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6.如果一组数据$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$的方差为0，那么（
A.$\bar{a}=0$
B.$a_1=a_2=···=a_n=0$
C.$a_1=a_2=a_3=···=a_n$
D.这组数据的中位数为0
C
）A.$\bar{a}=0$
B.$a_1=a_2=···=a_n=0$
C.$a_1=a_2=a_3=···=a_n$
D.这组数据的中位数为0
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差为0说明这组数据没有波动。我们可以从方差的计算公式入手推导：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，平方数具有非负性，若方差为0，则每个差的平方都为0，即所有数据都等于平均数，也就是所有数据相等。再逐一判断各选项是否符合这个结论即可。
【解析】
设这组数据的平均数为$\bar{a}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(a_1-\bar{a})^2+(a_2-\bar{a})^2+\dots+(a_n-\bar{a})^2]$
已知$s^2=0$，因此$(a_1-\bar{a})^2+(a_2-\bar{a})^2+\dots+(a_n-\bar{a})^2=0$。
由于平方数具有非负性，即任意$(a_i-\bar{a})^2≥0$，要使和为0，必须每一个$(a_i-\bar{a})^2=0$，即$a_1=a_2=\dots=a_n=\bar{a}$，也就是这组数据的所有数都相等。
接下来逐一分析选项：
A. 平均数$\bar{a}$可以是任意常数，不一定为0，例如数据2,2,2的方差为0，平均数为2，故A错误；
B. 所有数据相等即可，不一定都为0，例如3,3,3的方差也为0，故B错误；
C. 由推导可知所有数据都相等，故C正确；
D. 中位数等于这组相等的数，不一定为0，例如数据5,5,5的中位数是5，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 方差的定义
2. 方差的意义
【点评】
本题考查对方差概念的理解，属于基础概念考查题，掌握方差为0等价于数据无波动、所有数据相等是解题的关键，解题时注意区分方差为0和平均数、中位数为0的不同条件，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差为0说明这组数据没有波动。我们可以从方差的计算公式入手推导：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，平方数具有非负性，若方差为0，则每个差的平方都为0，即所有数据都等于平均数，也就是所有数据相等。再逐一判断各选项是否符合这个结论即可。
【解析】
设这组数据的平均数为$\bar{a}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(a_1-\bar{a})^2+(a_2-\bar{a})^2+\dots+(a_n-\bar{a})^2]$
已知$s^2=0$，因此$(a_1-\bar{a})^2+(a_2-\bar{a})^2+\dots+(a_n-\bar{a})^2=0$。
由于平方数具有非负性，即任意$(a_i-\bar{a})^2≥0$，要使和为0，必须每一个$(a_i-\bar{a})^2=0$，即$a_1=a_2=\dots=a_n=\bar{a}$，也就是这组数据的所有数都相等。
接下来逐一分析选项：
A. 平均数$\bar{a}$可以是任意常数，不一定为0，例如数据2,2,2的方差为0，平均数为2，故A错误；
B. 所有数据相等即可，不一定都为0，例如3,3,3的方差也为0，故B错误；
C. 由推导可知所有数据都相等，故C正确；
D. 中位数等于这组相等的数，不一定为0，例如数据5,5,5的中位数是5，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 方差的定义
2. 方差的意义
【点评】
本题考查对方差概念的理解，属于基础概念考查题，掌握方差为0等价于数据无波动、所有数据相等是解题的关键，解题时注意区分方差为0和平均数、中位数为0的不同条件，避免混淆。
【难度系数】
0.9
7.某校一年级学生的平均年龄为7岁，方差为3，则五年以后该校六年级的学生的
（
A.平均年龄为7岁，方差改变
B.平均年龄为12岁，方差不变
C.平均年龄为12岁，方差改变
D.平均年龄不变，方差不变
（
B
）A.平均年龄为7岁，方差改变
B.平均年龄为12岁，方差不变
C.平均年龄为12岁，方差改变
D.平均年龄不变，方差不变
答案
7.B
解析
【分析】
解题时可分两步分析：第一步分析平均年龄的变化，五年后每名学生的年龄均增加5岁，结合平均数的性质可计算新的平均年龄；第二步分析方差的变化，方差是衡量数据波动程度的统计量，每名学生年龄都增加相同的数值，学生之间的年龄差不变，数据波动程度不变，因此方差不变，结合这两点即可选出正确选项。
【解析】
设一年级共有$n$名学生，年龄分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$。
根据题意，原来的平均年龄为：
$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=7$
原来的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$
五年后每名学生的年龄变为$x_1+5,x_2+5,\dots,x_n+5$：
1. 计算新的平均年龄：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+5)+(x_2+5)+\dots+(x_n+5)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+\frac{5n}{n}=\overline{x}+5=7+5=12$岁
2. 计算新的方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+5 - (\overline{x}+5))^2+(x_2+5 - (\overline{x}+5))^2+\dots+(x_n+5 - (\overline{x}+5))^2]$
化简后得$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2=3$，因此方差不变。
综上，五年后平均年龄为12岁，方差不变，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题核心考查统计量的变化规律，牢记“一组数据同时加减同一个常数时，平均数同步加减该常数，方差保持不变”这一结论，即可快速完成此类题目的解答。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步分析：第一步分析平均年龄的变化，五年后每名学生的年龄均增加5岁，结合平均数的性质可计算新的平均年龄；第二步分析方差的变化，方差是衡量数据波动程度的统计量，每名学生年龄都增加相同的数值，学生之间的年龄差不变，数据波动程度不变，因此方差不变，结合这两点即可选出正确选项。
【解析】
设一年级共有$n$名学生，年龄分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$。
根据题意，原来的平均年龄为：
$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=7$
原来的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$
五年后每名学生的年龄变为$x_1+5,x_2+5,\dots,x_n+5$：
1. 计算新的平均年龄：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+5)+(x_2+5)+\dots+(x_n+5)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+\frac{5n}{n}=\overline{x}+5=7+5=12$岁
2. 计算新的方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+5 - (\overline{x}+5))^2+(x_2+5 - (\overline{x}+5))^2+\dots+(x_n+5 - (\overline{x}+5))^2]$
化简后得$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2=3$，因此方差不变。
综上，五年后平均年龄为12岁，方差不变，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题核心考查统计量的变化规律，牢记“一组数据同时加减同一个常数时，平均数同步加减该常数，方差保持不变”这一结论，即可快速完成此类题目的解答。
【难度系数】
0.8
8.如果一组数据$ x_1, x_2, \dots, x_n $的方差是2，那么新的一组数据$ 2x_1 + 1, 2x_2 + 1, 2x_3 + 1, \dots, 2x_n + 1 $的方差是（
A.12
B.2
C.4
D.8
D
）A.12
B.2
C.4
D.8
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合方差的定义和数据线性变换的方差变化规律求解。首先明确方差的本质是反映数据的波动程度：给每个数据加同一个常数时，数据的波动幅度不变，方差不变；给每个数据乘同一个常数a时，波动幅度变为原来的a倍，方差变为原来的a²倍。我们可以先设原数据的平均数，再分别推导新数据的平均数和方差，即可得到新方差与原方差的关系，算出结果。
【解析】
设原数据$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
首先计算新数据$2x_1+1,2x_2+1,\dots,2x_n+1$的平均数$\overline{x}'$：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(2x_1+1)+(2x_2+1)+\dots+(2x_n+1)]=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)+n]=2\overline{x}+1$
再代入方差公式计算新数据的方差$s'^2$：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+1-\overline{x}')^2+(2x_2+1-\overline{x}')^2+\dots+(2x_n+1-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[(2x_1+1-(2\overline{x}+1))^2+(2x_2+1-(2\overline{x}+1))^2+\dots+(2x_n+1-(2\overline{x}+1))^2]\\&=\frac{1}{n}[(2(x_1-\overline{x}))^2+(2(x_2-\overline{x}))^2+\dots+(2(x_n-\overline{x}))^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=4s^2=4×2=8\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
方差的定义，方差的性质
【点评】
本题考查方差的计算与变化规律，解题核心是理解数据进行$ax+b$的线性变换时，常数项$b$不改变数据波动幅度，不会影响方差大小，方差仅扩大为原来的$a^2$倍，熟练掌握该规律可跳过推导快速得到答案。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以结合方差的定义和数据线性变换的方差变化规律求解。首先明确方差的本质是反映数据的波动程度：给每个数据加同一个常数时，数据的波动幅度不变，方差不变；给每个数据乘同一个常数a时，波动幅度变为原来的a倍，方差变为原来的a²倍。我们可以先设原数据的平均数，再分别推导新数据的平均数和方差，即可得到新方差与原方差的关系，算出结果。
【解析】
设原数据$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差定义，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
首先计算新数据$2x_1+1,2x_2+1,\dots,2x_n+1$的平均数$\overline{x}'$：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(2x_1+1)+(2x_2+1)+\dots+(2x_n+1)]=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)+n]=2\overline{x}+1$
再代入方差公式计算新数据的方差$s'^2$：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+1-\overline{x}')^2+(2x_2+1-\overline{x}')^2+\dots+(2x_n+1-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[(2x_1+1-(2\overline{x}+1))^2+(2x_2+1-(2\overline{x}+1))^2+\dots+(2x_n+1-(2\overline{x}+1))^2]\\&=\frac{1}{n}[(2(x_1-\overline{x}))^2+(2(x_2-\overline{x}))^2+\dots+(2(x_n-\overline{x}))^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=4s^2=4×2=8\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
方差的定义，方差的性质
【点评】
本题考查方差的计算与变化规律，解题核心是理解数据进行$ax+b$的线性变换时，常数项$b$不改变数据波动幅度，不会影响方差大小，方差仅扩大为原来的$a^2$倍，熟练掌握该规律可跳过推导快速得到答案。
【难度系数】
0.6
9.现有一组数据:106,113,96,98,100,102,104,112.则上四分位数是 (
A.113
B.112
C.106
D.109
D
)A.113
B.112
C.106
D.109
答案
9.D
解析
【分析】
要计算一组数据的上四分位数，首先明确上四分位数就是第75百分位数，解题思路分三步：第一步，先将数据按照从小到大的顺序排列，保证数据顺序正确；第二步，根据数据总个数n，计算百分位数对应的位置i=n×75%；第三步，根据i的类型确定上四分位数：若i不是整数，向上取整后对应的数据即为上四分位数；若i是整数，上四分位数为第i项和第i+1项数据的平均值。
【解析】
步骤1：将已知数据从小到大排序：96，98，100，102，104，106，112，113，可知数据总个数n=8。
步骤2：计算上四分位数（第75百分位数）对应的位置：$i=8×75\%=6$，i为整数。
步骤3：根据规则，上四分位数为排序后第6项和第7项数据的平均值，即$\frac{106+112}{2}=109$。
【答案】
D
【知识点】
1. 上四分位数的概念
2. 百分位数的计算
【点评】
本题是统计中百分位数计算的基础题型，解题的核心是先正确对数据排序，再严格按照百分位数的计算规则求解，易错点在于排序错误、位置计算错误，或者当位置为整数时忘记取相邻两项的平均值，直接选取某一项导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的上四分位数，首先明确上四分位数就是第75百分位数，解题思路分三步：第一步，先将数据按照从小到大的顺序排列，保证数据顺序正确；第二步，根据数据总个数n，计算百分位数对应的位置i=n×75%；第三步，根据i的类型确定上四分位数：若i不是整数，向上取整后对应的数据即为上四分位数；若i是整数，上四分位数为第i项和第i+1项数据的平均值。
【解析】
步骤1：将已知数据从小到大排序：96，98，100，102，104，106，112，113，可知数据总个数n=8。
步骤2：计算上四分位数（第75百分位数）对应的位置：$i=8×75\%=6$，i为整数。
步骤3：根据规则，上四分位数为排序后第6项和第7项数据的平均值，即$\frac{106+112}{2}=109$。
【答案】
D
【知识点】
1. 上四分位数的概念
2. 百分位数的计算
【点评】
本题是统计中百分位数计算的基础题型，解题的核心是先正确对数据排序，再严格按照百分位数的计算规则求解，易错点在于排序错误、位置计算错误，或者当位置为整数时忘记取相邻两项的平均值，直接选取某一项导致结果出错。
【难度系数】
0.7
10. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93. 这组数据中第一四分位数是 (
A.102.5
B.168
C.124
D.150
C
)A.102.5
B.168
C.124
D.150
答案
10.C
解析
【分析】
要计算一组数据的第一四分位数，首先需明确解题步骤：第一步将数据从小到大排序，第二步计算第一四分位数的位置，第三步根据位置规则计算对应的数值。本题中数据共8个，先排序后按第一四分位数的位置公式算出位置，若位置为整数，则取该位置和下一个位置对应数据的平均值即可得到结果。
【解析】
1. 先将8个数据从小到大进行排序：93，112，136，145，155，165，171，182；
2. 计算第一四分位数的位置：第一四分位数位置公式为$i = n × 25\%$，其中$n$为数据总个数，本题$n=8$，代入得$i=8×25\%=2$；
3. 由于位置$i$是整数，因此第一四分位数为第2个数据和第3个数据的平均数，即$\frac{112+136}{2}=124$。
【答案】
C
【知识点】
1. 数据的排序
2. 第一四分位数的计算
【点评】
本题考查第一四分位数的计算，核心是先对数据正确排序，再根据四分位数的位置规则计算对应数值，解题时要注意位置为整数时的取值规则，避免因排序错误或规则记错失分。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的第一四分位数，首先需明确解题步骤：第一步将数据从小到大排序，第二步计算第一四分位数的位置，第三步根据位置规则计算对应的数值。本题中数据共8个，先排序后按第一四分位数的位置公式算出位置，若位置为整数，则取该位置和下一个位置对应数据的平均值即可得到结果。
【解析】
1. 先将8个数据从小到大进行排序：93，112，136，145，155，165，171，182；
2. 计算第一四分位数的位置：第一四分位数位置公式为$i = n × 25\%$，其中$n$为数据总个数，本题$n=8$，代入得$i=8×25\%=2$；
3. 由于位置$i$是整数，因此第一四分位数为第2个数据和第3个数据的平均数，即$\frac{112+136}{2}=124$。
【答案】
C
【知识点】
1. 数据的排序
2. 第一四分位数的计算
【点评】
本题考查第一四分位数的计算，核心是先对数据正确排序，再根据四分位数的位置规则计算对应数值，解题时要注意位置为整数时的取值规则，避免因排序错误或规则记错失分。
【难度系数】
0.7
11.某班4名学生的语文成绩为85,88,85,92(单位:分).若将其分成{85,88}和{85,92}两组,则{85,88}的组内离差平方和为 (
A.2
B.4.5
C.6
D.9
B
)A.2
B.4.5
C.6
D.9
答案
11.B
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需按照固定步骤思考：第一步先求出该组所有数据的平均数，第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值相加，最终所得结果就是组内离差平方和，按该步骤逐步计算即可。
【解析】
首先计算组$\{85,88\}$的平均数：
$\bar{x}=\frac{85+88}{2}=86.5$
再分别计算两个数据与平均数的差的平方：
$(85-86.5)^2=(-1.5)^2=2.25$
$(88-86.5)^2=(1.5)^2=2.25$
最后求和得到组内离差平方和：
$2.25+2.25=4.5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题是统计类基础计算题，考查组内离差平方和的计算逻辑，计算步骤固定清晰，掌握基础计算流程即可快速得分。
【难度系数】
0.75
要计算组内离差平方和，需按照固定步骤思考：第一步先求出该组所有数据的平均数，第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值相加，最终所得结果就是组内离差平方和，按该步骤逐步计算即可。
【解析】
首先计算组$\{85,88\}$的平均数：
$\bar{x}=\frac{85+88}{2}=86.5$
再分别计算两个数据与平均数的差的平方：
$(85-86.5)^2=(-1.5)^2=2.25$
$(88-86.5)^2=(1.5)^2=2.25$
最后求和得到组内离差平方和：
$2.25+2.25=4.5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题是统计类基础计算题，考查组内离差平方和的计算逻辑，计算步骤固定清晰，掌握基础计算流程即可快速得分。
【难度系数】
0.75
12.某班5名学生的数学成绩如下:75,78,78,81,84(单位:分).将数据分成两组,若一组为$\{78,78\}$,则另一组的组内离差平方和为（
A.42
B.46.8
C.30
D.0
A
）A.42
B.46.8
C.30
D.0
答案
12.A
解析
【分析】
解题时首先要确定另一组包含的数据：从给出的5个数学成绩中去掉已知组的{78,78}，得到剩下的3个数据。接下来明确组内离差平方和的计算逻辑：先计算该组数据的平均数，再分别求出每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值相加即可得到结果，按步骤计算即可避免出错。
【解析】
第一步：确定另一组的数据
原5名学生的成绩为75,78,78,81,84，去掉一组{78,78}后，另一组数据为：75,81,84。
第二步：计算该组数据的平均数
平均数$\bar{x}=\frac{75+81+84}{3}=\frac{240}{3}=80$。
第三步：计算组内离差平方和
组内离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，即：
$\begin{aligned}&(75-80)^2+(81-80)^2+(84-80)^2\\=&(-5)^2+1^2+4^2\\=&25+1+16\\=&42\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据分组处理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查组内离差平方和的计算方法，解题的关键是准确提取分组后的剩余数据，严格按照“求平均数→计算各数据与平均数的差的平方→求和”的步骤计算即可，计算时注意平方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定另一组包含的数据：从给出的5个数学成绩中去掉已知组的{78,78}，得到剩下的3个数据。接下来明确组内离差平方和的计算逻辑：先计算该组数据的平均数，再分别求出每个数据与平均数的差的平方，最后将所有平方值相加即可得到结果，按步骤计算即可避免出错。
【解析】
第一步：确定另一组的数据
原5名学生的成绩为75,78,78,81,84，去掉一组{78,78}后，另一组数据为：75,81,84。
第二步：计算该组数据的平均数
平均数$\bar{x}=\frac{75+81+84}{3}=\frac{240}{3}=80$。
第三步：计算组内离差平方和
组内离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，即：
$\begin{aligned}&(75-80)^2+(81-80)^2+(84-80)^2\\=&(-5)^2+1^2+4^2\\=&25+1+16\\=&42\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；数据分组处理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查组内离差平方和的计算方法，解题的关键是准确提取分组后的剩余数据，严格按照“求平均数→计算各数据与平均数的差的平方→求和”的步骤计算即可，计算时注意平方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
13.某超市5天的水果销量为12,15,12,18,21(单位:kg).按组内离差平方和最小的原则分组(每组至少2个数据),最优分组是 （
A.{12,15}和{12,18,21}
B.{12,12}和{15,18,21}
C.{21,18}和{12,15,12}
D.{15,18|和{12,12,21}
C
）A.{12,15}和{12,18,21}
B.{12,12}和{15,18,21}
C.{21,18}和{12,15,12}
D.{15,18|和{12,12,21}
答案
13.C
解析
【分析】
首先明确组内离差平方和最小的含义：组内数据越集中（波动越小），离差平方和越小。本题要求5个数据分成2组（每组至少2个，故只能是2个一组+3个一组），我们只需计算每个选项中两组的离差平方和之和，总和最小的即为最优分组。离差平方和的计算方法和方差计算逻辑一致：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方，最后求和即可。
【解析】
离差平方和计算规则：对一组数据，先求平均数$\bar{x}$，离差平方和$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，我们分别计算各选项的总离差平方和：
A选项：
第一组{12,15}：平均数$\bar{x_1}=\frac{12+15}{2}=13.5$，离差平方和$=(12-13.5)^2+(15-13.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,18,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+18+21}{3}=17$，离差平方和$=(12-17)^2+(18-17)^2+(21-17)^2=25+1+16=42$
总和：$4.5+42=46.5$
B选项：
第一组{12,12}：平均数$\bar{x_1}=12$，离差平方和$=(12-12)^2+(12-12)^2=0$
第二组{15,18,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{15+18+21}{3}=18$，离差平方和$=(15-18)^2+(18-18)^2+(21-18)^2=9+0+9=18$
总和：$0+18=18$
C选项：
第一组{21,18}：平均数$\bar{x_1}=\frac{18+21}{2}=19.5$，离差平方和$=(18-19.5)^2+(21-19.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,15,12}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+15+12}{3}=13$，离差平方和$=(12-13)^2+(15-13)^2+(12-13)^2=1+4+1=6$
总和：$4.5+6=10.5$
D选项：
第一组{15,18}：平均数$\bar{x_1}=\frac{15+18}{2}=16.5$，离差平方和$=(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,12,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+12+21}{3}=15$，离差平方和$=(12-15)^2+(12-15)^2+(21-15)^2=9+9+36=54$
总和：$4.5+54=58.5$
对比四个选项的总离差平方和，C选项的10.5最小，因此C是最优分组。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算、数据波动程度
【点评】
本题本质是考查数据波动程度的实际应用，解题核心是理解离差平方和的意义，通过准确计算每组的离差平方和再比较总和即可得到答案，计算时需注意平均数求解的准确性。
【难度系数】
0.65
首先明确组内离差平方和最小的含义：组内数据越集中（波动越小），离差平方和越小。本题要求5个数据分成2组（每组至少2个，故只能是2个一组+3个一组），我们只需计算每个选项中两组的离差平方和之和，总和最小的即为最优分组。离差平方和的计算方法和方差计算逻辑一致：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方，最后求和即可。
【解析】
离差平方和计算规则：对一组数据，先求平均数$\bar{x}$，离差平方和$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，我们分别计算各选项的总离差平方和：
A选项：
第一组{12,15}：平均数$\bar{x_1}=\frac{12+15}{2}=13.5$，离差平方和$=(12-13.5)^2+(15-13.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,18,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+18+21}{3}=17$，离差平方和$=(12-17)^2+(18-17)^2+(21-17)^2=25+1+16=42$
总和：$4.5+42=46.5$
B选项：
第一组{12,12}：平均数$\bar{x_1}=12$，离差平方和$=(12-12)^2+(12-12)^2=0$
第二组{15,18,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{15+18+21}{3}=18$，离差平方和$=(15-18)^2+(18-18)^2+(21-18)^2=9+0+9=18$
总和：$0+18=18$
C选项：
第一组{21,18}：平均数$\bar{x_1}=\frac{18+21}{2}=19.5$，离差平方和$=(18-19.5)^2+(21-19.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,15,12}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+15+12}{3}=13$，离差平方和$=(12-13)^2+(15-13)^2+(12-13)^2=1+4+1=6$
总和：$4.5+6=10.5$
D选项：
第一组{15,18}：平均数$\bar{x_1}=\frac{15+18}{2}=16.5$，离差平方和$=(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$
第二组{12,12,21}：平均数$\bar{x_2}=\frac{12+12+21}{3}=15$，离差平方和$=(12-15)^2+(12-15)^2+(21-15)^2=9+9+36=54$
总和：$4.5+54=58.5$
对比四个选项的总离差平方和，C选项的10.5最小，因此C是最优分组。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算、数据波动程度
【点评】
本题本质是考查数据波动程度的实际应用，解题核心是理解离差平方和的意义，通过准确计算每组的离差平方和再比较总和即可得到答案，计算时需注意平均数求解的准确性。
【难度系数】
0.65
14.已知数据2，x，5，8的平均数为5，则x=
5
。这组数据的离差平方和为18
。答案
14.5 18
解析
【分析】
首先求解x的值：回忆平均数的计算规则，平均数等于所有数据的总和除以数据的个数，已知这组数据的平均数和另外三个数据，我们可以先算出4个数据的总合，再减去已知的三个数就能求出x。接下来求解离差平方和：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方相加的和，已知平均数是5，只需分别计算每个数据与5的差的平方，再求和即可。
【解析】
1. 计算x的值：
根据平均数公式$\mathrm{平均数}=\frac{\mathrm{所有数据之和}}{\mathrm{数据的个数}}$，已知4个数据的平均数为5，可得4个数据的总和为：$5×4=20$。
则$x=20-(2+5+8)=20-15=5$。
2. 计算离差平方和：
离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{离差平方和}&=(2-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2\\&=(-3)^2+0^2+0^2+3^2\\&=9+0+0+9\\&=18\end{aligned}$
【答案】
5；18
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题是统计类基础题，重点考查对平均数、离差平方和相关概念的掌握，只要牢记对应公式，仔细计算就能得分。
【难度系数】
0.8
首先求解x的值：回忆平均数的计算规则，平均数等于所有数据的总和除以数据的个数，已知这组数据的平均数和另外三个数据，我们可以先算出4个数据的总合，再减去已知的三个数就能求出x。接下来求解离差平方和：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方相加的和，已知平均数是5，只需分别计算每个数据与5的差的平方，再求和即可。
【解析】
1. 计算x的值：
根据平均数公式$\mathrm{平均数}=\frac{\mathrm{所有数据之和}}{\mathrm{数据的个数}}$，已知4个数据的平均数为5，可得4个数据的总和为：$5×4=20$。
则$x=20-(2+5+8)=20-15=5$。
2. 计算离差平方和：
离差平方和为每个数据与平均数的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{离差平方和}&=(2-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2\\&=(-3)^2+0^2+0^2+3^2\\&=9+0+0+9\\&=18\end{aligned}$
【答案】
5；18
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题是统计类基础题，重点考查对平均数、离差平方和相关概念的掌握，只要牢记对应公式，仔细计算就能得分。
【难度系数】
0.8
15.某校今年春季开展体操比赛,小明收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员(各50名)的身高,得到:平均身高(单位:cm)分别为$\bar{x}_甲=160$,$\bar{x}_乙=160$,方差(单位:$cm^2$)分别为$s^2_甲=1.5$,$s^2_乙=2.8$.现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛,根据上述数据,应该选择
甲队
(填“甲队”或“乙队”).答案
15.甲队
解析
【分析】
要选出身高比较整齐的队伍，本质是判断哪组身高数据的波动更小。我们知道，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越整齐、稳定。本题中两队平均身高相同，说明整体身高水平一致，因此只需比较两队的方差大小就能得出结论。
【解析】
方差的作用是反映一组数据的波动大小：方差越小，数据的离散程度越小，数据就越整齐、稳定。
已知甲、乙两队的平均身高相等，均为160cm，说明两队整体身高水平相当；
又知$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，即甲队身高的波动更小，更整齐。
因此应该选择甲队。
【答案】
甲队
【知识点】
方差的意义；统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的选择，解题核心是掌握“方差越小，数据越稳定整齐”的性质，只需比较方差大小即可判断，难度较低。
【难度系数】
0.9
要选出身高比较整齐的队伍，本质是判断哪组身高数据的波动更小。我们知道，方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越整齐、稳定。本题中两队平均身高相同，说明整体身高水平一致，因此只需比较两队的方差大小就能得出结论。
【解析】
方差的作用是反映一组数据的波动大小：方差越小，数据的离散程度越小，数据就越整齐、稳定。
已知甲、乙两队的平均身高相等，均为160cm，说明两队整体身高水平相当；
又知$s^2_甲=1.5$，$s^2_乙=2.8$，可得$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，即甲队身高的波动更小，更整齐。
因此应该选择甲队。
【答案】
甲队
【知识点】
方差的意义；统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的选择，解题核心是掌握“方差越小，数据越稳定整齐”的性质，只需比较方差大小即可判断，难度较低。
【难度系数】
0.9
