10.(2025·邳州期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,3),B(n,3)$,若直线$y=2x$与线段$AB$有公共点,则$n$的值不可能是 ()

A.$\frac{5}{4}$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

10.A

【分析】
首先观察点A、B的坐标，两点纵坐标均为3，可知线段AB平行于x轴，所在直线为y=3。要判断直线y=2x与线段AB有公共点时n的取值，可先求出两条直线的交点坐标，再根据交点需落在线段AB上推导n的取值范围，最后对比选项即可得出答案。
【解析】
解：
∵点A(1,3)，B(n,3)的纵坐标相同，
∴线段AB在直线y=3上，线段上所有点的纵坐标均为3。
将y=3代入y=2x，得：
$3=2x$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$，
即直线y=2x与直线y=3的交点坐标为$(1.5,3)$。
∵该交点在线段AB上，A点横坐标为1，
∴B点横坐标需满足$n≥1.5$，才能让线段AB的横坐标范围包含1.5。
对比各选项：
A选项$\frac{5}{4}=1.25＜1.5$，不符合要求；B、C、D选项的数值均大于1.5，符合要求。
故n的值不可能是$\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质；一次函数交点求解；平行于坐标轴的直线坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先确定线段AB所在直线的解析式，求出两直线交点后，结合交点在线段上的约束条件得到参数的取值范围，解题时要注意区分线段和直线的范围差异，避免出错。
【难度系数】
0.7

11. 如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(-4,0)$，$B(-1,0)$，$CA⊥ x$轴，$BC=5$. 将$△ ABC$沿$x$轴向右平移，当点$C$落在直线$y=2x$上时，线段$BC$扫过的面积为（）

A.$12$
B.$24$
C.$15$
D.$30$

11.B

【分析】
要解决本题可分三步思考：①先求点C的坐标：已知A、B的坐标可先算出AB的长度，结合CA垂直x轴、BC=5的条件，用勾股定理算出AC的长度，即可得到C点坐标；②求平移距离：△ABC沿x轴向右平移时，点C的纵坐标不变，将y=4代入正比例函数解析式，求出平移后C点的横坐标，即可算出平移的距离；③计算扫过的面积：线段BC平移后扫过的图形是平行四边形，其底为平移距离，高为AC的长度，用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点C的坐标：
已知$A(-4,0)$，$B(-1,0)$，则AB的长度为$\vert -1 - (-4) \vert = 3$。
∵$CA⊥x$轴，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴点C的坐标为$(-4,4)$。
2. 求平移距离：
将$△ ABC$沿x轴向右平移时，点C的纵坐标保持4不变。当点C落在直线$y=2x$上时，把$y=4$代入$y=2x$，得：
$4=2x$，解得$x=2$，即平移后点C的对应点坐标为$(2,4)$。
∴平移的距离为$2 - (-4)=6$。
3. 计算线段BC扫过的面积：
线段BC平移时扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底等于平移距离6，高等于AC的长度4，根据平行四边形面积公式：
$S=底×高=6×4=24$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正比例函数的性质；平移的性质
【点评】
本题综合了平面直角坐标系、几何计算、函数性质和图形变换的相关知识，解题关键是先确定点C的坐标，再求出平移距离，明确平移扫过的图形形状，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12.如图是正比例函数$y_{1}=k_{1}x$和$y_{2}=k_{2}x$的图象,则$k_{1}$______$k_{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)

12.＜

【分析】
要比较$k_1$和$k_2$的大小，可结合正比例函数的性质分步思考：第一步先观察两个函数图象经过的象限，判断$k$的正负；第二步再根据直线的倾斜程度比较$k$的大小。正比例函数$y=kx$中，$k＞0$时图象过一、三象限，且$k$越大，直线越陡（与$x$轴正方向的夹角越大）。
【解析】
根据正比例函数$y=kx$的图象性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限，由图可知两个函数的图象均过第一、三象限，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$；
2. $k$的大小和直线倾斜程度正相关：$k$越大，直线倾斜程度越大（图象越陡），观察图象可得$y_2=k_2x$的图象更陡，因此$k_2＞k_1$，即$k_1＜k_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 正比例函数图象性质
2. $k$值与倾斜程度的关系
【点评】
本题属于正比例函数的基础考查题型，解题核心是掌握正比例函数系数$k$的几何意义，牢记$k$的正负对应图象经过的象限、$k$的大小对应直线倾斜程度的规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9

13.若点$A(m,n)$在直线$y=kx(k≠0)$上，当$-1≤m≤1$时，$-1≤n≤1$，则这条直线的函数表达式为________.

13.$y=x$或$y=-x$

【分析】
解题思路如下：① 首先根据点在正比例函数图象上的性质，可得点的坐标满足函数解析式，即n=km；② 正比例函数的增减性由k的符号决定：k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，因此需分两种情况讨论；③ 结合m的取值范围和对应的n的取值范围，取区间的端点坐标代入解析式求出k的值，再验证是否符合条件即可得到函数表达式。
【解析】
∵ 点$A(m,n)$在直线$y=kx(k≠0)$上，
∴ $n=km$。
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵ $-1≤ m≤1$时，$-1≤ n≤1$，
∴ 当$m=1$时，$n=1$，将$(1,1)$代入$y=kx$得：
$1=k×1$，解得$k=1$，此时直线解析式为$y=x$；
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵ $-1≤ m≤1$时，$-1≤ n≤1$，
∴ 当$m=1$时，$n=-1$，将$(1,-1)$代入$y=kx$得：
$-1=k×1$，解得$k=-1$，此时直线解析式为$y=-x$。
经检验，$y=x$和$y=-x$均满足题设条件。
【答案】
$y=x$或$y=-x$
【知识点】
正比例函数的性质；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题解题的关键是根据正比例函数的增减性分情况讨论，注意不要遗漏k为负数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,正比例函数 $ y=kx $ 的图象经过点 $ A $,点 $ A $ 在第四象限,过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ x $ 轴,垂足为 $ H $,点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $,且 $ △ AOH $ 的面积为 $ 3 $.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在 $ x $ 轴上是否存在一点 $ P $,使 $ △ AOP $ 的面积为 $ 5 $? 若存在,求点 $ P $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

14.解:(1)
∵点$A$在第四象限,横坐标为$3$,且$△AOH$的面积为$3$,
∴点$A$的纵坐标为$-2$,即点$A$的坐标为$(3,-2)$.
∵正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$,
∴$3k=-2$,解得$k=-\dfrac{2}{3}$,
∴正比例函数的表达式是$y=-\dfrac{2}{3}x$.
(2)存在.设$P(m,0)$,$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×|m|×2=5$,
解得$m=5$或$m=-5$,
∴点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$.

【分析】
(1) 解题思路：首先由点A的横坐标可得OH的长度为3，结合△AOH的面积，用三角形面积公式求出AH的长度，即点A纵坐标的绝对值；再根据点A在第四象限的位置特征，确定点A纵坐标为负，得到点A的完整坐标；最后将点A坐标代入正比例函数$y=kx$，求解得到k的值即可得到函数表达式。
(2) 解题思路：先假设存在点P，设其坐标为$(m,0)$，△AOP的底为OP的长度即$|m|$，高为点A纵坐标的绝对值（高为距离，恒为正），结合已知面积列方程，求解得到m的两个取值，即可得到点P的坐标，注意要考虑x轴正、负半轴两种情况，避免漏解。
【解析】
(1)
∵点A在第四象限，横坐标为3，$AH⊥x$轴，垂足为H，
∴$OH=3$，
∵△AOH的面积为3，
∴$S_{△AOH}=\frac{1}{2}×OH×AH=3$，代入$OH=3$得$\frac{1}{2}×3×AH=3$，解得$AH=2$，
∵点A在第四象限，纵坐标为负，
∴点A的纵坐标为-2，即$A(3,-2)$，
将$A(3,-2)$代入正比例函数$y=kx$，得$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在，理由如下：
设点P的坐标为$(m,0)$，则OP的长度为$|m|$，
△AOP的高为点A纵坐标的绝对值，即$|y_A|=2$，
∵$S_{△AOP}=5$，
∴$\frac{1}{2}×|m|×2=5$，
化简得$|m|=5$，解得$m=5$或$m=-5$，
∴点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) 正比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$或$\boldsymbol{(-5,0)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 三角形面积计算
3. 平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数与坐标系几何面积的基础综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，也考查了结合面积公式求解点坐标的能力，解题时要注意坐标符号和绝对值的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.7

15. 如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,OA=6,点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上.
(1)求点B的坐标;
(2)若M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点,求线段CM长度的最小值.

15.解:(1)在函数$y=\dfrac{3}{4}x$中,当$y=6$时,$x=8$,
∴$B(8,6)$.
(2)在$Rt△BOC$中,由勾股定理,得$OB=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
∵$M$是直线$y=\dfrac{3}{4}x$上的任意一点,
∴$CM$的最小值就是点$C$到$OB$的垂线段长.
设点$C$到$OB$的垂线段长为$h$,
则$\dfrac{1}{2}OB·h=\dfrac{1}{2}OC·BC$,
∴$h=\dfrac{OC·BC}{OB}=\dfrac{8×6}{10}=\dfrac{24}{5}$,
∴线段$CM$长度的最小值为$\dfrac{24}{5}$.

【分析】
(1) 由长方形的性质可知，点B的纵坐标与OA长度相等为6，又点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入解析式即可求出点B的横坐标，得到点B坐标。
(2) 根据“垂线段最短”的性质，线段CM的最小值就是点C到直线OB的垂线段长度。先利用勾股定理求出OB的长度，再通过△OBC面积的两种计算方式列等量关系，即可求出垂线段的长度，也就是CM的最小值。
【解析】
(1)
∵四边形OABC是长方形，OA=6，
∴点B的纵坐标为6，
∵点B在直线$y=\frac{3}{4}x$上，将y=6代入解析式得：
$6=\frac{3}{4}x$，解得$x=8$，
∴点B的坐标为$(8,6)$。
(2) 由长方形性质得：OC=8，BC=6，∠OCB=90°，
在$Rt△BOC$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵M是直线$y=\frac{3}{4}x$上的任意一点，根据垂线段最短，CM的最小值为点C到直线OB的垂线段长，设该长度为h，
△OBC的面积可表示为$\frac{1}{2}OC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}OB·h$，
∴$\frac{1}{2}×10h=\frac{1}{2}×8×6$，
解得$h=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
即线段CM长度的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
(1) $B(8,6)$；(2) $\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的性质；正比例函数的应用；垂线段最短
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中矩形的性质、正比例函数的应用以及最短距离的求解，第一问较为基础，直接代入计算即可；第二问需要将动态线段的最小值转化为点到直线的距离，利用等面积法计算简化了运算过程，能够较好地考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7