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1. (2024·青海)如图，OC平分$∠AOB$，点P在OC上，$PD⊥OB$，$PD=2$，则点P到OA的距离是 （
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先提取题干已知条件：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD是点P到OB的垂线段且长度为2，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到OA的距离和点P到OB的距离相等，即可直接求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则PE的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PD，
又
∵ PD = 2，
∴ PE = 2，即点P到OA的距离是2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对角平分线性质的理解与直接应用，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心，做题时需明确“点到角两边的距离”指的是点到两边垂线段的长度。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干已知条件：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD是点P到OB的垂线段且长度为2，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到OA的距离和点P到OB的距离相等，即可直接求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则PE的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PD，
又
∵ PD = 2，
∴ PE = 2，即点P到OA的距离是2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对角平分线性质的理解与直接应用，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的核心，做题时需明确“点到角两边的距离”指的是点到两边垂线段的长度。
【难度系数】
0.9
2. 在正方形网格中，$∠ AOB$ 的位置如图所示，到$∠ AOB$两边距离相等的点是 （
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
A
）A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
2. A 解析:观察图形可知点 M 在∠AOB 的平分线上,
∴点 M 到∠AOB 两边的距离相等.
∴点 M 到∠AOB 两边的距离相等.
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的相关结论：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此本题只需判断四个选项里的点哪个落在∠AOB的平分线上即可。接下来结合正方形网格的直观性，逐个观察各点与∠AOB的位置关系就能得出答案。
【解析】
根据角平分线的性质及判定：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。观察图形可知，只有点M位于∠AOB的平分线上，因此点M到∠AOB两边的距离相等，符合题目要求。故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查角平分线相关性质的应用，解题的核心是明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合网格可直接观察得出结论，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角平分线的相关结论：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此本题只需判断四个选项里的点哪个落在∠AOB的平分线上即可。接下来结合正方形网格的直观性，逐个观察各点与∠AOB的位置关系就能得出答案。
【解析】
根据角平分线的性质及判定：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。观察图形可知，只有点M位于∠AOB的平分线上，因此点M到∠AOB两边的距离相等，符合题目要求。故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查角平分线相关性质的应用，解题的核心是明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合网格可直接观察得出结论，计算量小。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$.若$AC=2$,$DE=1$,则$S_{△ ACD}=$
1
.答案
3. 1 解析:如图，过点 D 作 DF⊥AC,垂足为 F.
∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=1.
∵AC=2,
∴S△ACD=$\frac{1}{2}$ AC·DF=$\frac{1}{2}×2×1=1$.
解析
【分析】
要求$△ ACD$的面积，已知底$AC=2$，只需求出$AC$边上的高即可。结合已知$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点$D$作$DF⊥ AC$于$F$，得到$DF=DE$，再代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点$D$作$DF⊥ AC$，垂足为$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DF=DE=1$。
又$\because AC=2$，
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到$AC$边上的高，熟练掌握角平分线的性质可快速求解。
【难度系数】
0.9
要求$△ ACD$的面积，已知底$AC=2$，只需求出$AC$边上的高即可。结合已知$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点$D$作$DF⊥ AC$于$F$，得到$DF=DE$，再代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点$D$作$DF⊥ AC$，垂足为$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DF=DE=1$。
又$\because AC=2$，
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到$AC$边上的高，熟练掌握角平分线的性质可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图，$AB// CD$，$BP$ 和 $CP$ 分别平分 $∠ ABC$ 和 $∠ DCB$，$AD$ 过点 $P$ 且与 $AB$ 垂直。若点 $P$ 到 $BC$ 的距离是 4，则 $AD$ 的长为________。
答案
4. 8 解析:如图,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,则 PE=4.
∵AB//CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD.
∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PD=PA=PE=4,
∴AD=PA+PD=8.
解析
【分析】
遇到含角平分线、垂线段的几何问题，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题已知点P到BC的距离为4，先作辅助线PE⊥BC得到PE=4；再结合AB//CD、AD⊥AB，可推出AD⊥CD，即PA是P到AB的距离，PD是P到CD的距离；最后根据BP、CP分别是两个角的平分线，可得PA=PE、PD=PE，即可求出PA、PD的长度，相加得到AD的总长。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E，则PE=4。
∵AB//CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE=4，
∴AD=PA+PD=4+4=8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质、垂线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查基础性质的灵活运用，解题的关键是通过角平分线性质建立已知垂线段和待求线段组成部分的等量关系，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到含角平分线、垂线段的几何问题，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题已知点P到BC的距离为4，先作辅助线PE⊥BC得到PE=4；再结合AB//CD、AD⊥AB，可推出AD⊥CD，即PA是P到AB的距离，PD是P到CD的距离；最后根据BP、CP分别是两个角的平分线，可得PA=PE、PD=PE，即可求出PA、PD的长度，相加得到AD的总长。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E，则PE=4。
∵AB//CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE=4，
∴AD=PA+PD=4+4=8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质、垂线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查基础性质的灵活运用，解题的关键是通过角平分线性质建立已知垂线段和待求线段组成部分的等量关系，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 尺规作图:如图,在四边形ABCD内找一点P,使得点P到AB、BC的距离相等,并且点P到点A、D的距离也相等.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
5. 如图,点 P 即为所求.
解析
【分析】
要找到满足两个条件的点P，可分别分析每个条件对应的点的位置：①点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P在∠ABC的角平分线上；②点P到A、D的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知点P在线段AD的垂直平分线上。因此只需分别作出这两条线，它们的交点即为所求的点P。
【解析】
1. 用尺规作出∠ABC的角平分线；
2. 用尺规作出线段AD的垂直平分线；
3. 两条线的交点即为所求点P，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础的尺规作图综合题，核心是将点满足的几何条件转化为对应的作图轨迹，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的基本作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要找到满足两个条件的点P，可分别分析每个条件对应的点的位置：①点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的性质，可知点P在∠ABC的角平分线上；②点P到A、D的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，可知点P在线段AD的垂直平分线上。因此只需分别作出这两条线，它们的交点即为所求的点P。
【解析】
1. 用尺规作出∠ABC的角平分线；
2. 用尺规作出线段AD的垂直平分线；
3. 两条线的交点即为所求点P，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如图,点 P 即为所求.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础的尺规作图综合题，核心是将点满足的几何条件转化为对应的作图轨迹，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的基本作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别是E、F,$BE=CF$.
求证:AD是$△ ABC$的角平分线.
求证:AD是$△ ABC$的角平分线.
答案
6. 证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∴AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∴AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线.
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察已知条件，D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC说明△BDE和△CDF都是直角三角形，结合已知BE=CF，可通过HL判定两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线，得证。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是梳理清楚证明逻辑，先通过直角三角形全等得到对应边相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，要求同学们熟练掌握相关定理的适用条件和应用方法。
【难度系数】
0.8
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察已知条件，D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC说明△BDE和△CDF都是直角三角形，结合已知BE=CF，可通过HL判定两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线，得证。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是梳理清楚证明逻辑，先通过直角三角形全等得到对应边相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，要求同学们熟练掌握相关定理的适用条件和应用方法。
【难度系数】
0.8
