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25.已知一组数据$a_1,a_2,···,a_n$的平均数为$a$，另一组数据$b_1,b_2,···,b_n$的平均数为$b$，求$a_1+b_1,a_2+b_2,···,a_n+b_n$的平均数。
答案
解:
∵一组数据$a_1,a_2,···,a_n$的平均数为$a$,另一组数据$b_1,b_2,···,b_n$的平均数为$b$,
∴$a_1+a_2+···+a_n = na$,$b_1+b_2+···+b_n = nb$,
∴$a_1+b_1,a_2+b_2,···,a_n+b_n$ 的平均数是$(na + nb)÷n = a + b$.
∵一组数据$a_1,a_2,···,a_n$的平均数为$a$,另一组数据$b_1,b_2,···,b_n$的平均数为$b$,
∴$a_1+a_2+···+a_n = na$,$b_1+b_2+···+b_n = nb$,
∴$a_1+b_1,a_2+b_2,···,a_n+b_n$ 的平均数是$(na + nb)÷n = a + b$.
解析
【分析】
要求新数组的平均数，首先回忆平均数的定义：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。解题思路分三步：第一步确定新数组的数据总个数，两组原数据各有n个，对应相加后的新数组总个数仍为n；第二步计算新数组的总和，新数组的总和等于两组原数据各自的总和相加；第三步根据已知的两组原数据的平均数，利用“总和=平均数×个数”分别求出两组原数据的总和，代入新总和后除以总个数n，化简即可得到结果。
【解析】
∵一组数据$a_1,a_2,···,a_n$的平均数为$a$，另一组数据$b_1,b_2,···,b_n$的平均数为$b$，
∴$a_1+a_2+···+a_n = na$，$b_1+b_2+···+b_n = nb$，
∴$a_1+b_1,a_2+b_2,···,a_n+b_n$ 的平均数是$(na + nb)÷n = a + b$。
【答案】
$a+b$
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平均数定义的理解与应用，解题关键是理清新数据总和与原两组数据总和的关系，结合平均数公式推导计算，计算难度低，掌握平均数的基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
要求新数组的平均数，首先回忆平均数的定义：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。解题思路分三步：第一步确定新数组的数据总个数，两组原数据各有n个，对应相加后的新数组总个数仍为n；第二步计算新数组的总和，新数组的总和等于两组原数据各自的总和相加；第三步根据已知的两组原数据的平均数，利用“总和=平均数×个数”分别求出两组原数据的总和，代入新总和后除以总个数n，化简即可得到结果。
【解析】
∵一组数据$a_1,a_2,···,a_n$的平均数为$a$，另一组数据$b_1,b_2,···,b_n$的平均数为$b$，
∴$a_1+a_2+···+a_n = na$，$b_1+b_2+···+b_n = nb$，
∴$a_1+b_1,a_2+b_2,···,a_n+b_n$ 的平均数是$(na + nb)÷n = a + b$。
【答案】
$a+b$
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平均数定义的理解与应用，解题关键是理清新数据总和与原两组数据总和的关系，结合平均数公式推导计算，计算难度低，掌握平均数的基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
26.某次歌咏比赛，进入决赛的三名选手的成绩统计如下：
(1)按平均数分别排出冠军、亚军、季军；
(2)若对唱功、音乐常识、综合知识分别赋权6,3,1，计算三名选手的平均成绩，分别排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是谁？
(1)按平均数分别排出冠军、亚军、季军；
(2)若对唱功、音乐常识、综合知识分别赋权6,3,1，计算三名选手的平均成绩，分别排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军分别是谁？
答案
解:(1)小丽:$\frac{1}{3}×(98+80+80)=86$(分).
小真:$\frac{1}{3}×(95+90+90)\approx91.7$(分),
小扬:$\frac{1}{3}×(80+100+100)\approx93.3$(分).
∴冠军:小扬. 亚军:小真. 季军:小丽.
(2)小丽:$\frac{98×6+80×3+80×1}{6+3+1}=90.8$(分).
小真:$\frac{95×6+90×3+90×1}{6+3+1}=93$(分).
小扬:$\frac{80×6+100×3+100×1}{6+3+1}=88$(分).
∴冠军:小真. 亚军:小丽. 季军:小扬.
小真:$\frac{1}{3}×(95+90+90)\approx91.7$(分),
小扬:$\frac{1}{3}×(80+100+100)\approx93.3$(分).
∴冠军:小扬. 亚军:小真. 季军:小丽.
(2)小丽:$\frac{98×6+80×3+80×1}{6+3+1}=90.8$(分).
小真:$\frac{95×6+90×3+90×1}{6+3+1}=93$(分).
小扬:$\frac{80×6+100×3+100×1}{6+3+1}=88$(分).
∴冠军:小真. 亚军:小丽. 季军:小扬.
解析
【分析】
解题时需分两个小问分别处理：
1. 第(1)问计算算术平均数，算术平均数的计算规则是所有数据之和除以数据的个数，三名选手均有3项成绩，因此分别将三人的三项成绩相加后除以3得到平均分，再比较三个平均分的大小，分数从高到低依次对应冠、亚、季军。
2. 第(2)问计算加权平均数，已知唱功、音乐常识、综合知识的权重分别为6、3、1，加权平均数的计算规则是各项成绩乘对应权重的总和除以权重的总合，分别算出三人的加权平均分后比较大小，即可得到对应排名。
【解析】
(1) 计算三人的算术平均数：
小丽的平均成绩：$\frac{1}{3}×(98+80+80)=86$（分）
小真的平均成绩：$\frac{1}{3}×(95+90+90)=\frac{275}{3}\approx91.7$（分）
小扬的平均成绩：$\frac{1}{3}×(80+100+100)=\frac{280}{3}\approx93.3$（分）
比较得$93.3＞91.7＞86$，因此排名为冠军小扬、亚军小真、季军小丽。
(2) 权重总和为$6+3+1=10$，计算三人的加权平均数：
小丽的加权平均成绩：$\frac{98×6+80×3+80×1}{10}=\frac{588+240+80}{10}=90.8$（分）
小真的加权平均成绩：$\frac{95×6+90×3+90×1}{10}=\frac{570+270+90}{10}=93$（分）
小扬的加权平均成绩：$\frac{80×6+100×3+100×1}{10}=\frac{480+300+100}{10}=88$（分）
比较得$93＞90.8＞88$，因此排名为冠军小真、亚军小丽、季军小扬。
【答案】
(1) 冠军：小扬，亚军：小真，季军：小丽；
(2) 冠军：小真，亚军：小丽，季军：小扬。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，数据大小比较
【点评】
本题属于统计部分的基础常规题型，重点考查两种平均数的计算方法，解题的核心是区分算术平均数和加权平均数的计算逻辑，加权平均数计算时要注意准确匹配各项目对应的权重，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
解题时需分两个小问分别处理：
1. 第(1)问计算算术平均数，算术平均数的计算规则是所有数据之和除以数据的个数，三名选手均有3项成绩，因此分别将三人的三项成绩相加后除以3得到平均分，再比较三个平均分的大小，分数从高到低依次对应冠、亚、季军。
2. 第(2)问计算加权平均数，已知唱功、音乐常识、综合知识的权重分别为6、3、1，加权平均数的计算规则是各项成绩乘对应权重的总和除以权重的总合，分别算出三人的加权平均分后比较大小，即可得到对应排名。
【解析】
(1) 计算三人的算术平均数：
小丽的平均成绩：$\frac{1}{3}×(98+80+80)=86$（分）
小真的平均成绩：$\frac{1}{3}×(95+90+90)=\frac{275}{3}\approx91.7$（分）
小扬的平均成绩：$\frac{1}{3}×(80+100+100)=\frac{280}{3}\approx93.3$（分）
比较得$93.3＞91.7＞86$，因此排名为冠军小扬、亚军小真、季军小丽。
(2) 权重总和为$6+3+1=10$，计算三人的加权平均数：
小丽的加权平均成绩：$\frac{98×6+80×3+80×1}{10}=\frac{588+240+80}{10}=90.8$（分）
小真的加权平均成绩：$\frac{95×6+90×3+90×1}{10}=\frac{570+270+90}{10}=93$（分）
小扬的加权平均成绩：$\frac{80×6+100×3+100×1}{10}=\frac{480+300+100}{10}=88$（分）
比较得$93＞90.8＞88$，因此排名为冠军小真、亚军小丽、季军小扬。
【答案】
(1) 冠军：小扬，亚军：小真，季军：小丽；
(2) 冠军：小真，亚军：小丽，季军：小扬。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，数据大小比较
【点评】
本题属于统计部分的基础常规题型，重点考查两种平均数的计算方法，解题的核心是区分算术平均数和加权平均数的计算逻辑，加权平均数计算时要注意准确匹配各项目对应的权重，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
