 ＜ 44.56 $，乙班稳定性更好，因此获得团体比赛冠军的是乙班。
【答案】
(1) 83分；(2) 乙
【知识点】
平均数、方差、统计量的应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查了平均数和方差的实际应用，需准确掌握统计量的计算方法，理解方差越小数据越稳定的性质，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7
