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1. 下列关于离差的说法中正确的是 （
A.离差一定是正数
B.离差一定是负数
C.离差可能是正数、负数或 0
D.离差的绝对值等于数据本身
C
）A.离差一定是正数
B.离差一定是负数
C.离差可能是正数、负数或 0
D.离差的绝对值等于数据本身
答案
1.C
解析
【分析】
首先回忆离差的定义：离差是单个数据与一组数据平均数的差值。解题时先根据定义分析离差的符号可能的情况：单个数据可能大于、小于或等于平均数，因此离差的符号可能为正、负或0，可直接排除A、B选项；再分析D选项，离差的绝对值是数据与平均数的差的绝对值，只有平均数为0时才等于数据本身，不是普遍成立，由此即可选出正确答案。
【解析】
首先明确离差的定义：对于一组数据，单个数据$x$与这组数据的平均数$\overline{x}$的差叫做离差，即离差$=x-\overline{x}$。
1. 分析符号特征：当$x＞\overline{x}$时，离差为正数；当$x＜\overline{x}$时，离差为负数；当$x=\overline{x}$时，离差为0，因此离差可能是正数、负数或0，故A、B选项错误，C选项正确。
2. 分析D选项：离差的绝对值为$\vert x-\overline{x}\vert$，只有当$\overline{x}=0$时，$\vert x-\overline{x}\vert=\vert x\vert$，并不是所有情况都等于数据本身，因此D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
离差的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于对离差定义的准确掌握，只要牢记离差是数据与平均数的差值，就能快速判断各个选项的正误。
【难度系数】
0.9
首先回忆离差的定义：离差是单个数据与一组数据平均数的差值。解题时先根据定义分析离差的符号可能的情况：单个数据可能大于、小于或等于平均数，因此离差的符号可能为正、负或0，可直接排除A、B选项；再分析D选项，离差的绝对值是数据与平均数的差的绝对值，只有平均数为0时才等于数据本身，不是普遍成立，由此即可选出正确答案。
【解析】
首先明确离差的定义：对于一组数据，单个数据$x$与这组数据的平均数$\overline{x}$的差叫做离差，即离差$=x-\overline{x}$。
1. 分析符号特征：当$x＞\overline{x}$时，离差为正数；当$x＜\overline{x}$时，离差为负数；当$x=\overline{x}$时，离差为0，因此离差可能是正数、负数或0，故A、B选项错误，C选项正确。
2. 分析D选项：离差的绝对值为$\vert x-\overline{x}\vert$，只有当$\overline{x}=0$时，$\vert x-\overline{x}\vert=\vert x\vert$，并不是所有情况都等于数据本身，因此D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
离差的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于对离差定义的准确掌握，只要牢记离差是数据与平均数的差值，就能快速判断各个选项的正误。
【难度系数】
0.9
2.某校甲、乙两班人数相同，在一次数学测验中，两班平均分和方差分别为$\overline{x}_甲=82$，$\overline{x}_乙=82$，$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，那么成绩更为稳定的是 （
A.甲班
B.乙班
C.两班一样稳定
D.无法确定
B
）A.甲班
B.乙班
C.两班一样稳定
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个班成绩更稳定，首先要明确方差的统计意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，在平均分相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩就越稳定。本题已经给出两班平均分相等，只需对比两个班的方差大小即可得出结论。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动程度的统计量，方差越大，代表数据的离散程度越大，成绩稳定性越差；方差越小，代表数据的离散程度越小，成绩稳定性越好。
已知两班平均分$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=82$，平均成绩相同，对比方差数值：$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，可得$s^2_甲＞s^2_乙$，因此乙班的成绩波动更小，更为稳定。
故选B。
【答案】B
【知识点】
方差的意义、统计量的应用
【点评】
本题考查方差在实际统计问题中的应用，解题核心是牢记“方差越小数据越稳定”的性质，结合题干给出的已知数值直接对比即可得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断哪个班成绩更稳定，首先要明确方差的统计意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，在平均分相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，成绩就越稳定。本题已经给出两班平均分相等，只需对比两个班的方差大小即可得出结论。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动程度的统计量，方差越大，代表数据的离散程度越大，成绩稳定性越差；方差越小，代表数据的离散程度越小，成绩稳定性越好。
已知两班平均分$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=82$，平均成绩相同，对比方差数值：$s^2_甲=245$，$s^2_乙=190$，可得$s^2_甲＞s^2_乙$，因此乙班的成绩波动更小，更为稳定。
故选B。
【答案】B
【知识点】
方差的意义、统计量的应用
【点评】
本题考查方差在实际统计问题中的应用，解题核心是牢记“方差越小数据越稳定”的性质，结合题干给出的已知数值直接对比即可得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 已知样本数据为1,2,3,4,5,则它的方差为 （
A.10
B.$\sqrt{10}$
C.2
D.2
C
）A.10
B.$\sqrt{10}$
C.2
D.2
答案
3.C
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需遵循固定解题步骤：首先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式，求出每个数据与平均数差的平方的平均值即可。解题时注意区分方差和标准差的公式，避免混淆。
【解析】
第一步：计算样本数据的平均数$\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算
$s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
因此该样本的方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算公式，按照“先求平均数，再代入公式计算”的步骤求解即可，解题时注意不要误算为标准差。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需遵循固定解题步骤：首先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式，求出每个数据与平均数差的平方的平均值即可。解题时注意区分方差和标准差的公式，避免混淆。
【解析】
第一步：计算样本数据的平均数$\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算
$s^2=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
因此该样本的方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算公式，按照“先求平均数，再代入公式计算”的步骤求解即可，解题时注意不要误算为标准差。
【难度系数】
0.8
4.数据3,4,5,6,7与数据30,40,50,60,70的离差平方和的关系是 （
A.前者大
B.后者大
C.相等
D.无法比较
B
）A.前者大
B.后者大
C.相等
D.无法比较
答案
4.B
解析
【分析】
要判断两组数据离差平方和的大小，需先明确离差平方和的计算步骤：第一步先计算每组数据的平均数，第二步分别计算每个数据与本组平均数的差的平方，第三步将所有差的平方求和得到离差平方和，最后比较两组的计算结果即可。
【解析】
1. 计算第一组数据3,4,5,6,7的离差平方和：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5$
离差平方和：$S_1=(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2=4+1+0+1+4=10$
2. 计算第二组数据30,40,50,60,70的离差平方和：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{30+40+50+60+70}{5}=50$
离差平方和：$S_2=(30-50)^2+(40-50)^2+(50-50)^2+(60-50)^2+(70-50)^2=400+100+0+100+400=1000$
3. 比较大小：$1000＞10$，因此后者的离差平方和更大。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题考查离差平方和的基础计算，牢记计算步骤即可顺利求解，也可结合数据变化规律快速判断：当一组数据所有数都扩大为原来的k倍时，离差平方和扩大为原来的$k^2$倍。
【难度系数】
0.8
要判断两组数据离差平方和的大小，需先明确离差平方和的计算步骤：第一步先计算每组数据的平均数，第二步分别计算每个数据与本组平均数的差的平方，第三步将所有差的平方求和得到离差平方和，最后比较两组的计算结果即可。
【解析】
1. 计算第一组数据3,4,5,6,7的离差平方和：
平均数：$\bar{x}_1=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5$
离差平方和：$S_1=(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2=4+1+0+1+4=10$
2. 计算第二组数据30,40,50,60,70的离差平方和：
平均数：$\bar{x}_2=\frac{30+40+50+60+70}{5}=50$
离差平方和：$S_2=(30-50)^2+(40-50)^2+(50-50)^2+(60-50)^2+(70-50)^2=400+100+0+100+400=1000$
3. 比较大小：$1000＞10$，因此后者的离差平方和更大。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题考查离差平方和的基础计算，牢记计算步骤即可顺利求解，也可结合数据变化规律快速判断：当一组数据所有数都扩大为原来的k倍时，离差平方和扩大为原来的$k^2$倍。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天气温的方差$s^2_甲$与$s^2_乙$的大小关系为（
A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.$s^2_甲 ≤ s^2_乙$
A
）A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.$s^2_甲 ≤ s^2_乙$
答案
5.A
解析
【分析】
解题首先要明确方差的实际意义：方差反映一组数据的波动程度，波动越大，方差越大，反之越小。接下来观察折线统计图的起伏情况，对比甲、乙两地气温的波动幅度，不需要计算具体方差，就能直接判断两方差的大小关系。
【解析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量：数据的波动幅度越大，对应的方差越大；波动幅度越小，对应的方差越小。观察折线统计图可以发现，甲地的日平均气温折线起伏更明显，说明甲地这10天的气温波动比乙地大，因此甲地气温的方差更大，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
【答案】
A
【知识点】
1.方差的意义 2.折线统计图解读
【点评】
本题考查方差的实际应用，不需要计算方差的具体数值，只需通过折线图的起伏判断数据波动大小即可解题，是方差相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确方差的实际意义：方差反映一组数据的波动程度，波动越大，方差越大，反之越小。接下来观察折线统计图的起伏情况，对比甲、乙两地气温的波动幅度，不需要计算具体方差，就能直接判断两方差的大小关系。
【解析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量：数据的波动幅度越大，对应的方差越大；波动幅度越小，对应的方差越小。观察折线统计图可以发现，甲地的日平均气温折线起伏更明显，说明甲地这10天的气温波动比乙地大，因此甲地气温的方差更大，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
【答案】
A
【知识点】
1.方差的意义 2.折线统计图解读
【点评】
本题考查方差的实际应用，不需要计算方差的具体数值，只需通过折线图的起伏判断数据波动大小即可解题，是方差相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
