登录
10. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数,下表中列出了 $ x,y $ 的部分对应值,则 $ m $ 的值为 $\boldsymbol{(\quad)}$
| $ x $ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|--------|--------|-------|-------|
| $ y $ | $1$ | $m$ | $-1$|
A.$-1$
B.$0$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-2$
| $ x $ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|--------|--------|-------|-------|
| $ y $ | $1$ | $m$ | $-1$|
A.$-1$
B.$0$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-2$
答案
10.B
解析
【分析】
已知y是x的一次函数，可先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），将表格中两组已知的x、y对应值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，确定一次函数的完整解析式，最后将$x=0$代入解析式，求出对应的y值就是m的值。
【解析】
设该一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$。
将$x=-1,y=1$和$x=1,y=-1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases} -k + b = 1 \\ k + b = -1 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=0$，解得$b=0$。
把$b=0$代入$k + b = -1$，得$k=-1$。
所以一次函数的解析式为$y=-x$。
当$x=0$时，$y=-0=0$，即$m=0$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查待定系数法求一次函数解析式的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法的求解步骤，代入已知点坐标求出解析式后即可计算未知函数值，属于常规得分题。
【难度系数】
0.8
已知y是x的一次函数，可先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），将表格中两组已知的x、y对应值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，确定一次函数的完整解析式，最后将$x=0$代入解析式，求出对应的y值就是m的值。
【解析】
设该一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$。
将$x=-1,y=1$和$x=1,y=-1$分别代入解析式，得：
$\begin{cases} -k + b = 1 \\ k + b = -1 \end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=0$，解得$b=0$。
把$b=0$代入$k + b = -1$，得$k=-1$。
所以一次函数的解析式为$y=-x$。
当$x=0$时，$y=-0=0$，即$m=0$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查待定系数法求一次函数解析式的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法的求解步骤，代入已知点坐标求出解析式后即可计算未知函数值，属于常规得分题。
【难度系数】
0.8
11.(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度$v$(m/s)与温度$t$(℃)部分对应数值如下表:
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数,且$a≠0$),当温度$t$为$15\ ℃$时,声音传播的速度$v$为 （
A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数,且$a≠0$),当温度$t$为$15\ ℃$时,声音传播的速度$v$为 （
B
）A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
答案
11.B
解析
【分析】
已知声音传播速度v和温度t满足一次函数关系$v=at+b$，要求$t=15℃$时的v值，首先需要确定常数a、b的取值。我们可以从表格中选取两组对应的t、v数值，代入函数表达式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b后得到完整的函数解析式，最后将$t=15$代入解析式计算即可得到对应的速度值。
【解析】
选取表格中两组对应值$\begin{cases} t=0 \\ v=330 \end{cases}$和$\begin{cases} t=10 \\ v=336 \end{cases}$，代入$v=at+b$得：
$\begin{cases} b=330 \\ 10a + b = 336 \end{cases}$
将$b=330$代入第二个方程，解得$10a=6$，即$a=0.6$。
因此v与t的函数表达式为$v=0.6t + 330$。
当$t=15℃$时，代入表达式得：
$v=0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组求解；一次函数代入求值
【点评】
本题是一次函数在实际问题中的应用，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题时选择合适的数值代入可简化计算过程，掌握一次函数的相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
已知声音传播速度v和温度t满足一次函数关系$v=at+b$，要求$t=15℃$时的v值，首先需要确定常数a、b的取值。我们可以从表格中选取两组对应的t、v数值，代入函数表达式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b后得到完整的函数解析式，最后将$t=15$代入解析式计算即可得到对应的速度值。
【解析】
选取表格中两组对应值$\begin{cases} t=0 \\ v=330 \end{cases}$和$\begin{cases} t=10 \\ v=336 \end{cases}$，代入$v=at+b$得：
$\begin{cases} b=330 \\ 10a + b = 336 \end{cases}$
将$b=330$代入第二个方程，解得$10a=6$，即$a=0.6$。
因此v与t的函数表达式为$v=0.6t + 330$。
当$t=15℃$时，代入表达式得：
$v=0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组求解；一次函数代入求值
【点评】
本题是一次函数在实际问题中的应用，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题时选择合适的数值代入可简化计算过程，掌握一次函数的相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.某公司营销人员的月收入与每月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元；
销售3万件时，收入为1600元.那么没有销售量时，收入为
销售3万件时，收入为1600元.那么没有销售量时，收入为
$400$
元.答案
12.400
解析
【分析】
题目明确告知月收入与销售量成一次函数关系，解题时首先设出一次函数的一般形式，将销售量作为自变量x，月收入作为因变量y；再把题目给出的两组销售量、对应收入的数值代入解析式，得到关于未知系数k、b的二元一次方程组，解方程组求出系数后，没有销售量即x=0，代入解析式即可求出对应的收入值。
【解析】
设月收入为y元，销售量为x万件，月收入与销售量的一次函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
根据题意，将$x=1,y=800$和$x=3,y=1600$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 800&①\\3k + b = 1600&②\end{cases}$
用②-①消去b，得：$2k=800$，解得$k=400$。
将$k=400$代入①，得：$400 + b = 800$，解得$b=400$。
所以一次函数解析式为$y=400x+400$。
当没有销售量时，$x=0$，代入得$y=400×0 + 400=400$。
【答案】
400
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是准确找到两组对应值列出方程组求解，熟练掌握待定系数法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
题目明确告知月收入与销售量成一次函数关系，解题时首先设出一次函数的一般形式，将销售量作为自变量x，月收入作为因变量y；再把题目给出的两组销售量、对应收入的数值代入解析式，得到关于未知系数k、b的二元一次方程组，解方程组求出系数后，没有销售量即x=0，代入解析式即可求出对应的收入值。
【解析】
设月收入为y元，销售量为x万件，月收入与销售量的一次函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
根据题意，将$x=1,y=800$和$x=3,y=1600$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 800&①\\3k + b = 1600&②\end{cases}$
用②-①消去b，得：$2k=800$，解得$k=400$。
将$k=400$代入①，得：$400 + b = 800$，解得$b=400$。
所以一次函数解析式为$y=400x+400$。
当没有销售量时，$x=0$，代入得$y=400×0 + 400=400$。
【答案】
400
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是准确找到两组对应值列出方程组求解，熟练掌握待定系数法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
13.已知$y+1$与$z$成正比例，比例系数为2，$z$与$x-1$成正比例。当$x=-1$时，$y=7$，那么$y$与$x$之间的函数表达式是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.$y=-4x+3$
解析
【分析】
解题时首先根据正比例函数的定义，将题目中的正比例关系转化为等式：第一步由“y+1与z成正比例，比例系数为2”写出y+1与z的关系式；第二步由“z与x-1成正比例”设出z与x-1的关系式，引入未知比例系数；再将z的表达式代入y+1的表达式，得到y与x之间含未知系数的关系式；最后把x=-1、y=7代入关系式求出未知系数，整理即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：
∵ y+1与z成正比例，比例系数为2
∴ $y+1 = 2z$ ①
∵ z与$x-1$成正比例，设比例系数为$k$（$k≠0$）
∴ $z = k(x-1)$ ②
将②代入①得：
$y + 1 = 2k(x - 1)$
整理得 $y = 2k(x - 1) - 1$
把$x = -1$，$y = 7$代入上式：
$7 = 2k×(-1 - 1) - 1$
$7 = -4k - 1$
解得 $k = -2$
将$k = -2$代入$y = 2k(x - 1) - 1$得：
$y = 2×(-2)(x - 1) - 1$
$y = -4x + 4 - 1$
$y = -4x + 3$
【答案】
$y=-4x+3$
【知识点】
1.正比例函数的定义 2.待定系数法求函数表达式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对正比例关系的理解和待定系数法的运用，解题时要注意两次正比例关系的比例系数相互独立，不要混淆，代入数值计算时注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正比例函数的定义，将题目中的正比例关系转化为等式：第一步由“y+1与z成正比例，比例系数为2”写出y+1与z的关系式；第二步由“z与x-1成正比例”设出z与x-1的关系式，引入未知比例系数；再将z的表达式代入y+1的表达式，得到y与x之间含未知系数的关系式；最后把x=-1、y=7代入关系式求出未知系数，整理即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：
∵ y+1与z成正比例，比例系数为2
∴ $y+1 = 2z$ ①
∵ z与$x-1$成正比例，设比例系数为$k$（$k≠0$）
∴ $z = k(x-1)$ ②
将②代入①得：
$y + 1 = 2k(x - 1)$
整理得 $y = 2k(x - 1) - 1$
把$x = -1$，$y = 7$代入上式：
$7 = 2k×(-1 - 1) - 1$
$7 = -4k - 1$
解得 $k = -2$
将$k = -2$代入$y = 2k(x - 1) - 1$得：
$y = 2×(-2)(x - 1) - 1$
$y = -4x + 4 - 1$
$y = -4x + 3$
【答案】
$y=-4x+3$
【知识点】
1.正比例函数的定义 2.待定系数法求函数表达式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对正比例关系的理解和待定系数法的运用，解题时要注意两次正比例关系的比例系数相互独立，不要混淆，代入数值计算时注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
14. 已知$y_1$与$x+1$成正比例，$y_2$与$x-1$成正比例，$y=y_1+y_2$. 当$x=2$时，$y=9$；当$x=3$时，$y=$14. 求$y$与$x$的函数表达式.
答案
14.解:$\because y_1$与$x+1$成正比例,$\therefore$设 $ y_1=k_1(x+1) $.
$\because y_2$与$x-1$成正比例,$\therefore$设 $ y_2=k_2(x-1) $.
$\because y=y_1+y_2$,$\therefore y=k_1(x+1)+k_2(x-1) $.
$\because$当 $ x=2 $ 时,$ y=9 $; 当 $ x=3 $ 时,$ y=14 $,
$\therefore \begin{cases} 3k_1+k_2=9,\\ 4k_1+2k_2=14, \end{cases} \mathrm{解得} \begin{cases} k_1=2,\\ k_2=3, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为 $ y=2(x+1)+3(x-1) $,
即 $ y=5x-1 $.
$\because y_2$与$x-1$成正比例,$\therefore$设 $ y_2=k_2(x-1) $.
$\because y=y_1+y_2$,$\therefore y=k_1(x+1)+k_2(x-1) $.
$\because$当 $ x=2 $ 时,$ y=9 $; 当 $ x=3 $ 时,$ y=14 $,
$\therefore \begin{cases} 3k_1+k_2=9,\\ 4k_1+2k_2=14, \end{cases} \mathrm{解得} \begin{cases} k_1=2,\\ k_2=3, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为 $ y=2(x+1)+3(x-1) $,
即 $ y=5x-1 $.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的定义：若两个量成正比例关系，可表示为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式。本题中$y_1$与$x+1$成正比例，可将$x+1$看作整体设出$y_1$的表达式，同理设出$y_2$的表达式，结合$y=y_1+y_2$得到含两个未知系数$k_1$、$k_2$的$y$关于$x$的表达式。再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，解方程组求出系数后代回表达式化简，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x+1$成正比例，$\therefore$设 $ y_1=k_1(x+1) $（$k_1\ne0$）。
$\because y_2$与$x-1$成正比例，$\therefore$设 $ y_2=k_2(x-1) $（$k_2\ne0$）。
$\because y=y_1+y_2$，$\therefore y=k_1(x+1)+k_2(x-1) $。
$\because$当 $ x=2 $ 时,$ y=9 $; 当 $ x=3 $ 时,$ y=14 $，
$\therefore$代入得$ \begin{cases} 3k_1+k_2=9\\ 4k_1+2k_2=14 \end{cases} $，
解方程组：将第一个方程乘2减去第二个方程，得$2k_1=4$，解得$k_1=2$，把$k_1=2$代入$3k_1+k_2=9$，得$k_2=3$。
将$k_1=2$、$k_2=3$代入$y=k_1(x+1)+k_2(x-1)$，得$y=2(x+1)+3(x-1)$，化简得$y=5x-1$。
【答案】
$y=5x-1$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；二元一次方程组解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础题型，解题核心是先根据正比例关系正确设出含待定系数的表达式，再代入已知条件建立方程组求解，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数的定义：若两个量成正比例关系，可表示为$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式。本题中$y_1$与$x+1$成正比例，可将$x+1$看作整体设出$y_1$的表达式，同理设出$y_2$的表达式，结合$y=y_1+y_2$得到含两个未知系数$k_1$、$k_2$的$y$关于$x$的表达式。再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，解方程组求出系数后代回表达式化简，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x+1$成正比例，$\therefore$设 $ y_1=k_1(x+1) $（$k_1\ne0$）。
$\because y_2$与$x-1$成正比例，$\therefore$设 $ y_2=k_2(x-1) $（$k_2\ne0$）。
$\because y=y_1+y_2$，$\therefore y=k_1(x+1)+k_2(x-1) $。
$\because$当 $ x=2 $ 时,$ y=9 $; 当 $ x=3 $ 时,$ y=14 $，
$\therefore$代入得$ \begin{cases} 3k_1+k_2=9\\ 4k_1+2k_2=14 \end{cases} $，
解方程组：将第一个方程乘2减去第二个方程，得$2k_1=4$，解得$k_1=2$，把$k_1=2$代入$3k_1+k_2=9$，得$k_2=3$。
将$k_1=2$、$k_2=3$代入$y=k_1(x+1)+k_2(x-1)$，得$y=2(x+1)+3(x-1)$，化简得$y=5x-1$。
【答案】
$y=5x-1$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；二元一次方程组解法
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础题型，解题核心是先根据正比例关系正确设出含待定系数的表达式，再代入已知条件建立方程组求解，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
15.(2025·陕西)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积$y$(L)与气体温度$x(°C)$成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表:
| 气体温度$x/°C$ | … | 25 | 30 | 35 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 气体体积$y$/L | … |
| 606 | 616 | … |
(1)求$y$与$x$的函数表达式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到$700\ \mathrm{L}$时停止加热.求停止加热时的气体温度.
| 气体温度$x/°C$ | … | 25 | 30 | 35 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 气体体积$y$/L | … |
| 606 | 616 | … |(1)求$y$与$x$的函数表达式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到$700\ \mathrm{L}$时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
15.解:(1)设 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式为 $ y=kx+b $,则
$\begin{cases} 25k+b=596,\\ 30k+b=606, \end{cases} \mathrm{解得} \begin{cases} k=2,\\ b=546, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为 $ y=2x+546 $.
(2)当 $ y=700 $ 时,得 $ 2x+546=700 $,
解得 $ x=77 $.
答:停止加热时的气体温度为 $ 77\ ℃ $.
$\begin{cases} 25k+b=596,\\ 30k+b=606, \end{cases} \mathrm{解得} \begin{cases} k=2,\\ b=546, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数表达式为 $ y=2x+546 $.
(2)当 $ y=700 $ 时,得 $ 2x+546=700 $,
解得 $ x=77 $.
答:停止加热时的气体温度为 $ 77\ ℃ $.
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用。(1)题目明确说明y与x成一次函数关系，我们可以用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可得到函数表达式。(2)第二问已知气体体积y的值求对应温度x，只需将$y=700$代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$x=25,y=596$和$x=30,y=606$代入表达式，得：
$\begin{cases} 25k+b=596\\ 30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$25k+b=596$，得$50+b=596$，解得$b=546$，
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积$y=700\ \mathrm{L}$时，将$y=700$代入$y=2x+546$，得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77℃}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数结合物理场景的实际应用问题，核心考查待定系数法求函数解析式的基础方法，以及利用函数解析式求值的能力，解题时注意代入数值计算要细心，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用。(1)题目明确说明y与x成一次函数关系，我们可以用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可得到函数表达式。(2)第二问已知气体体积y的值求对应温度x，只需将$y=700$代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$x=25,y=596$和$x=30,y=606$代入表达式，得：
$\begin{cases} 25k+b=596\\ 30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$25k+b=596$，得$50+b=596$，解得$b=546$，
$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积$y=700\ \mathrm{L}$时，将$y=700$代入$y=2x+546$，得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+546}$
(2) $\boldsymbol{77℃}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数结合物理场景的实际应用问题，核心考查待定系数法求函数解析式的基础方法，以及利用函数解析式求值的能力，解题时注意代入数值计算要细心，避免计算错误即可。
【难度系数】
0.8
