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1. 用公式法解方程$x^2 - 2x = 3$时,求根公式中的$a,b,c$的值分别是 （
A.$a=1,b=-2,c=3$
B.$a=1,b=2,c=-3$
C.$a=1,b=2,c=3$
D.$a=1,b=-2,c=-3$
D
）A.$a=1,b=-2,c=3$
B.$a=1,b=2,c=-3$
C.$a=1,b=2,c=3$
D.$a=1,b=-2,c=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
要确定求根公式中的a、b、c，首先需要把方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中a是二次项系数、b是一次项系数、c是常数项，提取系数时要连同前面的符号。解题时先对原方程移项，将所有项移到等号左侧化为一般形式，再对应匹配系数即可。
【解析】
首先对原方程$x^2 - 2x = 3$移项，把等号右侧的3移到左侧，移项要变号，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念题，核心考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是未将方程化为一般形式就直接取常数项，或移项时忽略符号变化导致c的取值错误，做题时需先整理为标准一般形式再提取系数。
【难度系数】
0.7
要确定求根公式中的a、b、c，首先需要把方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中a是二次项系数、b是一次项系数、c是常数项，提取系数时要连同前面的符号。解题时先对原方程移项，将所有项移到等号左侧化为一般形式，再对应匹配系数即可。
【解析】
首先对原方程$x^2 - 2x = 3$移项，把等号右侧的3移到左侧，移项要变号，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念题，核心考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是未将方程化为一般形式就直接取常数项，或移项时忽略符号变化导致c的取值错误，做题时需先整理为标准一般形式再提取系数。
【难度系数】
0.7
2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程的根为 $ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 × 1 × (-2)}}{2 × 1} $，则这个方程是 （
A.$ x^2 + 4x - 3 = 0 $
B.$ x^2 - 4x - 1 = 0 $
C.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
D.$ x^2 - 4x - 2 = 0 $
D
）A.$ x^2 + 4x - 3 = 0 $
B.$ x^2 - 4x - 1 = 0 $
C.$ x^2 + 4x - 5 = 0 $
D.$ x^2 - 4x - 2 = 0 $
答案
2.D
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程的求根公式反向推导方程系数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题干给出的求根表达式与标准求根公式逐项对应，即可求出$a、b、c$的取值，进而得到原方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×1×(-2)}}{2×1}$与求根公式对比：
1. 分母部分：$2a=2×1$，可得$a=1$；
2. 分子的一次项部分：$-b=4$，可得$b=-4$；
3. 根号内的常数项部分：$-4ac=-4×1×(-2)$，结合$a=1$，可得$c=-2$。
将$a=1、b=-4、c=-2$代入一般式，得原方程为$x^2-4x-2=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只要准确掌握求根公式各部分对应系数，即可快速推导得到原方程，是一元二次方程模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程的求根公式反向推导方程系数，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，将题干给出的求根表达式与标准求根公式逐项对应，即可求出$a、b、c$的取值，进而得到原方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根的表达式$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×1×(-2)}}{2×1}$与求根公式对比：
1. 分母部分：$2a=2×1$，可得$a=1$；
2. 分子的一次项部分：$-b=4$，可得$b=-4$；
3. 根号内的常数项部分：$-4ac=-4×1×(-2)$，结合$a=1$，可得$c=-2$。
将$a=1、b=-4、c=-2$代入一般式，得原方程为$x^2-4x-2=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式结构的熟悉程度，只要准确掌握求根公式各部分对应系数，即可快速推导得到原方程，是一元二次方程模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3. [2024·合肥经开区校级期末]若$x_1,x_2$是方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根，则（
A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=-\dfrac{3}{2}$
D.$x_1x_2=-\dfrac{1}{2}$
D
）A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=-\dfrac{3}{2}$
D.$x_1x_2=-\dfrac{1}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用。解题思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题干给出的方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再根据根与系数的关系公式分别计算两根之和与两根之积，最后将计算结果和选项逐一比对，选出正确答案。
【解析】
已知方程$2x^2+3x-1=0$是一元二次方程的一般形式，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，因此选项A、B均不符合计算结果，错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对根与系数关系公式的掌握程度，解题时要注意准确识别方程各项的系数和符号，避免因记错公式或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用。解题思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题干给出的方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再根据根与系数的关系公式分别计算两根之和与两根之积，最后将计算结果和选项逐一比对，选出正确答案。
【解析】
已知方程$2x^2+3x-1=0$是一元二次方程的一般形式，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，因此选项A、B均不符合计算结果，错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$，因此选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对根与系数关系公式的掌握程度，解题时要注意准确识别方程各项的系数和符号，避免因记错公式或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4. [2025·亳州期末]下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是 （
A.$x^2 - 4x + 4 = 0$
B.$x^2 - x + 1 = 0$
C.$x^2 + 3x + 4 = 0$
D.$x^2 + 5x - 1 = 0$
D
）A.$x^2 - 4x + 4 = 0$
B.$x^2 - x + 1 = 0$
C.$x^2 + 3x + 4 = 0$
D.$x^2 + 5x - 1 = 0$
答案
4.D
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，解题思路为：先明确每个方程对应的a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项），再分别计算每个选项的Δ值，根据“Δ＞0时方程有两个不相等的实数根”的规则选出正确选项。
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
①当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
②当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个计算选项的$\Delta$值：
A选项：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=16-16=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
B选项：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
C选项：方程$x^2 + 3x + 4 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=4$，$\Delta=3^2-4×1×4=9-16=-7＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
D选项：方程$x^2 + 5x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=5$，$c=-1$，$\Delta=5^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记判别式的计算规则及不同取值对应的根的情况是解题核心，属于基础常考题。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
①当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
②当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
③当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个计算选项的$\Delta$值：
A选项：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=16-16=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
B选项：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
C选项：方程$x^2 + 3x + 4 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=4$，$\Delta=3^2-4×1×4=9-16=-7＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
D选项：方程$x^2 + 5x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=5$，$c=-1$，$\Delta=5^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，熟记判别式的计算规则及不同取值对应的根的情况是解题核心，属于基础常考题。
【难度系数】0.8
5. 已知关于$ x $ 的一元二次方程$ x^2 + cx + 6 = 0 $的两根之和为$-2$，则$ c $ 的值是________。
答案
5.2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。我们只需要先确定题中方程的二次项系数$a$和一次项系数$b$，再结合已知的两根之和列方程，即可求出参数$c$的值。
【解析】
解：题中一元二次方程为$x^2 + cx + 6 = 0$，对应一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=c$。
根据根与系数的关系，该方程两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{c}{1}=-c$。
已知两根之和为$-2$，因此列方程：
$-c=-2$
解得$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根与系数关系的掌握，解题时要注意准确对应方程各项系数，避免公式中的符号运算出错。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。我们只需要先确定题中方程的二次项系数$a$和一次项系数$b$，再结合已知的两根之和列方程，即可求出参数$c$的值。
【解析】
解：题中一元二次方程为$x^2 + cx + 6 = 0$，对应一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=c$。
根据根与系数的关系，该方程两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{c}{1}=-c$。
已知两根之和为$-2$，因此列方程：
$-c=-2$
解得$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对根与系数关系的掌握，解题时要注意准确对应方程各项系数，避免公式中的符号运算出错。
【难度系数】
0.9
6. 用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 - 7x - 4 = 0$；
(2)$4x^2 - 1 = 12x$；
(3)$(3x - 1)(x + 2) = 11x - 4$。
(1)$2x^2 - 7x - 4 = 0$；
(2)$4x^2 - 1 = 12x$；
(3)$(3x - 1)(x + 2) = 11x - 4$。
答案
6.解:(1)$x_1=4,x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$.
(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$.
(2)$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$.
(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的一般形式，确定$a、b、c$的取值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：若$\Delta＜0$则方程无实根，若$\Delta≥0$则方程有两个实数根；③将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终结果化为最简即可。本题3个小题均按该步骤求解，其中第(2)题需移项整理为一般式，第(3)题需先展开多项式乘积，再移项合并同类项得到一般式。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 7x - 4 = 0$为一般形式，
得$a=2$，$b=-7$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-7)^2 - 4×2×(-4) = 49 + 32 = 81＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{7\pm\sqrt{81}}{2×2} = \frac{7\pm9}{4}$，
因此$x_1=\frac{7+9}{4}=4$，$x_2=\frac{7-9}{4}=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项整理为一般式：$4x^2 - 12x -1 = 0$，
得$a=4$，$b=-12$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-12)^2 -4×4×(-1) = 144 + 16 = 160＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{12\pm\sqrt{160}}{2×4} = \frac{12\pm4\sqrt{10}}{8}$，
约分后得$x = \frac{3\pm\sqrt{10}}{2}$，
因此$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$。
(3) 先展开左边式子：$(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$，
移项合并同类项得一般式：$3x^2 -6x +2=0$，
得$a=3$，$b=-6$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-6)^2 -4×3×2 = 36 -24 =12＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{6\pm\sqrt{12}}{2×3} = \frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}$，
约分后得$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$，
因此$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-\frac{1}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$；
(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的规范应用，解题时要注意先将方程转化为标准一般式，准确计算判别式，代入求根公式后要将结果约分为最简形式，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的一般形式，确定$a、b、c$的取值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况：若$\Delta＜0$则方程无实根，若$\Delta≥0$则方程有两个实数根；③将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终结果化为最简即可。本题3个小题均按该步骤求解，其中第(2)题需移项整理为一般式，第(3)题需先展开多项式乘积，再移项合并同类项得到一般式。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 7x - 4 = 0$为一般形式，
得$a=2$，$b=-7$，$c=-4$，
判别式$\Delta = (-7)^2 - 4×2×(-4) = 49 + 32 = 81＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{7\pm\sqrt{81}}{2×2} = \frac{7\pm9}{4}$，
因此$x_1=\frac{7+9}{4}=4$，$x_2=\frac{7-9}{4}=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项整理为一般式：$4x^2 - 12x -1 = 0$，
得$a=4$，$b=-12$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-12)^2 -4×4×(-1) = 144 + 16 = 160＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{12\pm\sqrt{160}}{2×4} = \frac{12\pm4\sqrt{10}}{8}$，
约分后得$x = \frac{3\pm\sqrt{10}}{2}$，
因此$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$。
(3) 先展开左边式子：$(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$，
移项合并同类项得一般式：$3x^2 -6x +2=0$，
得$a=3$，$b=-6$，$c=2$，
判别式$\Delta = (-6)^2 -4×3×2 = 36 -24 =12＞0$，
代入求根公式得：$x = \frac{6\pm\sqrt{12}}{2×3} = \frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}$，
约分后得$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$，
因此$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-\frac{1}{2}$；
(2)$x_1=\frac{3-\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$；
(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的规范应用，解题时要注意先将方程转化为标准一般式，准确计算判别式，代入求根公式后要将结果约分为最简形式，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
