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7 已知直线$a// b$，将$\mathrm{Rt}△ BCD$按如图所示的方式放置，$∠ DCB=90°$。若$∠ 1+∠ B=70°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$20°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$25°$
A
）A.$20°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$25°$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和三角形的角关系。首先利用对顶角相等得到∠1与∠BAC的关系，再结合已知条件求出∠BAC与∠B的和，最后根据直角的性质计算∠2的度数。
【解析】
解：1. 由对顶角相等，得∠1 = ∠BAC；
2. 已知∠1 + ∠B = 70°，因此∠BAC + ∠B = 70°；
3. 因为∠DCB = 90°，且直线a//b，可得∠BAC + ∠2 = 90°；
4. 代入∠BAC + ∠B = 70°，得∠2 = 90° - (∠BAC + ∠B) = 90° - 70° = 20°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题综合考查平行线的性质和角的等量关系，关键是理清角之间的联系，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行线的性质和三角形的角关系。首先利用对顶角相等得到∠1与∠BAC的关系，再结合已知条件求出∠BAC与∠B的和，最后根据直角的性质计算∠2的度数。
【解析】
解：1. 由对顶角相等，得∠1 = ∠BAC；
2. 已知∠1 + ∠B = 70°，因此∠BAC + ∠B = 70°；
3. 因为∠DCB = 90°，且直线a//b，可得∠BAC + ∠2 = 90°；
4. 代入∠BAC + ∠B = 70°，得∠2 = 90° - (∠BAC + ∠B) = 90° - 70° = 20°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题综合考查平行线的性质和角的等量关系，关键是理清角之间的联系，难度中等。
【难度系数】
0.5
8 教材P17习题13.3第8题变式 如图，点 D，E 分别在线段 BC，AC 上，连接 AD，BE. 若$∠ A=35^{\circ }$，$∠ B=25^{\circ }$，$∠ C=50^{\circ }$，则$∠ 1$的度数为（
A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$85^{\circ }$
B
）A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$85^{\circ }$
答案
B
解析
【分析】要计算∠1的度数，可利用三角形外角性质和内角和定理：首先找到∠AEO（∠1所在三角形的内角），它是△BEC的外角，根据外角性质求出∠AEO；再在△AOE中，结合三角形内角和180°，即可算出∠1的度数。
【解析】
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在△BEC中，∠AEO是其外角，因此：
∠AEO = ∠B + ∠C = 25° + 50° = 75°；
2. 在△AOE中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠1 = 180° - ∠A - ∠AEO = 180° - 35° - 75° = 70°。
【答案】B
【知识点】三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】本题考查三角形外角性质与内角和的基础应用，关键是找准外角对应的三角形，灵活运用性质即可快速求解，属于难度较低的几何题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在△BEC中，∠AEO是其外角，因此：
∠AEO = ∠B + ∠C = 25° + 50° = 75°；
2. 在△AOE中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠1 = 180° - ∠A - ∠AEO = 180° - 35° - 75° = 70°。
【答案】B
【知识点】三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】本题考查三角形外角性质与内角和的基础应用，关键是找准外角对应的三角形，灵活运用性质即可快速求解，属于难度较低的几何题。
【难度系数】0.6
9 如图,在$△ ABC$中,$P$是$△ ABC$的三条角平分线的交点,则$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=$
90°
.答案
$90°$
解析
【分析】
要计算∠PBC+∠PCA+∠PAB的值，首先明确P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的定义，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，PA平分∠BAC，因此所求的三个角分别是△ABC三个内角的一半；再结合三角形内角和为180°，将三个角的和转化为三角形内角和的一半，即可求出结果。
【解析】
∵P是△ABC三条角平分线的交点，
∴根据角平分线的定义：
∠PBC = ½∠ABC，∠PCA = ½∠ACB，∠PAB = ½∠BAC。
又
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°（三角形内角和定理），
∴∠PBC + ∠PCA + ∠PAB = ½(∠ABC + ∠ACB + ∠BAC) = ½×180° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
角平分线定义、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理的简单应用，核心是利用角平分线将所求角转化为三角形内角的一半，结合内角和计算即可，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算∠PBC+∠PCA+∠PAB的值，首先明确P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的定义，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，PA平分∠BAC，因此所求的三个角分别是△ABC三个内角的一半；再结合三角形内角和为180°，将三个角的和转化为三角形内角和的一半，即可求出结果。
【解析】
∵P是△ABC三条角平分线的交点，
∴根据角平分线的定义：
∠PBC = ½∠ABC，∠PCA = ½∠ACB，∠PAB = ½∠BAC。
又
∵在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°（三角形内角和定理），
∴∠PBC + ∠PCA + ∠PAB = ½(∠ABC + ∠ACB + ∠BAC) = ½×180° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
角平分线定义、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理的简单应用，核心是利用角平分线将所求角转化为三角形内角的一半，结合内角和计算即可，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
10 一题多解 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC,AE ⊥ BC$于点$E$.若$∠ B=30^{ \circ }$,$∠ C=70^{ \circ }$,求$∠ DAE$的度数.
答案
解法一: $\because ∠B=30°,∠C=70°,∴ ∠BAC=180°-30°-70°=80°.$ 又 $\because AD$ 平分$∠BAC,∴ ∠BAD=\dfrac{80°}{2}=40°.$
$\therefore ∠ADB=180°-30°-40°=110°.∴ ∠ADE=180°-∠ADB=70°.\because AE⊥BC,∴ ∠AED=90°.∴ ∠DAE=180°-90°-70°=20°$
解法二:$\because AD$ 平分$∠BAC,∴ ∠DAC=\dfrac{1}{2}∠BAC=\dfrac{1}{2}(180°-∠B-∠C).\because AE⊥BC,∴ ∠AEC=90°.∴ ∠EAC=180°-90°-∠C=90°-∠C.∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAC=\dfrac{1}{2}(180°-∠B-∠C)-90°+∠C=\dfrac{1}{2}(∠C-∠B)=\dfrac{1}{2}×(70°-30°)=20°$
$\therefore ∠ADB=180°-30°-40°=110°.∴ ∠ADE=180°-∠ADB=70°.\because AE⊥BC,∴ ∠AED=90°.∴ ∠DAE=180°-90°-70°=20°$
解法二:$\because AD$ 平分$∠BAC,∴ ∠DAC=\dfrac{1}{2}∠BAC=\dfrac{1}{2}(180°-∠B-∠C).\because AE⊥BC,∴ ∠AEC=90°.∴ ∠EAC=180°-90°-∠C=90°-∠C.∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAC=\dfrac{1}{2}(180°-∠B-∠C)-90°+∠C=\dfrac{1}{2}(∠C-∠B)=\dfrac{1}{2}×(70°-30°)=20°$
解析
【分析】要计算∠DAE的度数，可利用三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质。思路一：先通过三角形内角和算出∠BAC，再由AD平分∠BAC得到∠BAD，结合△ABD的内角和求出∠ADB，进而得到∠ADE，最后在Rt△ADE中利用直角三角形两锐角互余求出∠DAE；思路二：先算出∠DAC和∠EAC，再通过两角的差得到∠DAE，两种方法均可求解。
【解析】
解法一：
∵ 在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，
∴ 根据三角形内角和为180°，得∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−70°=80°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=½∠BAC=½×80°=40°。
在△ABD中，∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−30°−40°=110°，
∴ ∠ADE=180°−∠ADB=180°−110°=70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=180°−90°−70°=20°。
解法二：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC=½∠BAC=½(180°−∠B−∠C)。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC=90°−∠C。
∴ ∠DAE=∠DAC−∠EAC=½(180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
=½(180°−30°−70°)−(90°−70°)
=40°−20°=20°。
【答案】20°
【知识点】三角形内角和、角平分线性质、直角三角形性质
【点评】本题为一题多解的典型题目，通过不同解题思路巩固三角形相关性质，能锻炼学生的逻辑推理能力，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】
解法一：
∵ 在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，
∴ 根据三角形内角和为180°，得∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−70°=80°。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=½∠BAC=½×80°=40°。
在△ABD中，∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−30°−40°=110°，
∴ ∠ADE=180°−∠ADB=180°−110°=70°。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=180°−90°−70°=20°。
解法二：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠DAC=½∠BAC=½(180°−∠B−∠C)。
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，∠EAC=90°−∠C。
∴ ∠DAE=∠DAC−∠EAC=½(180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
=½(180°−30°−70°)−(90°−70°)
=40°−20°=20°。
【答案】20°
【知识点】三角形内角和、角平分线性质、直角三角形性质
【点评】本题为一题多解的典型题目，通过不同解题思路巩固三角形相关性质，能锻炼学生的逻辑推理能力，属于基础题型。
【难度系数】0.5
11 教材P12例2变式. 如图,在某海面上,客轮C突然发生事故,马上向救护船B发出求救信号. 由于救护船A离客轮C比救护船B离客轮C要近,救护船B立即向救护船A发出信号,让其救助客轮C. 已知救护船A在救护船B的北偏东$45°$方向上,客轮C在救护船B的北偏东$75°$方向上.经测量得$∠ C=75°$,则救护船A沿南偏东多少度方向驶向客轮C所用的时间最短?
答案
根据题意,得$∠NBA=45°,∠NBC=75°,∴ ∠ABC=∠NBC-∠NBA=30°.\because BN// AS,∴ ∠BAS=∠NBA=45°.\because ∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠C=75°,∠ABC=30°,∴ ∠BAC=75°.∴ ∠SAC=∠BAC-∠BAS=75°-45°=30°.∴$ 救护船 A 沿南偏东 $30°$方向驶向客轮 C 所用的时间最短
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确各方位角的关系，结合平行线的性质和三角形内角和定理逐步推导。首先根据A、C相对于B的方位角求出∠ABC，再利用南北方向线平行的性质得到∠BAS，最后结合△ABC的内角和算出∠BAC，进而求出A到C的南偏东方向角度。
【解析】
1. 计算∠ABC：由题意，A在B的北偏东45°，即∠NBA=45°；C在B的北偏东75°，即∠NBC=75°，因此∠ABC=∠NBC - ∠NBA=75° - 45°=30°。
2. 利用平行线性质：因为BN和AS均为南北方向线，所以BN//AS，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BAS=∠NBA=45°。
3. 计算∠BAC：在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠C=75°，∠ABC=30°，因此∠BAC=180° - ∠ABC - ∠C=180° - 30° - 75°=75°。
4. 求目标角度：∠SAC=∠BAC - ∠BAS=75° - 45°=30°，即救护船A沿南偏东30°方向驶向客轮C所用时间最短。
【答案】
救护船A沿南偏东30°方向驶向客轮C所用的时间最短
【知识点】
方位角、平行线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和结合的基础应用题，核心是理清方位角对应的角的关系，利用平行线和三角形内角和定理逐步计算，属于常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确各方位角的关系，结合平行线的性质和三角形内角和定理逐步推导。首先根据A、C相对于B的方位角求出∠ABC，再利用南北方向线平行的性质得到∠BAS，最后结合△ABC的内角和算出∠BAC，进而求出A到C的南偏东方向角度。
【解析】
1. 计算∠ABC：由题意，A在B的北偏东45°，即∠NBA=45°；C在B的北偏东75°，即∠NBC=75°，因此∠ABC=∠NBC - ∠NBA=75° - 45°=30°。
2. 利用平行线性质：因为BN和AS均为南北方向线，所以BN//AS，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BAS=∠NBA=45°。
3. 计算∠BAC：在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠C=75°，∠ABC=30°，因此∠BAC=180° - ∠ABC - ∠C=180° - 30° - 75°=75°。
4. 求目标角度：∠SAC=∠BAC - ∠BAS=75° - 45°=30°，即救护船A沿南偏东30°方向驶向客轮C所用时间最短。
【答案】
救护船A沿南偏东30°方向驶向客轮C所用的时间最短
【知识点】
方位角、平行线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和结合的基础应用题，核心是理清方位角对应的角的关系，利用平行线和三角形内角和定理逐步计算，属于常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
12 如图, A D, A E 分别是$△ ABC$的高和角平分线,$∠ B=40°$,$∠ ACB=80°$,点 F 在 B C 的延长线上,$FG ⊥ AE$,垂足为 H,FG 与 AB 相交于点 G.求:
(1) $∠ AGF$的度数;
(2) $∠ EAD$的度数.
(1) $∠ AGF$的度数;
(2) $∠ EAD$的度数.
答案
(1) $\because ∠B=40°,∠ACB=80°,∴ ∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=180°-(40°+80°)=60°.\because AE$ 是$△ABC$ 的角平分线,$∴ ∠BAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=30°.\because FG⊥AE,∴ ∠AHG=90°.∴ ∠AGF=180°-(∠AHG+∠BAE)=180°-(90°+30°)=60°$
(2) $\because AD$ 是$△ABC$ 的高,$∴ ∠ADC=90°.\because ∠ACB=80°,∴ ∠CAD=180°-(∠ADC+∠ACB)=180°-(90°+80°)=10°.$ 由(1),知$∠BAC=60°$,又$\because AE$ 是$△ABC$ 的角平分线,$∴ ∠CAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=30°.∴ ∠EAD=∠CAE-∠CAD=20°$
(2) $\because AD$ 是$△ABC$ 的高,$∴ ∠ADC=90°.\because ∠ACB=80°,∴ ∠CAD=180°-(∠ADC+∠ACB)=180°-(90°+80°)=10°.$ 由(1),知$∠BAC=60°$,又$\because AE$ 是$△ABC$ 的角平分线,$∴ ∠CAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=30°.∴ ∠EAD=∠CAE-∠CAD=20°$
解析
【分析】
要解决这两个角度问题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC的∠BAC，再结合角平分线的性质得到相关角的度数；对于∠AGF，利用FG⊥AE得到直角三角形，结合三角形内角和计算；对于∠EAD，利用高的性质求出∠CAD，再用角平分线的∠CAE减去∠CAD即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 40° - 80° = 60°。
因为AE是△ABC的角平分线，所以：
∠BAE = ½∠BAC = ½×60° = 30°。
又因为FG⊥AE，所以∠AHG = 90°，在△AHG中，根据三角形内角和：
∠AGF = 180° - ∠AHG - ∠BAE = 180° - 90° - 30° = 60°。
(2) 因为AD是△ABC的高，所以∠ADC = 90°，在△ADC中，根据三角形内角和：
∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠ACB = 180° - 90° - 80° = 10°。
由(1)知∠BAC = 60°，AE是角平分线，所以：
∠CAE = ½∠BAC = 30°。
因此∠EAD = ∠CAE - ∠CAD = 30° - 10° = 20°。
【答案】
(1) ∠AGF = 60°；(2) ∠EAD = 20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线性质；三角形的高
【点评】
本题考查三角形内角和、角平分线及高的相关角度计算，属于基础题型，需熟练掌握三角形角度计算的基本方法，理清各角间的关系。
【难度系数】
0.5
要解决这两个角度问题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC的∠BAC，再结合角平分线的性质得到相关角的度数；对于∠AGF，利用FG⊥AE得到直角三角形，结合三角形内角和计算；对于∠EAD，利用高的性质求出∠CAD，再用角平分线的∠CAE减去∠CAD即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 40° - 80° = 60°。
因为AE是△ABC的角平分线，所以：
∠BAE = ½∠BAC = ½×60° = 30°。
又因为FG⊥AE，所以∠AHG = 90°，在△AHG中，根据三角形内角和：
∠AGF = 180° - ∠AHG - ∠BAE = 180° - 90° - 30° = 60°。
(2) 因为AD是△ABC的高，所以∠ADC = 90°，在△ADC中，根据三角形内角和：
∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠ACB = 180° - 90° - 80° = 10°。
由(1)知∠BAC = 60°，AE是角平分线，所以：
∠CAE = ½∠BAC = 30°。
因此∠EAD = ∠CAE - ∠CAD = 30° - 10° = 20°。
【答案】
(1) ∠AGF = 60°；(2) ∠EAD = 20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线性质；三角形的高
【点评】
本题考查三角形内角和、角平分线及高的相关角度计算，属于基础题型，需熟练掌握三角形角度计算的基本方法，理清各角间的关系。
【难度系数】
0.5
