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一、一元二次方程的概念
1. 下列方程不是一元二次方程的是
（
A.$\sqrt{3}y^2 + 2y + 1 = 0$
B.$\frac{1}{2}x^2 = 1 - 3x$
C.$\frac{1}{10}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} = 0$
D.$\frac{1}{x^2} + x - 6 = 0$
1. 下列方程不是一元二次方程的是
（
D
）A.$\sqrt{3}y^2 + 2y + 1 = 0$
B.$\frac{1}{2}x^2 = 1 - 3x$
C.$\frac{1}{10}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} = 0$
D.$\frac{1}{x^2} + x - 6 = 0$
答案
1. D
2. 下列说法正确的是 （
A.方程$8x^2 -7=0$的一次项系数为-7
B.一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$
C.当$k=0$时,方程$kx^2 +3x -1 = x^2$为一元二次方程
D.当$m$取所有实数时,关于$x$的方程$(m^2 -1)x^2 -mx -3=0$为一元二次方程
C
）A.方程$8x^2 -7=0$的一次项系数为-7
B.一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$
C.当$k=0$时,方程$kx^2 +3x -1 = x^2$为一元二次方程
D.当$m$取所有实数时,关于$x$的方程$(m^2 -1)x^2 -mx -3=0$为一元二次方程
答案
2. C
3. 已知$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2+ax+2b=0$的一个解，则$2a+4b$的值为 （
A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-6$
A
）A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-6$
答案
3. A
4. 若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根,则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为 （
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
）A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
4. C
5. 已知 $ m $ 为方程 $ x^2 + 3x - 2022 = 0 $ 的根,那么 $ m^3 + 2m^2 - 2025m + 2022 $ 的值为
$( \quad )$
A.$-2022$
B.$0$
C.$2022$
D.$4044$
$( \quad )$
A.$-2022$
B.$0$
C.$2022$
D.$4044$
答案
5. B 提示:
∵ m 为方程 $x^2+3x-2 022=0$的根,
∴ $m^2+3m-2 022=0$.
∴ $m^2+3m=2 022$.
∴ 原式=$m^3+3m^2-m^2-3m-2 022m+2 022 = m( m^2+3m )-( m^2+3m )-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.$
∵ m 为方程 $x^2+3x-2 022=0$的根,
∴ $m^2+3m-2 022=0$.
∴ $m^2+3m=2 022$.
∴ 原式=$m^3+3m^2-m^2-3m-2 022m+2 022 = m( m^2+3m )-( m^2+3m )-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.$
6. 若关于$ x $的一元二次方程$ mx^2 + nx - 1 = 0(m ≠ 0) $的一个根是$ x = 1 $，则$ m + n $的值是________。
答案
6. 1
7. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 4x - m = 0 $有两个不相等的实数根，则实数$ m $的取值范围是________.
答案
7. $m＞-4$
8. 已知 $ m $ 是方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的一个根,求 $ (m-3)^2 + (m+2)(m-2) $ 的值.
答案
8.
∵ m 是方程$x^2-3x+1=0$的一个根,
∴ $m^2-3m+1=0$,即$m^2-3m=-1$.
∴ $(m-3)^2+(m+2)(m-2)=m^2-6m+9+m^2-4=2( m^2-3m )+5=3.$
∵ m 是方程$x^2-3x+1=0$的一个根,
∴ $m^2-3m+1=0$,即$m^2-3m=-1$.
∴ $(m-3)^2+(m+2)(m-2)=m^2-6m+9+m^2-4=2( m^2-3m )+5=3.$
