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12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a $ ,$ b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)设该方程的两个实数根为 $ a $ ,$ b $,若 $ (2a + b)(a + 2b) = 20 $,求 $ m $ 的值.
答案
12.解:(1)证明:$\because \Delta =[-(2m+1)]^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1＞0,\therefore$ 无论 $m$ 取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得 $a + b = 2m + 1,ab = m^2 + m. \because (2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 = 2(a + b)^2 + ab = 20$,
$\therefore 2(2m+1)^2+m^2+m=20$,整理,得 $m^2+m-2=0$,解得 $m_1=-2,m_2=1,\therefore m$ 的值为$-2$ 或 $1$.
(2)由题意,得 $a + b = 2m + 1,ab = m^2 + m. \because (2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 = 2(a + b)^2 + ab = 20$,
$\therefore 2(2m+1)^2+m^2+m=20$,整理,得 $m^2+m-2=0$,解得 $m_1=-2,m_2=1,\therefore m$ 的值为$-2$ 或 $1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta$恒大于0即可。先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，展开化简后判断符号即可完成证明。
（2）已知方程的两个实数根为$a$、$b$，可先利用根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的表达式，再将给定的$(2a+b)(a+2b)$展开变形为用$a+b$、$ab$表示的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值，由于第一问已经证明方程总有实根，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：根据一元二次方程根的判别式公式，可得
$\Delta =[-(2m+1)]^2-4×1×(m^2+m)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m$
$=1＞0$
$\therefore$ 无论$m$取何值时，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：由一元二次方程根与系数的关系，得
$a + b = 2m + 1$，$ab = m^2 + m$
先展开化简$(2a + b)(a + 2b)$：
$(2a + b)(a + 2b)=2a^2 + 4ab + ab + 2b^2=2(a^2+2ab+b^2)+ab=2(a + b)^2 + ab$
代入已知$(2a + b)(a + 2b) = 20$，得：
$2(2m+1)^2+m^2+m=20$
展开整理得：
$9m^2+9m-18=0$，即$m^2+m-2=0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_1=-2$，$m_2=1$
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常考综合题型，第一问直接考查根的判别式的基础应用，计算难度低；第二问需要掌握代数式的变形技巧，利用整体代入思想将式子转化为两根和、两根积的形式求解，能较好地考察学生的代数变形能力和整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta$，只要证明$\Delta$恒大于0即可。先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，展开化简后判断符号即可完成证明。
（2）已知方程的两个实数根为$a$、$b$，可先利用根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的表达式，再将给定的$(2a+b)(a+2b)$展开变形为用$a+b$、$ab$表示的形式，代入后得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值，由于第一问已经证明方程总有实根，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：根据一元二次方程根的判别式公式，可得
$\Delta =[-(2m+1)]^2-4×1×(m^2+m)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m$
$=1＞0$
$\therefore$ 无论$m$取何值时，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：由一元二次方程根与系数的关系，得
$a + b = 2m + 1$，$ab = m^2 + m$
先展开化简$(2a + b)(a + 2b)$：
$(2a + b)(a + 2b)=2a^2 + 4ab + ab + 2b^2=2(a^2+2ab+b^2)+ab=2(a + b)^2 + ab$
代入已知$(2a + b)(a + 2b) = 20$，得：
$2(2m+1)^2+m^2+m=20$
展开整理得：
$9m^2+9m-18=0$，即$m^2+m-2=0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得 $m_1=-2$，$m_2=1$
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常考综合题型，第一问直接考查根的判别式的基础应用，计算难度低；第二问需要掌握代数式的变形技巧，利用整体代入思想将式子转化为两根和、两根积的形式求解，能较好地考察学生的代数变形能力和整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - px + 1 = 0 $（$ p $ 为常数）有两个不相等的实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $。
(1) 填空：$ x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_ $，$ x_1 x_2 = \_\_\_\_\_\_ $；
(2) 分别求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 和 $ x_1 + \frac{1}{x_1} $ 的值；
(3) 已知 $ x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1 $，求 $ p $ 的值。
(1) 填空：$ x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_ $，$ x_1 x_2 = \_\_\_\_\_\_ $；
(2) 分别求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $ 和 $ x_1 + \frac{1}{x_1} $ 的值；
(3) 已知 $ x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1 $，求 $ p $ 的值。
答案
13.解:(1)$p$;$1$
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$;$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)由(1)知 $x_1+x_2=p,x_1x_2=1,\because x_1^2+x_2^2=2p+1,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1,\therefore p^2-2=2p+1$,解得 $p_1=3,p_2=-1$.当 $p=3$ 时,$\Delta=p^2-4=9-4=5＞0$;当 $p=-1$ 时,$\Delta=p^2-4=-3＜0.\therefore p=3$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$;$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)由(1)知 $x_1+x_2=p,x_1x_2=1,\because x_1^2+x_2^2=2p+1,\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1,\therefore p^2-2=2p+1$,解得 $p_1=3,p_2=-1$.当 $p=3$ 时,$\Delta=p^2-4=9-4=5＞0$;当 $p=-1$ 时,$\Delta=p^2-4=-3＜0.\therefore p=3$.
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系、根的意义及判别式展开，解题思路如下：
1. 第(1)问直接运用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可求解。
2. 第(2)问第一个式子先通分变形为用两根和、两根积表示的形式，再代入第(1)问的结果计算；第二个式子利用“方程的根代入原方程成立”的性质，将$x_1$代入原方程变形，两边同时除以不为0的$x_1$即可得到结果。
3. 第(3)问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合已知条件列关于$p$的方程，解方程后结合“方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$”的条件舍去不符合的解，得到$p$的正确值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = p$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程$x^2 - px +1=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 - p x_1 + 1 = 0$，移项得$x_1^2 + 1 = p x_1$，由$x_1x_2=1$可知$x_1≠0$，两边同时除以$x_1$得：
$x_1 + \frac{1}{x_1} = p$。
(3) 根据完全平方公式，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，结合已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，整理得$p^2 - 2p -3 = 0$，因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
再验证判别式：因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta = (-p)^2 -4×1×1 = p^2 -4 ＞ 0$。
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合题意；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。
综上，$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，核心考察韦达定理的应用，解题时要注意两个易错点：一是利用方程根的性质变形时要确认除数不为0，二是求出参数值后必须结合判别式验证是否符合根的个数要求，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程根与系数的关系、根的意义及判别式展开，解题思路如下：
1. 第(1)问直接运用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可求解。
2. 第(2)问第一个式子先通分变形为用两根和、两根积表示的形式，再代入第(1)问的结果计算；第二个式子利用“方程的根代入原方程成立”的性质，将$x_1$代入原方程变形，两边同时除以不为0的$x_1$即可得到结果。
3. 第(3)问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合已知条件列关于$p$的方程，解方程后结合“方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$”的条件舍去不符合的解，得到$p$的正确值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = p$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程$x^2 - px +1=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 - p x_1 + 1 = 0$，移项得$x_1^2 + 1 = p x_1$，由$x_1x_2=1$可知$x_1≠0$，两边同时除以$x_1$得：
$x_1 + \frac{1}{x_1} = p$。
(3) 根据完全平方公式，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，结合已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，整理得$p^2 - 2p -3 = 0$，因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
再验证判别式：因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta = (-p)^2 -4×1×1 = p^2 -4 ＞ 0$。
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合题意；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。
综上，$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，核心考察韦达定理的应用，解题时要注意两个易错点：一是利用方程根的性质变形时要确认除数不为0，二是求出参数值后必须结合判别式验证是否符合根的个数要求，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
