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7. 小明在解方程 $ x^2 - 5x = 1 $ 时出现了错误，解答过程如下：
∵ $ a=1, b=-5, c=1 $，(第一步)
∴ $ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 1 = 21 $，(第二步)
∴ $ x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} $，(第三步)
∴ $ x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} $
$ = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} $.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第
(2)写出此题正确的解答过程.
∵ $ a=1, b=-5, c=1 $，(第一步)
∴ $ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 1 = 21 $，(第二步)
∴ $ x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} $，(第三步)
∴ $ x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} $
$ = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} $.(第四步)(1)小明的解答过程是从第
一
步开始出错的，其错误原因是原方程没有化成一般形式
；(2)写出此题正确的解答过程.
答案
7.解:(1)一;原方程没有化成一般形式
(2)$\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29,\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$.
(2)$\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=29,\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$.
解析
【分析】
（1）判断解题错误需先回忆公式法解一元二次方程的步骤：首先要将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定系数$a、b、c$。小明未对原方程移项就直接认定$c=1$，不符合步骤要求，因此从第一步就出现错误。
（2）正确解答需先将原方程移项化为一般形式，再准确确定$a、b、c$的值，先计算根的判别式，再代入求根公式即可得到方程的正确解。
【解析】
(1) 小明在第一步直接确定常数项$c=1$，但原方程$x^2-5x=1$没有化成一元二次方程的一般形式，移项后常数项应为$-1$，因此解答过程从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式。
(2) 正确解答过程：
先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - 5x - 1 = 0$，
此时$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
计算根的判别式：$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-1) = 25 + 4 = 29$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，
因此方程的两个根为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 原方程整理得$x^2 - 5x - 1 = 0$，$\because a=1,b=-5,c=-1$，$\therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-1)=29$，$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的步骤，易错点是使用求根公式前未将方程化为一般形式，导致各项系数尤其是常数项的符号出错，解题时要严格遵循操作步骤，避免这类低级错误。
【难度系数】
0.8
（1）判断解题错误需先回忆公式法解一元二次方程的步骤：首先要将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定系数$a、b、c$。小明未对原方程移项就直接认定$c=1$，不符合步骤要求，因此从第一步就出现错误。
（2）正确解答需先将原方程移项化为一般形式，再准确确定$a、b、c$的值，先计算根的判别式，再代入求根公式即可得到方程的正确解。
【解析】
(1) 小明在第一步直接确定常数项$c=1$，但原方程$x^2-5x=1$没有化成一元二次方程的一般形式，移项后常数项应为$-1$，因此解答过程从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式。
(2) 正确解答过程：
先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - 5x - 1 = 0$，
此时$a=1$，$b=-5$，$c=-1$，
计算根的判别式：$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-1) = 25 + 4 = 29$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，
因此方程的两个根为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 原方程整理得$x^2 - 5x - 1 = 0$，$\because a=1,b=-5,c=-1$，$\therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-1)=29$，$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的步骤，易错点是使用求根公式前未将方程化为一般形式，导致各项系数尤其是常数项的符号出错，解题时要严格遵循操作步骤，避免这类低级错误。
【难度系数】
0.8
8. 若一元二次方程$x^2+bx+4=0$的两个实数根中较小的一个根是$m$，则$b+\sqrt{b^2-16}$的值为
（
A.$m$
B.$-m$
C.$2m$
D.$-2m$
（
D
）A.$m$
B.$-m$
C.$2m$
D.$-2m$
答案
8.D
解析
【分析】
解题可按3步走：第一步，先写出一元二次方程的求根公式，代入本题系数得到两个根的表达式；第二步，根据“较小的根是m”，判断出m对应的是求根公式里带减号的根；第三步，对m的表达式做变形，推导得到待求式的结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+4=0$，已知存在两个实数根，因此判别式$\Delta = b^2-16≥0$。
根据一元二次方程求根公式，方程的两个根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-16}}{2}$
因为$\sqrt{b^2-16}≥0$，所以两个实数根中较小的根是取减号的根，即：
$m=\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}$
对上述等式变形：
等式两边同乘2得：$2m=-b-\sqrt{b^2-16}$
移项整理得：$b+\sqrt{b^2-16}=-2m$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，代数式变形
【点评】
本题重点考查一元二次方程求根公式的运用，解题的关键是正确区分求根公式对应两个根的大小关系，再通过简单的代数式变形即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
解题可按3步走：第一步，先写出一元二次方程的求根公式，代入本题系数得到两个根的表达式；第二步，根据“较小的根是m”，判断出m对应的是求根公式里带减号的根；第三步，对m的表达式做变形，推导得到待求式的结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+bx+4=0$，已知存在两个实数根，因此判别式$\Delta = b^2-16≥0$。
根据一元二次方程求根公式，方程的两个根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-16}}{2}$
因为$\sqrt{b^2-16}≥0$，所以两个实数根中较小的根是取减号的根，即：
$m=\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}$
对上述等式变形：
等式两边同乘2得：$2m=-b-\sqrt{b^2-16}$
移项整理得：$b+\sqrt{b^2-16}=-2m$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，代数式变形
【点评】
本题重点考查一元二次方程求根公式的运用，解题的关键是正确区分求根公式对应两个根的大小关系，再通过简单的代数式变形即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 - m = 0 $ 的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，且满足 $ x_1x_2 = 2 $，则 $ x_1 + x_2 $ 的值为 ______。
答案
9.-4
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：首先，一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式Δ≥0，可先得到参数m的取值范围；其次，根据韦达定理，一元二次方程$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的两根之积为$\frac{c}{a}$，结合题目给出的$x_1x_2=2$可列方程求出m的可能值；再结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的m值；最后再利用韦达定理中两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入符合条件的m值即可求出$x_1+x_2$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m$。
1. 确定参数m的取值范围：
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m) = 4m ≥ 0$，解得$m ≥ 0$。
2. 利用两根之积求m的可能值：
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m$，已知$x_1x_2=2$，因此：
$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
3. 筛选符合条件的m值：
结合$m≥0$的要求，舍去$m=-1$，即$m=2$。
4. 计算两根之和：
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，代入$m=2$得：
$x_1+x_2 = -2×2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
韦达定理；根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题的易错点是忽略先通过根的判别式确定参数的取值范围，容易误将不符合要求的参数代入计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：首先，一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式Δ≥0，可先得到参数m的取值范围；其次，根据韦达定理，一元二次方程$ax²+bx+c=0$（$a≠0$）的两根之积为$\frac{c}{a}$，结合题目给出的$x_1x_2=2$可列方程求出m的可能值；再结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的m值；最后再利用韦达定理中两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入符合条件的m值即可求出$x_1+x_2$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m$。
1. 确定参数m的取值范围：
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m) = 4m ≥ 0$，解得$m ≥ 0$。
2. 利用两根之积求m的可能值：
根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m$，已知$x_1x_2=2$，因此：
$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
3. 筛选符合条件的m值：
结合$m≥0$的要求，舍去$m=-1$，即$m=2$。
4. 计算两根之和：
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，代入$m=2$得：
$x_1+x_2 = -2×2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
韦达定理；根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础应用题，解题的易错点是忽略先通过根的判别式确定参数的取值范围，容易误将不符合要求的参数代入计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于 $ x $ 的方程 $(m^2 - 1)x^2 + 2(m - 1)x + 1 = 0$ 有实数根，则 $ m $ 的取值范围是 ______。
答案
10.$m＜1$
解析
【分析】
遇到二次项系数含参数的方程，首先要分情况讨论方程类型：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据“有实数根则判别式Δ≥0”列不等式求解，最后合并两种情况的取值范围即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$m^2 - 1 = 0$时，解得$m=1$或$m=-1$：
若$m=1$，代入原方程得$1=0$，等式不成立，方程无解，舍去；
若$m=-1$，代入原方程得$-4x + 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{4}$，有实数根，符合要求。
2. 当二次项系数$m^2 - 1 ≠ 0$，即$m ≠ \pm1$时，方程为一元二次方程，有实数根需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
计算判别式：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4×(m^2 -1)×1$
$=4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4$
$=-8m + 8$
令$\Delta ≥ 0$，即$-8m + 8 ≥ 0$，解得$m ≤ 1$。结合前提$m ≠ \pm1$，此时$m$的取值范围是$m ＜ 1$且$m ≠ -1$。
综合两种情况，将取值范围合并，可得$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
方程分类讨论、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解得到$m≤1$的错误结果。遇到二次项系数含参数的方程时，一定要先分类讨论方程类型，再对应不同情况的有解条件求解，最后注意合并范围时排除不符合条件的取值。
【难度系数】
0.6
遇到二次项系数含参数的方程，首先要分情况讨论方程类型：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据“有实数根则判别式Δ≥0”列不等式求解，最后合并两种情况的取值范围即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$m^2 - 1 = 0$时，解得$m=1$或$m=-1$：
若$m=1$，代入原方程得$1=0$，等式不成立，方程无解，舍去；
若$m=-1$，代入原方程得$-4x + 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{4}$，有实数根，符合要求。
2. 当二次项系数$m^2 - 1 ≠ 0$，即$m ≠ \pm1$时，方程为一元二次方程，有实数根需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
计算判别式：
$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4×(m^2 -1)×1$
$=4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4$
$=-8m + 8$
令$\Delta ≥ 0$，即$-8m + 8 ≥ 0$，解得$m ≤ 1$。结合前提$m ≠ \pm1$，此时$m$的取值范围是$m ＜ 1$且$m ≠ -1$。
综合两种情况，将取值范围合并，可得$m$的取值范围是$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
方程分类讨论、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解得到$m≤1$的错误结果。遇到二次项系数含参数的方程时，一定要先分类讨论方程类型，再对应不同情况的有解条件求解，最后注意合并范围时排除不符合条件的取值。
【难度系数】
0.6
11.若$m,n$是一元二次方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的两个实数根，则$m + (n - 2)^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
11.7
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根n代入方程得到n²的表达式，实现降次；再将所求代数式展开，代入n²的表达式化简，会得到含两根之和m+n的式子，最后结合一元二次方程根与系数的关系求出m+n的值，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
1. 由一元二次方程根的定义可知，n是方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的实根，代入得：
$n^2 - 5n + 2 = 0$，整理得$n^2 = 5n - 2$。
2. 展开并化简所求代数式：
$m + (n - 2)^2 = m + n^2 - 4n + 4$
3. 将$n^2 = 5n - 2$代入上式：
原式$= m + (5n - 2) - 4n + 4 = m + n + 2$
4. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 5x + 2 = 0$，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = 5$。
5. 代入得：$m + n + 2 = 5 + 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型应用，核心技巧是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系求值，能有效避免直接求根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将根n代入方程得到n²的表达式，实现降次；再将所求代数式展开，代入n²的表达式化简，会得到含两根之和m+n的式子，最后结合一元二次方程根与系数的关系求出m+n的值，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
1. 由一元二次方程根的定义可知，n是方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的实根，代入得：
$n^2 - 5n + 2 = 0$，整理得$n^2 = 5n - 2$。
2. 展开并化简所求代数式：
$m + (n - 2)^2 = m + n^2 - 4n + 4$
3. 将$n^2 = 5n - 2$代入上式：
原式$= m + (5n - 2) - 4n + 4 = m + n + 2$
4. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 5x + 2 = 0$，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = 5$。
5. 代入得：$m + n + 2 = 5 + 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型应用，核心技巧是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系求值，能有效避免直接求根带来的复杂计算。
【难度系数】
0.7
