登录
7. 在$△ ABC$中，$BC=10$，$AB$、$AC$的垂直平分线分别交边$BC$于点$D$、$E$，且$DE=4$，则$AD+AE$的值为 （
A.6
B.14
C.6或14
D.8或12
C
）A.6
B.14
C.6或14
D.8或12
答案
7. C 解析：
∵AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE. 分两种情况:如图1,当BD与CE无重合时,
∵BC=10,DE=4,
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6;如图2,当BD与CE有重合时,
∵BC=10,DE=4,
∴AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.综上所述,AD+AE的值为6或14.
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可将AD转化为BD，AE转化为CE，把求AD+AE的问题转化为求BD+CE的和。接下来需要考虑D、E两点在BC上的位置存在两种情况：一是BD与CE没有重叠部分，二是BD与CE存在重叠部分，结合BC和DE的长度分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
∵AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AD=BD，AE=CE。
分两种情况讨论：
① 如图1，当BD与CE无重合时，
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC - DE=10 - 4=6；
② 如图2，当BD与CE有重合时，
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC + DE=10 + 4=14。
综上所述，AD+AE的值为6或14。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，易错点是容易忽略D、E在BC上的两种位置关系，仅计算出其中一种结果，解题时要结合图形分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可将AD转化为BD，AE转化为CE，把求AD+AE的问题转化为求BD+CE的和。接下来需要考虑D、E两点在BC上的位置存在两种情况：一是BD与CE没有重叠部分，二是BD与CE存在重叠部分，结合BC和DE的长度分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
∵AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AD=BD，AE=CE。
分两种情况讨论：
① 如图1，当BD与CE无重合时，
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC - DE=10 - 4=6；
② 如图2，当BD与CE有重合时，
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC + DE=10 + 4=14。
综上所述，AD+AE的值为6或14。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，易错点是容易忽略D、E在BC上的两种位置关系，仅计算出其中一种结果，解题时要结合图形分析所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张$5×5$的方格纸中,找出格点C,使$△ ABC$为等腰三角形,则满足条件的格点C有 （
A.3个
B.5个
C.6个
D.8个
C
）A.3个
B.5个
C.6个
D.8个
答案
8. C 解析:如图,满足条件的点C有6个.
解析
【分析】
要解决这道题，我们结合等腰三角形的定义分类讨论，避免漏解：第一步先计算AB的长度；第二步分两种情况找点：①以AB为腰时，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找出弧经过的格点，注意排除A、B本身以及和A、B共线的点；②以AB为底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，作AB的垂直平分线，找出线上的格点；最后统计所有符合条件的点的数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得AB的长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
分两类讨论符合条件的格点C：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
① 以A为圆心，AB长为半径画弧，在$5×5$方格的格点中，除点B外，可得2个符合条件的点C；
② 以B为圆心，AB长为半径画弧，在$5×5$方格的格点中，除点A外，可得2个符合条件的点C；
2. 当AB为等腰三角形的底时：
作AB的垂直平分线，在$5×5$方格的格点中，可得2个符合条件的点C。
综上，符合条件的格点C共有$2+2+2=6$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时按照“AB为腰”“AB为底”两类情况逐一找点，同时要注意排除三点共线的情况，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们结合等腰三角形的定义分类讨论，避免漏解：第一步先计算AB的长度；第二步分两种情况找点：①以AB为腰时，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找出弧经过的格点，注意排除A、B本身以及和A、B共线的点；②以AB为底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，作AB的垂直平分线，找出线上的格点；最后统计所有符合条件的点的数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得AB的长度为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
分两类讨论符合条件的格点C：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
① 以A为圆心，AB长为半径画弧，在$5×5$方格的格点中，除点B外，可得2个符合条件的点C；
② 以B为圆心，AB长为半径画弧，在$5×5$方格的格点中，除点A外，可得2个符合条件的点C；
2. 当AB为等腰三角形的底时：
作AB的垂直平分线，在$5×5$方格的格点中，可得2个符合条件的点C。
综上，符合条件的格点C共有$2+2+2=6$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时按照“AB为腰”“AB为底”两类情况逐一找点，同时要注意排除三点共线的情况，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在$△ ABC$中,$MP$、$NQ$分别垂直平分边$AB$、$AC$,交$BC$于点$P$、$Q$.如果$BC=20$,那么$△ APQ$的周长为________.
答案
9. 20 解析:
∵MP和NQ分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=20.
∵MP和NQ分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=20.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，题目给出MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AP=BP、AQ=CQ。再看所求的△APQ的周长，其组成为AP+PQ+AQ，将刚才得到的相等线段进行代换，即可将周长转化为BP+PQ+CQ，刚好对应已知长度的BC边，代入数值就能求出结果。
【解析】
∵MP垂直平分AB，点P在MP上，
∴AP=BP，
∵NQ垂直平分AC，点Q在NQ上，
∴AQ=CQ，
∴△APQ的周长 = AP + PQ + AQ = BP + PQ + CQ = BC，
又
∵BC=20，
∴△APQ的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的运用，解题关键是通过性质将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握线段垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，题目给出MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AP=BP、AQ=CQ。再看所求的△APQ的周长，其组成为AP+PQ+AQ，将刚才得到的相等线段进行代换，即可将周长转化为BP+PQ+CQ，刚好对应已知长度的BC边，代入数值就能求出结果。
【解析】
∵MP垂直平分AB，点P在MP上，
∴AP=BP，
∵NQ垂直平分AC，点Q在NQ上，
∴AQ=CQ，
∴△APQ的周长 = AP + PQ + AQ = BP + PQ + CQ = BC，
又
∵BC=20，
∴△APQ的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的运用，解题关键是通过性质将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握线段垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$△ ABC$中，$AD$垂直平分$BC$，$AC$的垂直平分线分别交$AC$、$AD$、$AB$于点$E$、$O$、$F$，则图中全等三角形有________对。
答案
10. 4 解析:
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC，AD⊥BC，OC=OB. 在△ACD和△ABD中，$\begin{cases} BD=DC, \\ ∠ADC=∠ADB, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ABD(SAS). 同理可得△COD≌△BOD. 在△AOC和△AOB中，$\begin{cases} OA=OA, \\ OC=OB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△OAC≌△OAB(SSS).
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°. 在Rt△OAE和Rt△OCE中，$\begin{cases} OA=OC, \\ OE=OE, \end{cases}$
∴Rt△OAE≌Rt△OCE(HL). 综上所述,图中全等三角形有4对.
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC，AD⊥BC，OC=OB. 在△ACD和△ABD中，$\begin{cases} BD=DC, \\ ∠ADC=∠ADB, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ABD(SAS). 同理可得△COD≌△BOD. 在△AOC和△AOB中，$\begin{cases} OA=OA, \\ OC=OB, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△OAC≌△OAB(SSS).
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°. 在Rt△OAE和Rt△OCE中，$\begin{cases} OA=OC, \\ OE=OE, \end{cases}$
∴Rt△OAE≌Rt△OCE(HL). 综上所述,图中全等三角形有4对.
解析
【分析】
解题时先运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的夹角为直角。首先由AD垂直平分BC推导得到多组相等的边和直角，再结合AC的垂直平分线EF得到的相等线段，按照全等三角形的判定定理（SAS、SSS、HL等）按顺序排查图中的三角形，统计全等的对数即可。
【解析】
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC，AD⊥BC，OC=OB。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} BD=DC \\ ∠ ADB=∠ ADC=90° \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）；
在$△ BOD$和$△ COD$中，
$\begin{cases} BD=DC \\ ∠ ODB=∠ ODC=90° \\ OD=OD \end{cases}$
∴$△ BOD ≌ △ COD$（SAS）；
在$△ AOB$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AB=AC \\ OB=OC \\ OA=OA \end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ AOC$（SSS）；
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，$∠ OEA=∠ OEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ OE=OE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE$（HL）。
综上所述，图中全等三角形共有4对。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查垂直平分线性质和全等判定的综合应用，解题时要按固定顺序排查全等三角形，避免出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
解题时先运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的夹角为直角。首先由AD垂直平分BC推导得到多组相等的边和直角，再结合AC的垂直平分线EF得到的相等线段，按照全等三角形的判定定理（SAS、SSS、HL等）按顺序排查图中的三角形，统计全等的对数即可。
【解析】
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，BD=DC，AD⊥BC，OC=OB。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} BD=DC \\ ∠ ADB=∠ ADC=90° \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）；
在$△ BOD$和$△ COD$中，
$\begin{cases} BD=DC \\ ∠ ODB=∠ ODC=90° \\ OD=OD \end{cases}$
∴$△ BOD ≌ △ COD$（SAS）；
在$△ AOB$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AB=AC \\ OB=OC \\ OA=OA \end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ AOC$（SSS）；
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，$∠ OEA=∠ OEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中，
$\begin{cases} OA=OC \\ OE=OE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ OAE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE$（HL）。
综上所述，图中全等三角形共有4对。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查垂直平分线性质和全等判定的综合应用，解题时要按固定顺序排查全等三角形，避免出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AC$的垂直平分线交$DC$于点$E$,且$BD=DE$.求证:$AB+BD=DC$.
答案
11. 证明:如图,连接AE.
∵AC的垂直平分线交DC于点E,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=CE,
∴AB+BD=CE+DE=DC.
解析
【分析】
要证明$AB+BD=DC$，首先观察线段$DC$的构成：$DC=DE+EC$，题目已知$BD=DE$，因此只需证明$AB=EC$即可完成推导。结合题中给出的“$AC$的垂直平分线交$DC$于点$E$”这一条件，优先考虑连接辅助线$AE$，利用线段垂直平分线的性质得到$AE=CE$；再根据$AD⊥ BC$且$BD=DE$，可判定$AD$是$BE$的垂直平分线，进而得到$AB=AE$，通过等量代换就能得到$AB=EC$，最终推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接$AE$。
$\because AC$的垂直平分线交$DC$于点$E$，
$\therefore$ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得$AE=CE$。
$\because AD⊥ BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore$ 由线段垂直平分线的性质得$AB=AE$，
$\therefore AB=CE$，
$\therefore AB+BD=CE+DE=DC$。
【答案】
证明:如图,连接AE.
∵AC的垂直平分线交DC于点E,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=CE,
∴AB+BD=CE+DE=DC.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是正确作出辅助线$AE$，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转换，主要考查学生对基础几何性质的掌握程度和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明$AB+BD=DC$，首先观察线段$DC$的构成：$DC=DE+EC$，题目已知$BD=DE$，因此只需证明$AB=EC$即可完成推导。结合题中给出的“$AC$的垂直平分线交$DC$于点$E$”这一条件，优先考虑连接辅助线$AE$，利用线段垂直平分线的性质得到$AE=CE$；再根据$AD⊥ BC$且$BD=DE$，可判定$AD$是$BE$的垂直平分线，进而得到$AB=AE$，通过等量代换就能得到$AB=EC$，最终推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接$AE$。
$\because AC$的垂直平分线交$DC$于点$E$，
$\therefore$ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得$AE=CE$。
$\because AD⊥ BC$，$BD=DE$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore$ 由线段垂直平分线的性质得$AB=AE$，
$\therefore AB=CE$，
$\therefore AB+BD=CE+DE=DC$。
【答案】
证明:如图,连接AE.
∵AC的垂直平分线交DC于点E,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=CE,
∴AB+BD=CE+DE=DC.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是正确作出辅助线$AE$，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转换，主要考查学生对基础几何性质的掌握程度和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,$DE⊥ DF$,交AB于点E,连接EG、EF.
(1)求证:$BG=CF$.
(2)请你判断$BE+CF$与$EF$的大小关系,并说明理由.
(1)求证:$BG=CF$.
(2)请你判断$BE+CF$与$EF$的大小关系,并说明理由.
答案
12. (1)证明:
∵BG//AC,
∴∠DBG=∠CDF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD. 在△BGD和△CFD中，$\begin{cases} ∠DBG=∠DCF, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDF, \end{cases}$
∴△BGD≌△CFD(ASA),
∴BG=CF.
(2)BE+CF＞EF. 理由如下:
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD. 又
∵DE⊥FG,
∴EG=EF. 在△EBG中,BE+BG＞EG,
∴BE+CF＞EF.
∵BG//AC,
∴∠DBG=∠CDF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD. 在△BGD和△CFD中，$\begin{cases} ∠DBG=∠DCF, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDF, \end{cases}$
∴△BGD≌△CFD(ASA),
∴BG=CF.
(2)BE+CF＞EF. 理由如下:
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD. 又
∵DE⊥FG,
∴EG=EF. 在△EBG中,BE+BG＞EG,
∴BE+CF＞EF.
解析
【分析】
(1)要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知BG//AC，可得到一组内错角相等；D是BC中点，可得到BD=CD；再结合对顶角相等，即可通过ASA判定△BGD和△CFD全等，从而推出BG=CF。
(2)比较线段和与第三条线段的大小，通常利用三角形三边关系。首先借助(1)的全等结论，把CF替换为BG，再由全等得到GD=FD，结合DE⊥DF可知DE是FG的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EG=EF，把EF替换为EG后，即可在△EBG中利用三边关系得到BE+BG＞EG，等量代换后即可得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵BG//AC，
∴∠DBG=∠DCF。
∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BGD和△CFD中，
$\begin{cases} ∠DBG=∠DCF, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDF, \end{cases}$
∴△BGD≌△CFD(ASA)，
∴BG=CF。
(2)BE+CF＞EF，理由如下：
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD。
又
∵DE⊥FG，
∴EG=EF。
在△EBG中，根据三角形三边关系可得BE+BG＞EG，
∵BG=CF，EG=EF，
∴BE+CF＞EF。
【答案】
(1)BG=CF，证明成立；
(2)BE+CF＞EF
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查线段的等量转化能力，解题关键是通过全等转换线段、通过线段垂直平分线性质转移待比较线段，最终借助三角形三边关系得出结论，对逻辑推理能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明两条线段相等，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知BG//AC，可得到一组内错角相等；D是BC中点，可得到BD=CD；再结合对顶角相等，即可通过ASA判定△BGD和△CFD全等，从而推出BG=CF。
(2)比较线段和与第三条线段的大小，通常利用三角形三边关系。首先借助(1)的全等结论，把CF替换为BG，再由全等得到GD=FD，结合DE⊥DF可知DE是FG的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EG=EF，把EF替换为EG后，即可在△EBG中利用三边关系得到BE+BG＞EG，等量代换后即可得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵BG//AC，
∴∠DBG=∠DCF。
∵D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BGD和△CFD中，
$\begin{cases} ∠DBG=∠DCF, \\ BD=CD, \\ ∠BDG=∠CDF, \end{cases}$
∴△BGD≌△CFD(ASA)，
∴BG=CF。
(2)BE+CF＞EF，理由如下：
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD。
又
∵DE⊥FG，
∴EG=EF。
在△EBG中，根据三角形三边关系可得BE+BG＞EG，
∵BG=CF，EG=EF，
∴BE+CF＞EF。
【答案】
(1)BG=CF，证明成立；
(2)BE+CF＞EF
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查线段的等量转化能力，解题关键是通过全等转换线段、通过线段垂直平分线性质转移待比较线段，最终借助三角形三边关系得出结论，对逻辑推理能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
