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7. 下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
解: $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-1×\sqrt{\frac{1}{3}}$ ①
$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ②
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ③
（1）指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤.
（2）请写出正确的解题过程.
解: $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-1×\sqrt{\frac{1}{3}}$ ①
$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ②
$=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ③
（1）指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤.
（2）请写出正确的解题过程.
答案
7.(1) $\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$,故步骤①最先出现错误.
(2) $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）找最先出错的步骤需依次核对每一步变形的合理性：首先验证前两个二次根式的化简，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$均符合二次根式化简规则，是正确的；再看第三个根式$\sqrt{1\frac{1}{3}}$的变形，带分数$1\frac{1}{3}$的含义是$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，并非$1×\frac{1}{3}$，步骤①错误将其拆分为$1×\sqrt{\frac{1}{3}}$，因此步骤①是最先出错的步骤。
（2）正确解题思路：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到正确结果。
【解析】
（1）步骤①中对$\sqrt{1\frac{1}{3}}$的化简不符合规则：带分数需先转化为假分数再进行二次根式化简，不能直接拆分为整数部分乘分数部分的根式，因此最先出现错误的是步骤①。
（2）正确解题过程：
先将每个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}&=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=2\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})\\&=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) 最先出现错误的步骤是步骤①；
(2) $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、带分数与假分数互化、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，核心易错点是处理带分数形式的被开方数时，容易误将带分数理解为整数部分乘分数部分，忽略带分数是整数与分数的和，需先转化为假分数再化简，计算时遵循“先化简、再合并”的原则可有效减少运算错误。
【难度系数】
0.75
（1）找最先出错的步骤需依次核对每一步变形的合理性：首先验证前两个二次根式的化简，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$均符合二次根式化简规则，是正确的；再看第三个根式$\sqrt{1\frac{1}{3}}$的变形，带分数$1\frac{1}{3}$的含义是$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，并非$1×\frac{1}{3}$，步骤①错误将其拆分为$1×\sqrt{\frac{1}{3}}$，因此步骤①是最先出错的步骤。
（2）正确解题思路：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到正确结果。
【解析】
（1）步骤①中对$\sqrt{1\frac{1}{3}}$的化简不符合规则：带分数需先转化为假分数再进行二次根式化简，不能直接拆分为整数部分乘分数部分的根式，因此最先出现错误的是步骤①。
（2）正确解题过程：
先将每个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}&=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=2\sqrt{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})\\&=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) 最先出现错误的步骤是步骤①；
(2) $\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{1\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、带分数与假分数互化、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，核心易错点是处理带分数形式的被开方数时，容易误将带分数理解为整数部分乘分数部分，忽略带分数是整数与分数的和，需先转化为假分数再化简，计算时遵循“先化简、再合并”的原则可有效减少运算错误。
【难度系数】
0.75
8. 在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元),并绘制成右面的统计图.
（1）本次调查的样本容量是________,这组数据的众数为________.
（2）求这组数据的平均数.
（3）该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
（1）本次调查的样本容量是________,这组数据的众数为________.
（2）求这组数据的平均数.
（3）该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
答案
8.(1) 30 10
(2) 12元
(3) 7200元
(2) 12元
(3) 7200元
解析
【分析】
解决本题首先要读懂条形统计图，明确横轴代表捐款数，纵轴代表对应捐款的人数。
（1）样本容量是抽样调查的总人数，将各捐款数对应的人数相加即可得到；众数是一组数据中出现次数最多的数据，找到对应人数最多的捐款数就是众数。
（2）求平均数需使用加权平均数公式：所有数据的总和除以总人数，即每个捐款数乘对应人数的总和除以总人数。
（3）利用样本估计总体的思想，用样本的平均捐款数乘全校捐款总人数，即可估算出该校学生的捐款总数。
【解析】
（1）样本容量为各捐款段人数之和：$6+11+8+5=30$；
捐款10元的人数最多，共11人，因此这组数据的众数为10。
（2）根据加权平均数公式计算：
$\mathrm{平均数}=\frac{5×6 + 10×11 + 15×8 + 20×5}{30}=\frac{30+110+120+100}{30}=\frac{360}{30}=12\ (\mathrm{元})$
（3）用样本平均捐款数估计全校学生平均捐款数，捐款总数为：
$600×12=7200\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) $30$，$10$
(2) $12$元
(3) $7200$元
【知识点】
条形统计图、加权平均数、样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查从条形统计图中提取有效信息的能力，以及众数、加权平均数的计算和用样本估算总体的统计思想，计算量小，只要细心读取数据、准确计算即可得分。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要读懂条形统计图，明确横轴代表捐款数，纵轴代表对应捐款的人数。
（1）样本容量是抽样调查的总人数，将各捐款数对应的人数相加即可得到；众数是一组数据中出现次数最多的数据，找到对应人数最多的捐款数就是众数。
（2）求平均数需使用加权平均数公式：所有数据的总和除以总人数，即每个捐款数乘对应人数的总和除以总人数。
（3）利用样本估计总体的思想，用样本的平均捐款数乘全校捐款总人数，即可估算出该校学生的捐款总数。
【解析】
（1）样本容量为各捐款段人数之和：$6+11+8+5=30$；
捐款10元的人数最多，共11人，因此这组数据的众数为10。
（2）根据加权平均数公式计算：
$\mathrm{平均数}=\frac{5×6 + 10×11 + 15×8 + 20×5}{30}=\frac{30+110+120+100}{30}=\frac{360}{30}=12\ (\mathrm{元})$
（3）用样本平均捐款数估计全校学生平均捐款数，捐款总数为：
$600×12=7200\ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) $30$，$10$
(2) $12$元
(3) $7200$元
【知识点】
条形统计图、加权平均数、样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查从条形统计图中提取有效信息的能力，以及众数、加权平均数的计算和用样本估算总体的统计思想，计算量小，只要细心读取数据、准确计算即可得分。
【难度系数】
0.85
9. 某中学有一块长 30 米、宽 20 米的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为 $ x $ 米，则可列方程为 ______.
答案
9.$(30-2x)(20-x)=\frac{3×30×20}{4}$
解析
【分析】
解题时先找核心等量关系：题目要求种花区域占空地总面积的$\frac{1}{4}$，因此未种花的中间矩形区域面积占总面积的$\frac{3}{4}$，这是列方程的依据。接下来确定中间矩形的长和宽：观察图形，原空地长30米，左右两侧花带宽度均为x米，因此中间矩形的长为$(30-2x)$米；原空地宽20米，上方花带宽度为x米，因此中间矩形的宽为$(20-x)$米。最后根据矩形面积公式，结合等量关系即可列出方程。
【解析】
首先计算矩形空地的总面积为$30×20$平方米。
因为种花区域占总面积的$\frac{1}{4}$，所以未种花的中间区域面积为总面积的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，即未种花区域面积为$\frac{3×30×20}{4}$平方米。
由图可知，中间未种花矩形的长为$(30-2x)$米，宽为$(20-x)$米，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=\frac{3×30×20}{4}$
【答案】
$(30-2x)(20-x)=\frac{3×30×20}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 等量关系列方程
【点评】
本题属于常见的面积类方程应用题，解题的关键是准确读取图形信息，正确表示出内部矩形的长和宽，理清不同区域面积的数量关系，避免漏减花带宽度的错误。
【难度系数】
0.7
解题时先找核心等量关系：题目要求种花区域占空地总面积的$\frac{1}{4}$，因此未种花的中间矩形区域面积占总面积的$\frac{3}{4}$，这是列方程的依据。接下来确定中间矩形的长和宽：观察图形，原空地长30米，左右两侧花带宽度均为x米，因此中间矩形的长为$(30-2x)$米；原空地宽20米，上方花带宽度为x米，因此中间矩形的宽为$(20-x)$米。最后根据矩形面积公式，结合等量关系即可列出方程。
【解析】
首先计算矩形空地的总面积为$30×20$平方米。
因为种花区域占总面积的$\frac{1}{4}$，所以未种花的中间区域面积为总面积的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，即未种花区域面积为$\frac{3×30×20}{4}$平方米。
由图可知，中间未种花矩形的长为$(30-2x)$米，宽为$(20-x)$米，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=\frac{3×30×20}{4}$
【答案】
$(30-2x)(20-x)=\frac{3×30×20}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 等量关系列方程
【点评】
本题属于常见的面积类方程应用题，解题的关键是准确读取图形信息，正确表示出内部矩形的长和宽，理清不同区域面积的数量关系，避免漏减花带宽度的错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=60°,E是BC边的中点,P是对角线BD上的动点,连结EP,CP,则EP+CP的最小值为________.
答案
10.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 利用菱形的轴对称性转化线段：菱形的对角线BD为其对称轴，点C关于BD的对称点是点A，因此CP=AP，可将EP+CP转化为EP+AP；2. 根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，EP+AP的和最小，最小值为线段AE的长度；3. 结合菱形边长、∠B=60°以及E是BC中点的条件，计算AE的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴点A与点C关于BD对称，因此CP=AP，
则EP+CP=EP+AP。
根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，EP+AP取得最小值，最小值为线段AE的长度。
已知菱形边长为2，
∴AB=BC=2，
∵E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1。
过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=1，即点F与点E重合，AE⊥BC。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因此EP+CP的最小值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质应用的典型题型，解题核心是利用菱形的对称性将两条线段的和转化为共线时的线段长度，既考查了图形性质的应用，也考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
本题属于将军饮马类最短路径问题，解题思路如下：1. 利用菱形的轴对称性转化线段：菱形的对角线BD为其对称轴，点C关于BD的对称点是点A，因此CP=AP，可将EP+CP转化为EP+AP；2. 根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，EP+AP的和最小，最小值为线段AE的长度；3. 结合菱形边长、∠B=60°以及E是BC中点的条件，计算AE的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴点A与点C关于BD对称，因此CP=AP，
则EP+CP=EP+AP。
根据两点之间线段最短，当A、P、E三点共线时，EP+AP取得最小值，最小值为线段AE的长度。
已知菱形边长为2，
∴AB=BC=2，
∵E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1。
过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=1，即点F与点E重合，AE⊥BC。
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因此EP+CP的最小值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质应用的典型题型，解题核心是利用菱形的对称性将两条线段的和转化为共线时的线段长度，既考查了图形性质的应用，也考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
