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1（易错题）下列说法错误的是（
A.一个三角形中至少有两个锐角
B.在一个三角形中，一个外角大于任意一个内角
C.三角形的外角和等于 $360°$
D.若一个三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
B
）A.一个三角形中至少有两个锐角
B.在一个三角形中，一个外角大于任意一个内角
C.三角形的外角和等于 $360°$
D.若一个三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
答案
1. B
解析
【分析】本题需根据三角形的内角和、外角性质逐一判断各选项的正确性，找出错误的说法。结合三角形内角和为180°、外角与相邻内角互补、多边形外角和为360°等知识点，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】我们结合三角形的相关性质对各选项进行分析：
1. 选项A：三角形内角和为180°，若一个三角形只有1个锐角，则另外两个角的和≥180°，不符合内角和定理，因此一个三角形至少有两个锐角，A说法正确；
2. 选项B：三角形的外角与相邻内角互补，当内角为钝角时，对应的外角为锐角，此时外角小于该钝角内角，并非大于任意一个内角，故B说法错误；
3. 选项C：任意多边形的外角和均为360°，三角形属于多边形，因此其外角和为360°，C说法正确；
4. 选项D：若三角形的一个外角为锐角，则与它相邻的内角为180°减去锐角，结果为钝角，因此该三角形是钝角三角形，D说法正确。
综上，错误的说法是B。
【答案】B
【知识点】三角形内角和、三角形外角性质
【点评】本题为易错题，重点考查三角形的内角和与外角的性质，需准确理解外角与相邻内角的大小关系，避免错误认为外角一定大于任意内角，这是本题的易错点。
【难度系数】0.5
【解析】我们结合三角形的相关性质对各选项进行分析：
1. 选项A：三角形内角和为180°，若一个三角形只有1个锐角，则另外两个角的和≥180°，不符合内角和定理，因此一个三角形至少有两个锐角，A说法正确；
2. 选项B：三角形的外角与相邻内角互补，当内角为钝角时，对应的外角为锐角，此时外角小于该钝角内角，并非大于任意一个内角，故B说法错误；
3. 选项C：任意多边形的外角和均为360°，三角形属于多边形，因此其外角和为360°，C说法正确；
4. 选项D：若三角形的一个外角为锐角，则与它相邻的内角为180°减去锐角，结果为钝角，因此该三角形是钝角三角形，D说法正确。
综上，错误的说法是B。
【答案】B
【知识点】三角形内角和、三角形外角性质
【点评】本题为易错题，重点考查三角形的内角和与外角的性质，需准确理解外角与相邻内角的大小关系，避免错误认为外角一定大于任意内角，这是本题的易错点。
【难度系数】0.5
2 教材 P17 习题 13.3 第 6 题变式 如图$,AB// CD.$若$∠ A=65^{\circ },∠ C=20^{\circ }$,则$∠ E$的度数为 （
A.$20^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
D
）A.$20^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
答案
2. D
解析
【分析】要解决本题，需结合平行线的性质和三角形外角的性质推导角的关系。首先设AB与DE的交点为O，利用AB//CD的条件找到与∠A相等的同位角，再根据三角形外角的性质，通过角的和差计算出∠E的度数。
【解析】设AB与DE的交点为O，
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠A = ∠DOE（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = 65°，
∴ ∠DOE = 65°，
∵ ∠DOE是△EOC的外角，
∴ ∠DOE = ∠E + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵ ∠C = 20°，
∴ ∠E = ∠DOE - ∠C = 65° - 20° = 45°，
【答案】D
【知识点】平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】本题是平行线性质与三角形外角性质的综合应用，解题关键是找准角的等量关系，属于基础几何计算题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5
【解析】设AB与DE的交点为O，
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠A = ∠DOE（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = 65°，
∴ ∠DOE = 65°，
∵ ∠DOE是△EOC的外角，
∴ ∠DOE = ∠E + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
又
∵ ∠C = 20°，
∴ ∠E = ∠DOE - ∠C = 65° - 20° = 45°，
【答案】D
【知识点】平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】本题是平行线性质与三角形外角性质的综合应用，解题关键是找准角的等量关系，属于基础几何计算题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5
3 如果一个三角形的两个不同的外角之和为$270^{\circ }$,那么这个三角形是
直角
三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).答案
3. 直角
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需利用三角形外角和的性质：任意三角形的外角和为$360°$。已知两个外角之和，先算出第三个外角的度数，再根据“外角与相邻内角互补”求出对应内角，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形外角和为$360°$，可得第三个外角的度数为：$360° - 270° = 90°$；
该外角相邻的内角为：$180° - 90° = 90°$；
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形外角性质，直角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形外角和定理的基础应用，属于常规题型，只要掌握外角和与内外角互补的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的类型，需利用三角形外角和的性质：任意三角形的外角和为$360°$。已知两个外角之和，先算出第三个外角的度数，再根据“外角与相邻内角互补”求出对应内角，进而判断三角形类型。
【解析】
根据三角形外角和为$360°$，可得第三个外角的度数为：$360° - 270° = 90°$；
该外角相邻的内角为：$180° - 90° = 90°$；
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形外角性质，直角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形外角和定理的基础应用，属于常规题型，只要掌握外角和与内外角互补的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4 教材P16习题13.3第1题变式 根据如图所示的图形直接写出$∠ α$的度数.
(1) 如图①,$∠ α =$
(1) 如图①,$∠ α =$
60°
; (2) 如图②,$∠ α =$30°
; (3) 如图③,$∠ α =$70°
.答案
4. (1) 60° (2) 30° (3) 70°
解析
【分析】
本题需利用三角形内角和定理、三角形外角性质、邻补角性质，分别分析三个图形中∠α与已知角的关系，逐步计算出∠α的度数。
对于图①，先通过邻补角求出三角形的一个内角，再用三角形外角性质求α；图②直接利用三角形内角和，拆分角后计算α；图③通过邻补角和三角形内角和，结合角的关系求出α。
【解析】
(1) 如图①：
根据邻补角的性质，与140°角相邻的三角形内角为 $180° - 140° = 40°$；
由三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），100°角是该三角形的外角，因此：
$100° = α + 40°$，解得 $α = 100° - 40° = 60°$。
(2) 如图②：
根据三角形内角和定理，大三角形的第三个内角为 $180° - 70° - 60° = 50°$；
该内角由20°角和∠α组成，因此：
$α = 50° - 20° = 30°$。
(3) 如图③：
根据邻补角的性质，与135°角相邻的三角形内角为 $180° - 135° = 45°$；
再根据三角形内角和定理，在包含α的三角形中，三个内角和为180°，因此：
$α = 180° - 20° - 45° - 45° = 70°$。
【答案】
(1) $60°$；(2) $30°$；(3) $70°$
【知识点】
三角形内角和、三角形外角性质、邻补角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查三角形内角和与外角性质的应用，解题关键是理清角之间的关系，熟练运用相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.5
本题需利用三角形内角和定理、三角形外角性质、邻补角性质，分别分析三个图形中∠α与已知角的关系，逐步计算出∠α的度数。
对于图①，先通过邻补角求出三角形的一个内角，再用三角形外角性质求α；图②直接利用三角形内角和，拆分角后计算α；图③通过邻补角和三角形内角和，结合角的关系求出α。
【解析】
(1) 如图①：
根据邻补角的性质，与140°角相邻的三角形内角为 $180° - 140° = 40°$；
由三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），100°角是该三角形的外角，因此：
$100° = α + 40°$，解得 $α = 100° - 40° = 60°$。
(2) 如图②：
根据三角形内角和定理，大三角形的第三个内角为 $180° - 70° - 60° = 50°$；
该内角由20°角和∠α组成，因此：
$α = 50° - 20° = 30°$。
(3) 如图③：
根据邻补角的性质，与135°角相邻的三角形内角为 $180° - 135° = 45°$；
再根据三角形内角和定理，在包含α的三角形中，三个内角和为180°，因此：
$α = 180° - 20° - 45° - 45° = 70°$。
【答案】
(1) $60°$；(2) $30°$；(3) $70°$
【知识点】
三角形内角和、三角形外角性质、邻补角性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查三角形内角和与外角性质的应用，解题关键是理清角之间的关系，熟练运用相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.5
5 [2026 启东期中] 如图，$∠ ACD$ 是 $△ ABC$ 的外角，$CE$ 平分 $∠ ACD$. 若 $∠ A=60°$，$∠ B=40°$，求$∠ ECD$ 的度数.
答案
5. $\because ∠ ACD$ 是$△ ABC$ 的外角,$\therefore ∠ ACD=∠ A+∠ B=100°$.
$\because CE$ 平分$∠ ACD,\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=50°$
$\because CE$ 平分$∠ ACD,\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=50°$
解析
【分析】要计算∠ECD的度数，需先利用三角形外角的性质求出△ABC的外角∠ACD的度数，再根据角平分线的定义，∠ECD是∠ACD的一半，即可得到结果。解题时先明确三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线将角分成两个相等的角这两个知识点，逐步推导计算。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角之和，
∴∠ACD=∠A+∠B=60°+40°=100°。又
∵CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的角，
∴∠ECD=½∠ACD=½×100°=50°。
【答案】50°
【知识点】三角形外角性质、角平分线定义
【点评】本题考查三角形外角性质与角平分线的应用，属于基础题型，解题关键是熟练运用三角形外角的性质求出外角的度数，再结合角平分线的性质计算目标角的度数。
【难度系数】0.7
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻的两个内角之和，
∴∠ACD=∠A+∠B=60°+40°=100°。又
∵CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的角，
∴∠ECD=½∠ACD=½×100°=50°。
【答案】50°
【知识点】三角形外角性质、角平分线定义
【点评】本题考查三角形外角性质与角平分线的应用，属于基础题型，解题关键是熟练运用三角形外角的性质求出外角的度数，再结合角平分线的性质计算目标角的度数。
【难度系数】0.7
6 [2026 启东段测]一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你! 这个人字架中的$∠ 3=110°$,你能求出$∠ 1$比$∠ 2$大多少吗?”请你帮李明计算一下,正确的答案是 （
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
6. C
解析
【分析】要解决这个问题，需结合邻补角的定义和三角形外角的性质推导：先通过邻补角关系求出三角形的一个内角度数，再利用三角形外角性质得到∠1与∠2的差值，即可得出结果。
【解析】
1. 由邻补角的定义可知，∠3与三角形的一个内角互补，因此这个内角的度数为：$180° - ∠3 = 180° - 110° = 70°$。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠1是三角形的外角，故$∠1 = ∠2 + 70°$。
3. 整理得$∠1 - ∠2 = 70°$，即∠1比∠2大70°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】三角形外角性质、邻补角定义
【点评】本题是三角形外角性质的基础应用题，核心是利用外角性质快速找到∠1与∠2的差值，解题思路清晰，属于基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 由邻补角的定义可知，∠3与三角形的一个内角互补，因此这个内角的度数为：$180° - ∠3 = 180° - 110° = 70°$。
2. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠1是三角形的外角，故$∠1 = ∠2 + 70°$。
3. 整理得$∠1 - ∠2 = 70°$，即∠1比∠2大70°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】三角形外角性质、邻补角定义
【点评】本题是三角形外角性质的基础应用题，核心是利用外角性质快速找到∠1与∠2的差值，解题思路清晰，属于基础题。
【难度系数】0.6
7 如图,若点 A 在 y 轴上,点 B 在 x 轴上,$∠ OAB$ 的平分线交 $△ OAB$ 的外角 $∠ OBD$的平分线于点 C,则 $∠ C$ 的度数是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合直角三角形内角和、三角形外角性质以及角平分线的性质。首先，△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，因此∠OAB + ∠OBA=90°；其次，∠OBD是△OAB的外角，根据外角性质，外角等于不相邻两内角之和，可得∠OBD=∠AOB + ∠OAB=90°+∠OAB；再结合AC平分∠OAB、BC平分∠OBD，将角的关系转化后，利用△ABC的外角性质即可求出∠C的度数。
【解析】
1. 因为∠AOB=90°，在Rt△OAB中，∠OAB + ∠OBA=90°。
2. ∠OBD是△OAB的外角，根据三角形外角性质：∠OBD=∠AOB + ∠OAB=90°+∠OAB。
3. 由于AC平分∠OAB，BC平分∠OBD，所以：
∠CAB = ½∠OAB，
∠CBD = ½∠OBD = ½(90°+∠OAB)=45° + ½∠OAB。
4. 在△ABC中，∠CBD是其外角，根据三角形外角性质：∠CBD=∠C + ∠CAB。
5. 将∠CBD和∠CAB代入上式：
45° + ½∠OAB = ∠C + ½∠OAB，
两边同时减去½∠OAB，可得∠C=45°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，角平分线性质，直角三角形内角和
【点评】
本题是三角形外角与角平分线结合的经典题型，通过角平分线拆分大角，利用外角性质建立角的关系简化计算，重点考查学生对三角形相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合直角三角形内角和、三角形外角性质以及角平分线的性质。首先，△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，因此∠OAB + ∠OBA=90°；其次，∠OBD是△OAB的外角，根据外角性质，外角等于不相邻两内角之和，可得∠OBD=∠AOB + ∠OAB=90°+∠OAB；再结合AC平分∠OAB、BC平分∠OBD，将角的关系转化后，利用△ABC的外角性质即可求出∠C的度数。
【解析】
1. 因为∠AOB=90°，在Rt△OAB中，∠OAB + ∠OBA=90°。
2. ∠OBD是△OAB的外角，根据三角形外角性质：∠OBD=∠AOB + ∠OAB=90°+∠OAB。
3. 由于AC平分∠OAB，BC平分∠OBD，所以：
∠CAB = ½∠OAB，
∠CBD = ½∠OBD = ½(90°+∠OAB)=45° + ½∠OAB。
4. 在△ABC中，∠CBD是其外角，根据三角形外角性质：∠CBD=∠C + ∠CAB。
5. 将∠CBD和∠CAB代入上式：
45° + ½∠OAB = ∠C + ½∠OAB，
两边同时减去½∠OAB，可得∠C=45°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质，角平分线性质，直角三角形内角和
【点评】
本题是三角形外角与角平分线结合的经典题型，通过角平分线拆分大角，利用外角性质建立角的关系简化计算，重点考查学生对三角形相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
