1. 一个正比例函数的图象经过点$(2,-1)$，则它的函数表达式为 （）

A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\dfrac{1}{2}x$

1.C

【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的一般形式：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$是常数且$k≠0$），要求函数表达式只需要求出$k$的值即可。已知函数图象经过点$(2,-1)$，说明该点坐标满足函数表达式，把点的横、纵坐标代入一般式，就能列出关于$k$的一元一次方程，解出$k$即可得到函数表达式，再对应选项选择即可。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k≠0$，$k$为常数）。
因为函数图象经过点$(2,-1)$，将$x=2$、$y=-1$代入表达式得：
$-1 = 2k$
解得$k = -\dfrac{1}{2}$
因此该正比例函数的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数解析式的求解，掌握待定系数法的应用步骤、牢记正比例函数的一般形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2.(2025·南通月考)若正比例函数的图象经过点$(-5,6)$，则这个图象必经过点 （）

A.$(5,-6)$
B.$(-6,5)$
C.$(5,6)$
D.$(-5,-6)$

2.A

【分析】
解题首先回忆正比例函数的基本形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。我们可以先将已知点代入解析式求出$k$的值，得到完整的函数表达式，再逐一验证各选项的点是否满足解析式；也可以利用正比例函数图象关于原点对称的性质，直接找已知点关于原点的对称点，快速得到答案。
【解析】
方法一：
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k≠0$，$k$为常数）
将点$(-5,6)$代入解析式，得：
$6 = -5k$
解得$k=-\frac{6}{5}$
所以该正比例函数解析式为$y=-\frac{6}{5}x$
逐一验证选项：
A. 当$x=5$时，$y=-\frac{6}{5}×5=-6$，故点$(5,-6)$在函数图象上，符合要求；
B. 当$x=-6$时，$y=-\frac{6}{5}×(-6)=\frac{36}{5}≠5$，不符合；
C. 当$x=5$时，$y=-6≠6$，不符合；
D. 当$x=-5$时，$y=6≠-6$，不符合。
方法二：
正比例函数的图象是过原点的直线，且关于原点中心对称，因此若点$(a,b)$在正比例函数图象上，则其关于原点的对称点$(-a,-b)$也一定在该函数图象上。
已知图象过点$(-5,6)$，其关于原点的对称点为$(5,-6)$，因此该图象必经过点$(5,-6)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础题，两种解题方法都可选用，代入法思路直接，对称法更简便，核心是掌握正比例函数的基本性质，理解函数图象上的点与解析式的对应关系。
【难度系数】
0.8

3. 在平面直角坐标系中,函数$y=\frac{4}{5}x$的图象大致是 （）

3.A

【分析】
要判断正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象性质：首先正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象是过原点的直线，因此先排除不过原点的选项；其次根据$k$的符号判断图象经过的象限：$k＞0$时图象过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限，结合这两个特征即可选出正确选项。
【解析】
① 函数$y=\frac{4}{5}x$是正比例函数，正比例函数的图象为过原点$(0,0)$的直线，观察选项，B、C的直线不经过原点，因此排除B、C；
② 正比例函数$y=kx$中，比例系数$k=\frac{4}{5}＞0$，因此函数图象经过第一、三象限，D选项图象经过第二、四象限，不符合，排除D；
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，函数图象判断
【点评】
本题考查正比例函数的图象与性质，属于基础题型，解题的关键是牢记正比例函数图象过原点，且图象所在象限由比例系数$k$的符号决定，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 正比例函数$y=5x$的图象经过第象限.

4.一、三

【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象是过原点的直线，图象经过的象限由$k$的符号决定：$k＞0$时过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限。我们先确定题中函数的$k$值，再根据$k$的符号对应判断经过的象限即可。
【解析】
解：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$），其图象是经过原点的直线。
在函数$y=5x$中，$k=5＞0$，根据正比例函数的图象性质，当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限。
因此$y=5x$的图象经过第一、三象限。
【答案】
一、三
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题型，考查正比例函数图象性质的直接应用，只要牢记$k$的符号和函数图象所经象限的对应规律就能轻松解题。
【难度系数】
0.9

5.(2025·亭湖区月考)若点(2,－8)在正比例函数$y=kx$的图象上,则$k$的值是.

5.－4

【分析】
解题时首先要明确：若一个点在某个函数的图象上，那么这个点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。本题已知点(2,－8)在正比例函数y=kx的图象上，因此只需把点的横坐标2代入x、纵坐标-8代入y，就能得到关于k的一元一次方程，求解方程即可得到k的值。
【解析】
解：
∵点(2,－8)在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将$x=2$，$y=-8$代入$y=kx$，可得：
$-8=2k$
方程两边同时除以2，解得：$k=-4$
【答案】
－4
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数的基础考查题，核心是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，计算量小，掌握对应规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

6.正比例函数$y=-x$的图象平分第________象限.

6.二、四

【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，$k$的符号决定直线经过的象限。第一步先确定本题中$k$的取值，判断图象经过的象限；第二步再结合图象上点的坐标特征，验证直线是否平分对应象限即可。
【解析】
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。本题中函数为$y=-x$，对应$k=-1＜0$，因此它的图象是经过原点、第二象限和第四象限的直线。
2. 取图象上的点验证：当$x=1$时，$y=-1$，得到点$(1,-1)$，该点在第四象限，到$x$轴、$y$轴的距离均为1；当$x=-1$时，$y=1$，得到点$(-1,1)$，该点在第二象限，到$x$轴、$y$轴的距离也均为1。说明该直线在第二、四象限内与两条坐标轴的夹角相等，因此图象平分第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
正比例函数的图象与性质，平面直角坐标系象限
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数的基本性质，掌握$k$的符号与函数图象所在象限的对应关系是解题的关键，同时要了解$k=±1$时正比例函数图象的特殊位置。
【难度系数】
0.9

7.在同一平面直角坐标系中画出函数$y=2x,y=-\dfrac{1}{3}x,y=-0.6x$的图象.

7.解:列表
| $x$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $y=2x$ | $0$ | $2$ |
| $y=-\dfrac{1}{3}x$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ |
| $y=-0.6x$ | $0$ | $-0.6$ |
描点、连线,如答图所示。

【分析】
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是经过原点$(0,0)$的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，画正比例函数图象时只需要再找一个除原点外的点即可，为了计算简便，通常选取$x=1$时对应的点$(1,k)$，算出三个函数分别在$x=0$和$x=1$时的$y$值，再依次描点、连线就能得到三个函数的图象。
【解析】
画正比例函数图象遵循“列表、描点、连线”三个步骤：
1. 列表：正比例函数图象过原点，故选取$x=0$和$x=1$两个值，分别计算对应函数值：
当$x=0$时，代入三个函数均得$y=0$；
当$x=1$时，$y=2x=2×1=2$，$y=-\dfrac{1}{3}x=-\dfrac{1}{3}×1=-\dfrac{1}{3}$，$y=-0.6x=-0.6×1=-0.6$，整理得到对应表格。
2. 描点：在平面直角坐标系中，分别描出三个函数对应的两个点：$y=2x$对应$(0,0)$、$(1,2)$；$y=-\dfrac{1}{3}x$对应$(0,0)$、$(1,-\dfrac{1}{3})$；$y=-0.6x$对应$(0,0)$、$(1,-0.6)$。
3. 连线：将每个函数的两个点用直线连接起来，即可得到三个函数的图象。
【答案】
解:列表
| $x$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $y=2x$ | $0$ | $2$ |
| $y=-\dfrac{1}{3}x$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ |
| $y=-0.6x$ | $0$ | $-0.6$ |
描点、连线,如答图所示。
【知识点】
正比例函数图象特征，两点法画函数图象
【点评】
本题是正比例函数图象的基础考查题，核心是利用正比例函数图象过原点、两点确定一条直线的性质简化画图步骤，选取计算简便的点能提升画图的效率和准确率，是后续学习一次函数相关知识的基础。
【难度系数】
0.85

8.在平面直角坐标系中,点$A(a,2)$向右平移5个单位长度后得到点$B(4,b)$.
(1)求$a,b$的值;
(2)试判断点$(2,1)$是否在经过点$B$的正比例函数$y=kx$的图象上,并说明理由.

8.解:(1)
∵点$A(a,2)$向右平移5个单位长度后得到点$B(4,b)$,
∴$a+5=4,b=2$,
∴$a=-1,b=2$.
(2)在.理由如下:
由(1)知$B(4,2)$,
∴$2=4k$,解得$k=\dfrac{1}{2}$,
∴$y=\dfrac{1}{2}x$.
当$x=2$时,$y=\dfrac{1}{2}×2=1$,
∴点$(2,1)$在经过点$B$的正比例函数$y=\dfrac{1}{2}x$的图象上.

【分析】
(1) 解决第一问先运用平面直角坐标系中点的平移规律：点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标保持不变。已知点A向右平移5个单位得到B，根据该规律列出关于a、b的等式，即可计算求出a、b的值。
(2) 解决第二问首先需要求出经过点B的正比例函数解析式，正比例函数$y=kx$中仅含一个未知参数k，将点B的坐标代入即可求出k，得到函数解析式；判断一个点是否在函数图象上的方法是：将该点的横坐标代入解析式，若计算得到的y值和点的纵坐标相等，说明该点在函数图象上，反之则不在，按照这个方法验证即可。
【解析】
(1)
∵点$A(a,2)$向右平移5个单位长度后得到点$B(4,b)$，
根据点向右平移横坐标加、纵坐标不变的规律，可得：
$a+5=4$，$b=2$，
解得$a=-1$，$b=2$。
(2) 点$(2,1)$在该正比例函数图象上，理由如下：
由(1)可知点B的坐标为$(4,2)$，
将$B(4,2)$代入正比例函数$y=kx$，得$2=4k$，
解得$k=\dfrac{1}{2}$，
∴该正比例函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
当$x=2$时，代入解析式得$y=\dfrac{1}{2}×2=1$，与点$(2,1)$的纵坐标相等，
∴点$(2,1)$在经过点$B$的正比例函数$y=\dfrac{1}{2}x$的图象上。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=2$；
(2) 点$(2,1)$在经过点$B$的正比例函数图象上。
【知识点】
坐标平移规律，待定系数法求解析式，函数图象上点的特征
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了点的平移性质和正比例函数的相关知识，解题的关键是牢记平移的坐标变化规则，掌握待定系数法求函数解析式以及判断点是否在函数图象上的方法。
【难度系数】
0.8

9.若点$P(a,b)$在第二象限,则正比例函数$y=(a-b)x$的图象经过 （）

A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限

9.B

【分析】
解题时首先回忆第二象限内点的坐标特征，先确定a、b的正负性，再计算正比例函数比例系数(a-b)的符号，最后根据正比例函数图象与系数的关系，判断函数图象经过的象限即可。
【解析】
解：
∵点$P(a,b)$在第二象限，
∴第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即$a＜0$，$b＞0$，
∴$a-b$是负数减去正数，结果小于0，即正比例函数的比例系数$k=a-b＜0$，
根据正比例函数的性质：当$k＜0$时，$y=kx$的图象经过第二、四象限，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，将平面直角坐标系中点的坐标特征和正比例函数的性质结合考察，只要熟练掌握两个基础知识点，就能快速推导出正确结果。
【难度系数】
0.8