1 [2026 海安期中]有下列条件：① $∠ A = ∠ B = ∠ C$；② $∠ A - ∠ B = ∠ C$；③ $∠ A = ∠ B = 2∠ C$；④ $∠ A = \dfrac{1}{2}∠ B = \dfrac{1}{3}∠ C$. 其中，能判定$△ ABC$ 是直角三角形的条件的个数为（）

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

1. B

【分析】要判定△ABC是否为直角三角形，需依据三角形内角和为180°，分别计算每个条件下三角形的三个内角，若存在一个内角为90°，则该三角形为直角三角形，反之则不是。
【解析】根据三角形内角和为180°，逐一分析各条件：
1. 对于条件①：∠A=∠B=∠C，设每个角为x，则3x=180°，解得x=60°，三个角均为60°，是等边三角形，不是直角三角形；
2. 对于条件②：∠A - ∠B=∠C，即∠A=∠B+∠C，结合内角和∠A+∠B+∠C=180°，代入得2∠A=180°，解得∠A=90°，是直角三角形；
3. 对于条件③：∠A=∠B=2∠C，设∠C=x，则∠A=∠B=2x，可得2x+2x+x=180°，解得x=36°，最大角∠A=72°，不是直角三角形；
4. 对于条件④：∠A=1/2∠B=1/3∠C，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，可得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形；
综上，能判定为直角三角形的条件是②和④，共2个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】本题考查三角形内角和定理的应用，核心是通过内角和计算各角的度数，判断是否存在直角，属于基础题型，需熟练掌握内角和公式。
【难度系数】0.6

2(易错题)如图，$∠ AOD=30°$，$C$是射线$OD$上的一个动点.在点$C$运动的过程中，当$△ AOC$恰好是直角三角形时，$∠ A$的度数为.

2. $60°$或 $90°$
易错分析
2. 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解.

【分析】
要解决这个问题，需明确△AOC为直角三角形时，直角顶点的位置不确定，需分两种情况讨论，避免漏解。结合已知∠AOD=30°，利用三角形内角和定理分别计算∠A的度数，确保答案完整。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点A时，∠A=90°，此时△AOC是直角三角形；
2. 当直角顶点为点C时，∠ACO=90°，在△AOC中，根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°−∠AOD−∠ACO=180°−30°−90°=60°。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
直角三角形性质、三角形内角和、分类讨论思想
【点评】
本题为易错题，核心易错点是忽略直角顶点的不确定性，导致漏解。解题时需全面分析，分情况讨论，才能得到完整答案，考查学生的思维严谨性。
【难度系数】
0.5

3 教材P14练习第2题变式 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D,E$分别在$AC,AB$上.若$∠ B + ∠ CDE=180°$，则$△ ADE$是直角三角形吗？为什么？

3. $△ ADE$ 是直角三角形 $\because ∠ ADE+∠ CDE=180°,∠ B+∠ CDE=180°,\therefore ∠ ADE=∠ B. \because ∠ C=90°,∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ A+∠ B=90°. \therefore ∠ A+∠ ADE=90°.$
$\therefore ∠ AED=180°-(∠ A+∠ ADE)=90°. \therefore △ ADE$ 是直角三角形

【分析】
要判断△ADE是否为直角三角形，需推导其内角是否存在90°角。首先利用邻补角的性质和同角的补角相等，得出∠ADE与∠B相等；再结合Rt△ABC的内角和，得到∠A+∠B=90°，通过等量代换得到∠A+∠ADE=90°，进而算出∠AED=90°，即可判断△ADE是直角三角形。
【解析】
∵ ∠ADE + ∠CDE = 180°（邻补角的定义），
又
∵ ∠B + ∠CDE = 180°（已知），
∴ ∠ADE = ∠B（同角的补角相等）。
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°，
∴ ∠A + ∠ADE = 90°（等量代换）。
在△ADE中，由三角形内角和定理：
∠A + ∠ADE + ∠AED = 180°，
∴ ∠AED = 180° - (∠A + ∠ADE) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ADE是直角三角形（有一个角为90°的三角形是直角三角形）。
【答案】
△ADE是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形判定，邻补角性质
【点评】
本题通过角的互补关系推导角相等，结合直角三角形的内角和性质逐步推导，考查了几何中角的关系及三角形内角和的应用，思路清晰，属于基础几何题，适合巩固三角形相关性质的练习。
【难度系数】
0.6

4 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,点$D$在$AB$上,沿$CD$折叠,使点$A$落在边$BC$上的点$E$处.若$∠ B=26^{ \circ }$,则$∠ CDE$的度数为.

4. $71°$

【分析】首先，在直角△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠A的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到△CDA与△CDE全等，从而得出∠CED和∠DCE的度数；最后在△CDE中，再次利用三角形内角和定理计算∠CDE的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=26°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠ACB - ∠B = 180° - 90° - 26° = 64°。
2. 由折叠的性质可知，△CDA ≌ △CDE，因此对应角相等：
∠CED = ∠A = 64°，∠ACD = ∠DCE。
因为∠ACB=90°，所以∠DCE = ∠ACB ÷ 2 = 90° ÷ 2 = 45°。
3. 在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠CDE = 180° - ∠DCE - ∠CED = 180° - 45° - 64° = 71°。
【答案】
71°
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，直角三角形性质
【点评】
本题结合直角三角形和折叠的性质，考查三角形内角和的应用，关键是利用折叠前后角的等量关系，逐步推导计算，属于中等难度的几何角度计算题。
【难度系数】
0.6

5 用一副三角尺拼成如图所示的图形,过点 $ C $ 作 $ CF $ 平分 $ ∠ DCE $ 交 $ DE $ 于点 $ F $.
（1）求证:$ CF // AB $;
（2）求 $ ∠ DFC $ 的度数.

5. (1) $\because CF$ 平分$∠ DCE,∠ DCE=90°,\therefore ∠ DCF=∠ FCE=\frac{1}{2}∠ DCE=45°. \because ∠ BAC=45°,\therefore ∠ BAC=∠ DCF=45°.$
$\therefore CF// AB$ (2) $\because ∠ D=30°,∠ DCF=45°,\therefore ∠ DFC=180°-∠ D-∠ DCF=180°-30°-45°=105°$

【分析】
要证明CF平行AB，需利用平行线的判定定理，结合角平分线的性质和三角尺的角度；求∠DFC的度数，可利用三角形内角和定理在△DFC中计算。首先，CF平分直角∠DCE，可得到两个45°的角，结合三角尺中∠BAC为45°，通过内错角相等证平行；再结合△DFC中已知的∠D和∠DCF的度数，用内角和算出∠DFC。
【解析】
（1）证明：
∵ CF平分∠DCE，∠DCE=90°，
∴ ∠DCF = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠DCE = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
又
∵ 三角尺中∠BAC=45°，
∴ ∠BAC = ∠DCF = 45°，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得CF//AB。
（2）解：
在△DFC中，∠D=30°，∠DCF=45°，
根据三角形内角和为180°，
∴ ∠DFC = 180° - ∠D - ∠DCF = 180° - 30° - 45° = 105°。
【答案】
（1）CF//AB；（2）∠DFC=105°
【知识点】
平行线的判定、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角尺的角度，考察平行线判定与三角形内角和的基础应用，关键是利用已知角的等量关系推导，属于常规几何基础题。
【难度系数】
0.7

6 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AD ⊥ BC$于点$D$,$BE$平分$∠ ABC$,$AD$,$BE$相交于点$F$.
(1) 若$∠ CAD=36°$,求$∠ AEF$的度数;
(2) 求证:$∠ AEF=∠ AFE$.

6. (1) $\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=90°. \therefore ∠ ABD+∠ BAD=180°-∠ ADB=90°. \because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAD+∠ CAD=90°.$
$\therefore ∠ ABD=∠ CAD=36°. \because BE$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=18°. \therefore ∠ AEF=180°-∠ BAC-∠ ABE=72°$
(2) $\because BE$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE.$ 由题意,易得$∠ ABE+∠ AEF=90°,∠ CBE+∠ BFD=90°,\therefore ∠ AEF=∠ BFD. \because ∠ AFE=∠ BFD,\therefore ∠ AEF=∠ AFE$

【分析】
第(1)问：先利用AD⊥BC和∠BAC=90°，根据同角的余角相等得出∠ABD=∠CAD；再由BE平分∠ABC算出∠ABE的度数；最后在Rt△ABE中，利用三角形内角和求出∠AEF的度数。第(2)问：根据直角三角形两锐角互余，结合角平分线的定义，得到∠AEF和∠BFD都与∠ABE互余，推出∠AEF=∠BFD；再利用对顶角相等，将∠BFD替换为∠AFE，完成结论证明。
【解析】
(1)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°。
又
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAD = 36°。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×36° = 18°。
在△ABE中，∠BAC=90°，
∴ ∠AEF = 180° - ∠BAC - ∠ABE = 180° - 90° - 18° = 72°。
(2)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠ABE + ∠AEF = 90°。
又
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠CBE + ∠BFD = 90°，
∴ ∠AEF = ∠BFD。
∵ ∠AFE与∠BFD是对顶角，
∴ ∠AFE = ∠BFD，
∴ ∠AEF = ∠AFE。
【答案】
(1) 72°；(2) ∠AEF=∠AFE，证明成立
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角相等
【点评】
本题结合直角三角形性质与角平分线定义，考查角度计算与等量关系证明，需熟练运用同角的余角相等、对顶角相等的性质，逻辑推导清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6