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三、解答题
1. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,若游乐场的坐标为$(3,2)$,宠物店的坐标为$(-1,-2)$,解答以下问题.
(1)请在图中建立适当的平面直角坐标系,并写出汽车站的坐标;
(2)若消防站的坐标为$(3,-1)$,请在坐标系中标出消防站的位置.
1. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,若游乐场的坐标为$(3,2)$,宠物店的坐标为$(-1,-2)$,解答以下问题.
(1)请在图中建立适当的平面直角坐标系,并写出汽车站的坐标;
(2)若消防站的坐标为$(3,-1)$,请在坐标系中标出消防站的位置.
答案
1. 解:(1)平面直角坐标系如图所示：
汽车站的坐标是$(1,1)$.
(2)消防站的位置如上图所示.
解析
【分析】
首先我们需要根据已知的两个点的坐标确定平面直角坐标系的位置，平面直角坐标系由原点、水平向右为正方向的x轴、竖直向上为正方向的y轴组成。已知游乐场坐标为$(3,2)$，说明它在原点右侧3个单位、上方2个单位处；宠物店坐标为$(-1,-2)$，说明它在原点左侧1个单位、下方2个单位处，通过这两个点的位置可以反推出原点的位置，建立坐标系后，读取汽车站对应的横、纵坐标即可得到它的坐标。第二问根据消防站的坐标，对应x轴、y轴的数值就能找到对应位置完成标注。
【解析】
(1) 确定原点位置：从游乐场的位置向左平移3个单位长度、向下平移2个单位长度，得到坐标原点O的位置，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，建立平面直角坐标系。观察汽车站的位置，其距离原点x轴正方向1个单位，y轴正方向1个单位，因此汽车站的坐标为$(1,1)$。
(2) 根据消防站的坐标$(3,-1)$，在x轴上找到数值3的对应位置，y轴上找到数值-1的对应位置，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线的交点就是消防站的位置，标注该点即可。
【答案】
1. 解:(1)平面直角坐标系如图所示：
汽车站的坐标是$(1,1)$.
(2)消防站的位置如上图所示.
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标表示；坐标确定点位置
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题型，核心是理解坐标与点位置的对应关系，熟练掌握根据已知坐标反推坐标系、根据坐标找点的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先我们需要根据已知的两个点的坐标确定平面直角坐标系的位置，平面直角坐标系由原点、水平向右为正方向的x轴、竖直向上为正方向的y轴组成。已知游乐场坐标为$(3,2)$，说明它在原点右侧3个单位、上方2个单位处；宠物店坐标为$(-1,-2)$，说明它在原点左侧1个单位、下方2个单位处，通过这两个点的位置可以反推出原点的位置，建立坐标系后，读取汽车站对应的横、纵坐标即可得到它的坐标。第二问根据消防站的坐标，对应x轴、y轴的数值就能找到对应位置完成标注。
【解析】
(1) 确定原点位置：从游乐场的位置向左平移3个单位长度、向下平移2个单位长度，得到坐标原点O的位置，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，建立平面直角坐标系。观察汽车站的位置，其距离原点x轴正方向1个单位，y轴正方向1个单位，因此汽车站的坐标为$(1,1)$。
(2) 根据消防站的坐标$(3,-1)$，在x轴上找到数值3的对应位置，y轴上找到数值-1的对应位置，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线的交点就是消防站的位置，标注该点即可。
【答案】
1. 解:(1)平面直角坐标系如图所示：
汽车站的坐标是$(1,1)$.
(2)消防站的位置如上图所示.
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标表示；坐标确定点位置
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题型，核心是理解坐标与点位置的对应关系，熟练掌握根据已知坐标反推坐标系、根据坐标找点的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为$(-4,5)$,$(-1,3)$.
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系.
(2)求$△ ABC$的面积.
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系.
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
2. 解:(1)略
(2)$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×4$
$=12-3-1-4=4.$
(2)$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×4$
$=12-3-1-4=4.$
解析
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系首先要确定原点位置：已知点A坐标为$(-4,5)$，说明A点在原点左侧4个单位、上方5个单位处，因此将A点向右平移4个单位、向下平移5个单位即可得到原点$(0,0)$，再分别画出向右为正方向的水平x轴、向上为正方向的竖直y轴，就能完成坐标系建立。
(2) 网格中求不规则三角形的面积常用割补法：先找到能完全包含$△ ABC$的最小矩形，计算出矩形的面积后，减去矩形内$△ ABC$周围的3个直角三角形的面积，就能得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 由$A(-4,5)$可得，原点在A点右侧4个单位、下方5个单位的交点处，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可建立符合要求的平面直角坐标系，作图略。
(2) 用割补法计算面积：
包含$△ ABC$的最小矩形长为4、宽为3，矩形面积为$3×4=12$；
矩形内$△ ABC$外的3个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×4=4$；
因此$S_{△ ABC}=12-3-1-4=4$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
平面直角坐标系建立、割补法求面积、坐标与图形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查坐标系的建立方法和网格中不规则图形面积的计算技巧，割补法是解决这类网格面积问题的常用方法，掌握坐标的含义和割补思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 建立平面直角坐标系首先要确定原点位置：已知点A坐标为$(-4,5)$，说明A点在原点左侧4个单位、上方5个单位处，因此将A点向右平移4个单位、向下平移5个单位即可得到原点$(0,0)$，再分别画出向右为正方向的水平x轴、向上为正方向的竖直y轴，就能完成坐标系建立。
(2) 网格中求不规则三角形的面积常用割补法：先找到能完全包含$△ ABC$的最小矩形，计算出矩形的面积后，减去矩形内$△ ABC$周围的3个直角三角形的面积，就能得到$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 由$A(-4,5)$可得，原点在A点右侧4个单位、下方5个单位的交点处，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可建立符合要求的平面直角坐标系，作图略。
(2) 用割补法计算面积：
包含$△ ABC$的最小矩形长为4、宽为3，矩形面积为$3×4=12$；
矩形内$△ ABC$外的3个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×4=4$；
因此$S_{△ ABC}=12-3-1-4=4$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
平面直角坐标系建立、割补法求面积、坐标与图形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查坐标系的建立方法和网格中不规则图形面积的计算技巧，割补法是解决这类网格面积问题的常用方法，掌握坐标的含义和割补思路即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
请你快速数出这幅图中有多少个三角形.
请你快速数出这幅图中有多少个三角形.
答案
35个
解析
【分析】
数三角形个数的核心是做到不重复、不遗漏，我们可以采用分类计数的思路：按照三角形顶点的位置划分不同类别，分别计算每类的数量后求和，就能得到总个数。
【解析】
我们按三角形顶点的位置分类统计：
1. 三个顶点都在正五边形的顶点上：五边形任意3个顶点都能组成1个三角形，共10个；
2. 2个顶点在正五边形的顶点上、1个顶点是内部对角线的交点：逐一计数后这类三角形共有20个；
3. 1个顶点在正五边形的顶点上、2个顶点是内部对角线的交点：就是五角星的5个尖角，共5个；
总个数：$10+20+5=35$（个）
【答案】
35个
【知识点】
三角形的认识，分类计数
【点评】
本题是几何计数的典型题型，主要考察有序思考的习惯，解题时只要确定合理的分类标准，逐一计数就能得到正确结果，切忌无序乱数导致重复或遗漏。
【难度系数】
0.4
数三角形个数的核心是做到不重复、不遗漏，我们可以采用分类计数的思路：按照三角形顶点的位置划分不同类别，分别计算每类的数量后求和，就能得到总个数。
【解析】
我们按三角形顶点的位置分类统计：
1. 三个顶点都在正五边形的顶点上：五边形任意3个顶点都能组成1个三角形，共10个；
2. 2个顶点在正五边形的顶点上、1个顶点是内部对角线的交点：逐一计数后这类三角形共有20个；
3. 1个顶点在正五边形的顶点上、2个顶点是内部对角线的交点：就是五角星的5个尖角，共5个；
总个数：$10+20+5=35$（个）
【答案】
35个
【知识点】
三角形的认识，分类计数
【点评】
本题是几何计数的典型题型，主要考察有序思考的习惯，解题时只要确定合理的分类标准，逐一计数就能得到正确结果，切忌无序乱数导致重复或遗漏。
【难度系数】
0.4
