23. 如图，点M，N分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民们对燃气的需求，计划在管道l上某处修建一座燃气管理站，向两个村庄接入管道。

(1)若计划修建一个离村庄M最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置(用点P表示)，这样做的依据是；
(2)若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄M、村庄N距离之和最小，画出燃气管理站的位置(用点Q表示)，这样做的依据是。

解：
(1) 过点M作$MP ⊥ l$，垂足为点P，点P即为所求的燃气管理站位置。
依据：垂线段最短。
(2) 连接$MN$，与直线$l$交于点Q，点Q即为所求的燃气管理站位置。
依据：两点之间，线段最短。

【分析】
(1) 要在直线l上找到距离点M最近的点，我们学过点到直线的所有连线中，垂线段的长度是最短的，因此只需要过点M向直线l作垂线，垂足就是满足要求的燃气管理站位置。
(2) 要让燃气管理站到M、N两个村庄的距离之和最小，根据两点之间的所有连线中线段最短的性质，只要连接M、N两点，线段MN和直线l的交点就是所求位置，此时该点到M、N的距离和恰好等于线段MN的长度，是最小的距离和。
【解析】
(1) 作图：将三角板的一条直角边与直线l重合，平移三角板使另一条直角边经过点M，沿这条直角边作$MP ⊥ l$，垂足为点P，点P就是所求的燃气管理站位置。
依据：垂线段最短。
(2) 作图：用直尺连接点M和点N，线段MN与直线l的交点即为点Q，点Q就是所求的燃气管理站位置。
依据：两点之间，线段最短。
【答案】
(1) 过点M作$MP ⊥ l$，垂足为点P，点P即为所求；依据：垂线段最短。
(2) 连接$MN$，与直线$l$交于点Q，点Q即为所求；依据：两点之间，线段最短。
【知识点】
垂线段最短；两点之间线段最短
【点评】
本题是结合生活场景的基础几何应用题，将实际的最短路径问题转化为几何性质的应用，难度较低，只要熟练掌握相关的几何基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

24.已知O是直线AB上一点，$OC⊥OD$，垂足为O，OE平分$∠BOC$.
(1)如图①，若$∠AOC=25°$，求$∠DOE$的度数；
(2)将图①中的$∠COD$绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，猜想$∠AOC$与$∠DOE$之间的数量关系，并说明理由.

解：
(1)
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 25°，
∴ ∠BOC = 180° - 25° = 155°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} × 155° = 77.5°$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 77.5° = 12.5°。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ DOE = \frac{1}{2}∠ AOC}$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = $90° - (90° - \frac{1}{2}∠ AOC) = \frac{1}{2}∠ AOC$。

【分析】
(1) 求解∠DOE的度数时，已知OC⊥OD可得∠COD=90°，因此只需先求出∠COE的度数即可。首先利用平角的定义，结合已知的∠AOC的度数算出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义得到∠COE的度数，最后用∠COD减去∠COE就能得到∠DOE的结果。
(2) 探究∠AOC和∠DOE的数量关系时，沿用第一问的推导逻辑，先用含∠AOC的代数式表示∠BOC，再根据角平分线的定义用∠AOC表示出∠COE，最后结合∠COD=90°，通过角度的和差运算化简，即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC = 25°，
∴ ∠BOC = 180° - 25° = 155°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} × 155° = 77.5°$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 77.5° = 12.5°。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ DOE = \frac{1}{2}∠ AOC}$，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴ ∠BOC = 180° - ∠AOC，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - ∠ AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = $90° - (90° - \frac{1}{2}∠ AOC) = \frac{1}{2}∠ AOC$。
【答案】
(1) $\boxed{12.5°}$
(2) $\boxed{∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题从具体数值计算到一般数量关系推导，难度逐步递进，解题的关键是熟练掌握平角、垂直、角平分线的相关性质，准确梳理各个角之间的和差关系，即可顺利完成求解。
【难度系数】
0.8