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1. 甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练,成绩(单位:环)如下表所示:
则三名运动员中成绩最稳定的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
则三名运动员中成绩最稳定的是 （
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】要判断三名运动员中成绩最稳定的，需利用方差的意义：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定。因此需分别计算甲、乙、丙三人成绩的方差，比较方差大小，方差最小的即为成绩最稳定的。
【解析】1. 计算三人成绩的平均数：
甲的平均数：$\bar{x}_甲 = \frac{9.7+9.7+9.6+9.7+9.7}{5} = 9.68$；
乙的平均数：$\bar{x}_乙 = \frac{9.9+9.8+10+9.4+9.3}{5} = 9.68$；
丙的平均数：$\bar{x}_丙 = \frac{10+9.8+9.6+9.5+9.5}{5} = 9.68$；
2. 计算三人成绩的方差：
甲的方差：$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9.7-9.68)^2×4 + (9.6-9.68)^2] = \frac{1}{5}(0.0016 + 0.0064) = 0.0016$；
乙的方差：$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(9.9-9.68)^2 + (9.8-9.68)^2 + (10-9.68)^2 + (9.4-9.68)^2 + (9.3-9.68)^2] = \frac{1}{5}(0.0484+0.0144+0.1024+0.0784+0.1444) = 0.0776$；
丙的方差：$s^2_丙 = \frac{1}{5}[(10-9.68)^2 + (9.8-9.68)^2 + (9.6-9.68)^2 + (9.5-9.68)^2×2] = \frac{1}{5}(0.1024+0.0144+0.0064+0.0648) = 0.0376$；
3. 比较方差大小：$s^2_甲 ＜ s^2_丙 ＜ s^2_乙$，因此甲的成绩最稳定。
【答案】A
【知识点】方差、数据稳定性
【点评】本题考查方差的实际应用，核心是理解方差反映数据波动程度，计算时需准确运用方差公式，属于基础统计题。
【难度系数】0.3
【解析】1. 计算三人成绩的平均数：
甲的平均数：$\bar{x}_甲 = \frac{9.7+9.7+9.6+9.7+9.7}{5} = 9.68$；
乙的平均数：$\bar{x}_乙 = \frac{9.9+9.8+10+9.4+9.3}{5} = 9.68$；
丙的平均数：$\bar{x}_丙 = \frac{10+9.8+9.6+9.5+9.5}{5} = 9.68$；
2. 计算三人成绩的方差：
甲的方差：$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9.7-9.68)^2×4 + (9.6-9.68)^2] = \frac{1}{5}(0.0016 + 0.0064) = 0.0016$；
乙的方差：$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(9.9-9.68)^2 + (9.8-9.68)^2 + (10-9.68)^2 + (9.4-9.68)^2 + (9.3-9.68)^2] = \frac{1}{5}(0.0484+0.0144+0.1024+0.0784+0.1444) = 0.0776$；
丙的方差：$s^2_丙 = \frac{1}{5}[(10-9.68)^2 + (9.8-9.68)^2 + (9.6-9.68)^2 + (9.5-9.68)^2×2] = \frac{1}{5}(0.1024+0.0144+0.0064+0.0648) = 0.0376$；
3. 比较方差大小：$s^2_甲 ＜ s^2_丙 ＜ s^2_乙$，因此甲的成绩最稳定。
【答案】A
【知识点】方差、数据稳定性
【点评】本题考查方差的实际应用，核心是理解方差反映数据波动程度，计算时需准确运用方差公式，属于基础统计题。
【难度系数】0.3
2. 第 1 组数据为 0,0,0,1,1,1; 第 2 组数据为
$\overbrace{0,0,···,0}^{m\mathrm{个}0}\overbrace{1,1,···,1}^{n\mathrm{个}1}$, 其中 $m,n$ 是正整数.
现有下列结论: ①当 $m=n$ 时, 两组数据的平均数相等; ②当 $m＞n$ 时, 第 1 组数据的平均数小于第 2 组数据的平均数; ③当$m＜n$ 时, 第 2 组数据的中位数小于第 2 组数据的中位数; ④当 $m=n$ 时, 第 2 组数据的方差小于第 1 组数据的方差. 其中正确的是（
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
$\overbrace{0,0,···,0}^{m\mathrm{个}0}\overbrace{1,1,···,1}^{n\mathrm{个}1}$, 其中 $m,n$ 是正整数.
现有下列结论: ①当 $m=n$ 时, 两组数据的平均数相等; ②当 $m＞n$ 时, 第 1 组数据的平均数小于第 2 组数据的平均数; ③当$m＜n$ 时, 第 2 组数据的中位数小于第 2 组数据的中位数; ④当 $m=n$ 时, 第 2 组数据的方差小于第 1 组数据的方差. 其中正确的是（
B
）A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
B 提示:第1组数据的平均数为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$;第2组数据的平均数为$\frac{n}{m+n}$. 当$m=n$时,$\frac{n}{m+n}=\frac{1}{2}$;当$m＞n$时,$m+n＞2n$,$\frac{n}{m+n}＜\frac{1}{2}$.故①正确,②错误.
第1组数据的中位数为$\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$.当$m＜n$时,若$m+n$为奇数,中位数为1;若$m+n$为偶数,中位数为1.故第2组数据的中位数为1,故③正确.第1组数据的方差为$s_1^2=\frac{1}{4}$.当$m=n$时,第2组数据的方差为$s_2^2=\frac{1}{m+n}[m(0-\frac{1}{2})^2+n(1-\frac{1}{2})^2]=\frac{1}{4}$,故④错误.
第1组数据的中位数为$\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$.当$m＜n$时,若$m+n$为奇数,中位数为1;若$m+n$为偶数,中位数为1.故第2组数据的中位数为1,故③正确.第1组数据的方差为$s_1^2=\frac{1}{4}$.当$m=n$时,第2组数据的方差为$s_2^2=\frac{1}{m+n}[m(0-\frac{1}{2})^2+n(1-\frac{1}{2})^2]=\frac{1}{4}$,故④错误.
解析
【分析】
要判断四个结论的正确性，需先分别计算两组数据的平均数、中位数、方差，再结合m、n的关系逐一验证结论，最终确定正确选项。
【解析】
1. 计算第1组数据（0,0,0,1,1,1）的统计量：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{0×3 + 1×3}{6}=\frac{1}{2}$；
中位数：共6个数据，中间两个数为0和1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$；
方差：$s_1^2=\frac{3×(0-\frac{1}{2})^2 + 3×(1-\frac{1}{2})^2}{6}=\frac{1}{4}$。
2. 计算第2组数据（m个0，n个1）的统计量：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{0×m +1×n}{m+n}=\frac{n}{m+n}$；
中位数：当$m＜n$时，数据总数$m+n$中，前m个为0、后n个为1，中间位置的数必为1，故中位数为1；
当$m=n$时，方差：$s_2^2=\frac{m×(0-\frac{1}{2})^2 +n×(1-\frac{1}{2})^2}{m+n}=\frac{1}{4}$。
3. 逐一判断结论：
①当$m=n$时，$\bar{x}_2=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}=\bar{x}_1$，故①正确；
②当$m＞n$时，$\bar{x}_2=\frac{n}{m+n}＜\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}=\bar{x}_1$，即第1组平均数大于第2组，故②错误；
③当$m＜n$时，第2组中位数为1，第1组中位数为$\frac{1}{2}$，故第2组中位数小于第1组，③正确；
④当$m=n$时，第2组方差$s_2^2=\frac{1}{4}=s_1^2$，故④错误。
综上，正确结论为①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需准确掌握平均数、中位数、方差的定义，结合参数关系分析结论，是统计基础题型。
【难度系数】
0.5
要判断四个结论的正确性，需先分别计算两组数据的平均数、中位数、方差，再结合m、n的关系逐一验证结论，最终确定正确选项。
【解析】
1. 计算第1组数据（0,0,0,1,1,1）的统计量：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{0×3 + 1×3}{6}=\frac{1}{2}$；
中位数：共6个数据，中间两个数为0和1，故中位数为$\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$；
方差：$s_1^2=\frac{3×(0-\frac{1}{2})^2 + 3×(1-\frac{1}{2})^2}{6}=\frac{1}{4}$。
2. 计算第2组数据（m个0，n个1）的统计量：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{0×m +1×n}{m+n}=\frac{n}{m+n}$；
中位数：当$m＜n$时，数据总数$m+n$中，前m个为0、后n个为1，中间位置的数必为1，故中位数为1；
当$m=n$时，方差：$s_2^2=\frac{m×(0-\frac{1}{2})^2 +n×(1-\frac{1}{2})^2}{m+n}=\frac{1}{4}$。
3. 逐一判断结论：
①当$m=n$时，$\bar{x}_2=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}=\bar{x}_1$，故①正确；
②当$m＞n$时，$\bar{x}_2=\frac{n}{m+n}＜\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}=\bar{x}_1$，即第1组平均数大于第2组，故②错误；
③当$m＜n$时，第2组中位数为1，第1组中位数为$\frac{1}{2}$，故第2组中位数小于第1组，③正确；
④当$m=n$时，第2组方差$s_2^2=\frac{1}{4}=s_1^2$，故④错误。
综上，正确结论为①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需准确掌握平均数、中位数、方差的定义，结合参数关系分析结论，是统计基础题型。
【难度系数】
0.5
3. 将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)投掷 5 次,分别记录每次骰子向上的一面出现的数字. 根据下面的统计结果,能判断记录的这 5 个数字中一定没有出现数字 6 的是 （
A.中位数是 3,众数是 2
B.平均数是 3,中位数是 2
C.平均数是 3,方差是 2
D.平均数是 3,众数是 2
C
）A.中位数是 3,众数是 2
B.平均数是 3,中位数是 2
C.平均数是 3,方差是 2
D.平均数是 3,众数是 2
答案
C 提示:本题可采用举反例和排除法解答.对于选项A,如2,2,3,4,6;对于选项B和D,如2,2,2,3,6;对于选项C,由方差为$\frac{1}{5}[(x_1-3)^2+(x_2-3)^2+\dots+(x_5-3)^2]=2$可知,这5个数字中至多出现一次6,不妨记$x_5=6$,则$(x_1-3)^2+(x_2-3)^2+\dots+(x_4-3)^2=1$.所以其余4个数字只能为2,3,3,3或3,3,3,4.又因为$x_1+x_2+x_3+x_4+6=3×5=15$,即$x_1+x_2+x_3+x_4=9$,而$2+3+3+3=11≠9$,$3+3+3+4=13≠9$,所以这5个数字中一定没有出现数字6.
解析
【分析】
要判断5个数字中是否一定没有出现数字6，需结合各统计量的定义与公式，对每个选项逐一分析：对A、B、D选项，可通过举反例说明存在6的情况从而排除；对C选项，利用平均数和方差的公式推导，验证是否可能出现6。
【解析】
1. 选项A：中位数是3，说明5个数排序后第3个数为3；众数是2，说明2出现次数最多（至少2次）。举反例：2,2,3,4,6，满足中位数3、众数2，且含6，故A不符合要求。
2. 选项B：平均数为3，则5个数总和为$3×5=15$；中位数是2，说明排序后第3个数为2。举反例：2,2,2,3,6，总和15，中位数2，且含6，故B不符合要求。
3. 选项D：与选项B条件相同，反例同样适用，故D不符合要求。
4. 选项C：平均数为3，总和为15；方差为2，根据方差公式：
$\frac{1}{5}[(x_1-3)^2+(x_2-3)^2+(x_3-3)^2+(x_4-3)^2+(x_5-3)^2]=2$
得5个数据的平方和为10。假设存在6，则$(6-3)^2=9$，剩余4个数据的平方和为$10-9=1$。骰子数字为1~6，每个数减3的平方可能为：0（对应3）、1（对应2或4）、4（对应1或5）、9（对应6）。要使4个数的平方和为1，只能是1个2或4，其余3个为3，此时这4个数的和为$2+3+3+3=11$或$4+3+3+3=13$，加上6后总和为$11+6=17$或$13+6=19$，均不等于15，矛盾，故不可能出现6，C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
统计量（中位数、众数、平均数、方差）
【点评】
本题考查统计量的综合应用，需结合举反例和公式推导判断，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要判断5个数字中是否一定没有出现数字6，需结合各统计量的定义与公式，对每个选项逐一分析：对A、B、D选项，可通过举反例说明存在6的情况从而排除；对C选项，利用平均数和方差的公式推导，验证是否可能出现6。
【解析】
1. 选项A：中位数是3，说明5个数排序后第3个数为3；众数是2，说明2出现次数最多（至少2次）。举反例：2,2,3,4,6，满足中位数3、众数2，且含6，故A不符合要求。
2. 选项B：平均数为3，则5个数总和为$3×5=15$；中位数是2，说明排序后第3个数为2。举反例：2,2,2,3,6，总和15，中位数2，且含6，故B不符合要求。
3. 选项D：与选项B条件相同，反例同样适用，故D不符合要求。
4. 选项C：平均数为3，总和为15；方差为2，根据方差公式：
$\frac{1}{5}[(x_1-3)^2+(x_2-3)^2+(x_3-3)^2+(x_4-3)^2+(x_5-3)^2]=2$
得5个数据的平方和为10。假设存在6，则$(6-3)^2=9$，剩余4个数据的平方和为$10-9=1$。骰子数字为1~6，每个数减3的平方可能为：0（对应3）、1（对应2或4）、4（对应1或5）、9（对应6）。要使4个数的平方和为1，只能是1个2或4，其余3个为3，此时这4个数的和为$2+3+3+3=11$或$4+3+3+3=13$，加上6后总和为$11+6=17$或$13+6=19$，均不等于15，矛盾，故不可能出现6，C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
统计量（中位数、众数、平均数、方差）
【点评】
本题考查统计量的综合应用，需结合举反例和公式推导判断，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
4. 若一组数据 2,3,4,5,x 的方差比另一组数据 5,6,7,8,9 的方差小,则 x 的值可以为
2
(写出一个满足条件的值).答案
2(答案不唯一) 提示:数据5,6,7,8,9中,每相邻2个数相差1,数据2,3,4,5,x中,前4个数据每相邻2个数也相差1,所以当$x=1$或$x=6$时,两组数据的方差相等.因为数据2,3,4,5,x的方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差小,所以$1＜x＜6$,所以x在1至6范围内(不包含1,6)任取一数即可.
解析
【分析】
首先明确方差的意义：方差用于衡量一组数据的波动（离散）程度，波动越小，方差越小。先观察数据5,6,7,8,9，这是公差为1的等差数列，其波动固定；再看数据2,3,4,5,x，前4个数也是公差为1的等差数列，当x取1或6时，该组数据也成为公差为1的等差数列，此时两组数据方差相等。要使数据2,3,4,5,x的方差更小，需让其波动小于公差为1的情况，因此x需在1和6之间，在此范围内任取一个数即可满足条件。
【解析】
1. 分析已知数据的方差特征：数据5,6,7,8,9是连续整数，为公差1的等差数列，其波动程度固定，方差为定值。
2. 分析目标数据的结构：2,3,4,5,x的前4项是公差1的等差数列，当x=1或x=6时，该组数据也为公差1的等差数列，此时两组数据方差相等。
3. 推导x的取值范围：要使数据2,3,4,5,x的方差更小，需让其波动更小，因此x需在1和6之间（不包含1和6），在此范围内取任意值均可，例如取x=2。
【答案】
2（答案不唯一，1＜x＜6范围内的数均可）
【知识点】
方差，数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的意义，核心是理解方差反映数据波动大小，通过对比两组数据的结构特征找到x的取值范围，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.5
首先明确方差的意义：方差用于衡量一组数据的波动（离散）程度，波动越小，方差越小。先观察数据5,6,7,8,9，这是公差为1的等差数列，其波动固定；再看数据2,3,4,5,x，前4个数也是公差为1的等差数列，当x取1或6时，该组数据也成为公差为1的等差数列，此时两组数据方差相等。要使数据2,3,4,5,x的方差更小，需让其波动小于公差为1的情况，因此x需在1和6之间，在此范围内任取一个数即可满足条件。
【解析】
1. 分析已知数据的方差特征：数据5,6,7,8,9是连续整数，为公差1的等差数列，其波动程度固定，方差为定值。
2. 分析目标数据的结构：2,3,4,5,x的前4项是公差1的等差数列，当x=1或x=6时，该组数据也为公差1的等差数列，此时两组数据方差相等。
3. 推导x的取值范围：要使数据2,3,4,5,x的方差更小，需让其波动更小，因此x需在1和6之间（不包含1和6），在此范围内取任意值均可，例如取x=2。
【答案】
2（答案不唯一，1＜x＜6范围内的数均可）
【知识点】
方差，数据的离散程度
【点评】
本题考查方差的意义，核心是理解方差反映数据波动大小，通过对比两组数据的结构特征找到x的取值范围，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.5
5. (2025 甘肃省中考)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛. 在最近 10 次的选拔赛中,他们的射击成绩(单位:环)信息如下:
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 写出表中 $m,n$ 的值: $m=$
(2)
(3) 小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以. 你认为他说得对吗? 请说明理由(写出一条合理的理由即可).
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 写出表中 $m,n$ 的值: $m=$
8.5
,$n=$ 8
.(2)
乙
队员在射击选拔赛中发挥的更稳定(填“甲”或“乙”).(3) 小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以. 你认为他说得对吗? 请说明理由(写出一条合理的理由即可).
答案
(1) 8.5 8
(2) 乙
(3) 他说得不对,理由如下:
虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定,所以应该推荐乙队员参赛.
(2) 乙
(3) 他说得不对,理由如下:
虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样,但是乙的方差比甲的小,说明乙队员在射击选拔赛中发挥得更稳定,所以应该推荐乙队员参赛.
解析
【分析】
要解决本题，需掌握众数、中位数的计算方法，以及方差的意义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②中位数是将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间的数；③方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。首先计算甲的众数和乙的中位数，再通过方差判断稳定性，最后结合统计量分析小瑜的说法是否正确。
【解析】
（1）计算甲的众数：甲的成绩为10，8，8，10，6，8，6，9，10，8，统计各数出现次数，8出现4次，次数最多，因此众数$ n=8 $；
计算乙的中位数：乙的成绩为8，9，10，9，6，7，7，9，10，8，将其从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$ m=(8+9)÷2=8.5 $；
（2）方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定。甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，$ 1.61＜2.01 $，因此乙队员发挥更稳定；
（3）小瑜说得不对。理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但乙的方差比甲小，说明乙的射击成绩更稳定，因此应推荐乙队员参赛。
【答案】
(1) $ 8.5 $，$ 8 $；(2) 乙；(3) 他说得不对，理由：甲、乙平均数相同，但乙的方差更小，成绩更稳定，应推荐乙参赛。
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握众数、中位数的求法及方差的意义，属于中考基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需掌握众数、中位数的计算方法，以及方差的意义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②中位数是将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间的数；③方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。首先计算甲的众数和乙的中位数，再通过方差判断稳定性，最后结合统计量分析小瑜的说法是否正确。
【解析】
（1）计算甲的众数：甲的成绩为10，8，8，10，6，8，6，9，10，8，统计各数出现次数，8出现4次，次数最多，因此众数$ n=8 $；
计算乙的中位数：乙的成绩为8，9，10，9，6，7，7，9，10，8，将其从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$ m=(8+9)÷2=8.5 $；
（2）方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定。甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，$ 1.61＜2.01 $，因此乙队员发挥更稳定；
（3）小瑜说得不对。理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但乙的方差比甲小，说明乙的射击成绩更稳定，因此应推荐乙队员参赛。
【答案】
(1) $ 8.5 $，$ 8 $；(2) 乙；(3) 他说得不对，理由：甲、乙平均数相同，但乙的方差更小，成绩更稳定，应推荐乙参赛。
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握众数、中位数的求法及方差的意义，属于中考基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
