21. 设$5-\sqrt{3}$的小数部分为$a$,$5+\sqrt{3}$的小数部分为$b$,求$(a-1)(b+2)$的值.

因为 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分为 3,所以 $a = 5 - \sqrt{3} - 3 = 2 - \sqrt{3}$. 因为 $5+\sqrt{3}$ 的整数部分为 6,所以 $b = 5 + \sqrt{3} - 6 = \sqrt{3} - 1$. 把 $a,b$ 代入,则 $(a - 1)(b + 2) = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1 - 3 = -2$.

22. 如图 8,在四边形 ABCD 中,$AD // BC$,点 O 在 BD 上,过点 O 作 $EF ⊥ BD$ 分别交 BC,AD 于点 E 和点 F,且 $BF // DE$.
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若菱形 BEDF 的周长是 32,$BD + EF = 20$,求 $OD · OF$ 的值.

(1)
∵ $AD // BC, BF // DE$,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∵ $EF ⊥ BD$,
∴ 四边形 BEDF 是菱形.
(2)
∵ 菱形 BEDF 的周长是 32,
∴ $FD = 32 ÷ 4 = 8$, $BD = 2OD$, $EF = 2OF$.
∵ $BD + EF = 20$,
∴ $2OD + 2OF = 20$.
∴ $OD + OF = 10$.
∴ $(OD + OF)^2 = 10^2$.
∴ $OD^2 + OF^2 + 2OD·OF = 100$.
∵ $EF ⊥ BD$,
∴ △DOF 是直角三角形. 由勾股定理,得 $OD^2 + OF^2 = DF^2 = 8^2 = 64$.
∴ $64 + 2OD·OF = 100$.
∴ $OD·OF = 18$.

23. 如图 9, 函数 $y=3x+6$ 的图象与 $x$轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、点 $B$, 函数 $y=-x+2$的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $D$、点 $C$,直线 $AB,CD$ 相交于点 $M$.
(1) 求点 $M$ 的坐标和 $△ BCM$ 的面积;
(2) 点 $N$ 在直线 $CD$ 上, 使得 $S_{△ BMN}=$ $4S_{△ AMC}$, 求点 $N$ 的坐标.

(1) 由题意,得 $\begin{cases}y = -x + 2,\\y = 3x + 6.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = -1,\\y = 3.\end{cases}$
∴ 点 M 的坐标为 $(-1,3)$.
∵ 函数 $y = 3x + 6$ 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、点 B,函数 $y = -x + 2$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 D、点 C,
∴ 把 $x = 0$ 代入 $y = -x + 2$,得 $y = 2$.
∴ $C(0,2)$. 把 $x = 0$ 代入 $y = 3x + 6$,得 $y = 6$.
∴ $B(0,6)$,
∴ $BC = 6 - 2 = 4$.
∵ $M(-1,3)$,
∴ 点 M 到 BC 的距离是 1.
∴ $S_{△BCM} = \frac{1}{2}×4×1 = 2$.
(2) 如图,连接 AC. 把 $y = 0$ 代入 $y = 3x + 6$,得 $x = -2$.
∴ $A(-2,0)$.
∴ $S_{△ACM} = S_{△ABC} - S_{△BCM} = \frac{1}{2}×4×2 - 2 = 2$. 把 $y = 0$ 代入 $y = -x + 2$,得 $0 = -x + 2$. 解得 $x = 2$.
∴ $D(2,0)$.
∵ $S_{△BMN} = 4S_{△AMC} = 8$, $S_{△BMN} = \frac{1}{2}BC·|x_N - x_M|$,
∴ $\frac{1}{2}×4|x_N - (-1)| = 8$.
∴ $x_N = -5$ 或 $x_N = 3$. 当 $x_N = -5$ 时, $y_N = -(-5) + 2 = 7$,此时点 N 的坐标为 $(-5,7)$;当 $x_N = 3$ 时, $y_N = -3 + 2 = -1$,此时点 N 的坐标为 $(3,-1)$. 综上可知,$N(-5,7)$ 或 $N(3,-1)$.