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1. 若一个三角形的两边长分别为4和8,则第三边长可能是(
A.14
B.10
C.3
D.2
B
).A.14
B.10
C.3
D.2
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，根据三边关系列出不等式求出x的取值范围，再对照选项找出符合取值范围的答案即可。
【解析】
设该三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$ 8 - 4 ＜ x ＜ 8 + 4 $
计算得：$ 4 ＜ x ＜ 12 $
逐一分析选项：
A. $ 14＞12 $，不符合取值范围，错误；
B. $ 4＜10＜12 $，符合取值范围，正确；
C. $ 3＜4 $，不符合取值范围，错误；
D. $ 2＜4 $，不符合取值范围，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的应用，解题关键是先求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握三边关系是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，根据三边关系列出不等式求出x的取值范围，再对照选项找出符合取值范围的答案即可。
【解析】
设该三角形的第三边长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$ 8 - 4 ＜ x ＜ 8 + 4 $
计算得：$ 4 ＜ x ＜ 12 $
逐一分析选项：
A. $ 14＞12 $，不符合取值范围，错误；
B. $ 4＜10＜12 $，符合取值范围，正确；
C. $ 3＜4 $，不符合取值范围，错误；
D. $ 2＜4 $，不符合取值范围，错误。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的应用，解题关键是先求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握三边关系是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 若化简$\sqrt{x^2 - 8x + 16} - |1 - x|$的结果为$5 - 2x$，则$x$的取值范围是（
A.为任意实数
B.$1≤ x≤ 4$
C.$x≥ 1$
D.$x≤ 4$
B
）.A.为任意实数
B.$1≤ x≤ 4$
C.$x≥ 1$
D.$x≤ 4$
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察根号内的多项式，可将其转化为完全平方形式，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，把原式化简为两个绝对值相减的形式；再结合绝对值的化简规则（非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数），根据已知的化简结果反推每个绝对值去符号时需要满足的条件，联立条件即可得到x的取值范围。
【解析】
第一步：化简二次根式
$\sqrt{x^2 - 8x + 16}=\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$，因此原式可转化为：$|x-4| - |1-x|$
第二步：根据化简结果反推绝对值去号条件
已知化简结果为$5-2x$，分别分析两个绝对值的去号情况：
1. 要使$|x-4|$去绝对值后得到$4-x$，需满足$x-4≤0$，解得$x≤4$；
2. 要使$|1-x|$去绝对值后得到$x-1$，需满足$1-x≤0$，即$x≥1$。
第三步：验证取值范围
当$1≤ x≤4$时，代入原式计算：
$|x-4| - |1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$，与已知结果一致。
若$x＜1$，原式化简为$(4-x)-(1-x)=3$，不符合结果；若$x＞4$，原式化简为$(x-4)-(x-1)=-3$，也不符合结果，因此x的取值范围是$1≤ x≤4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题核心是将二次根式的化简与绝对值的性质结合考察，解题的关键是先利用二次根式的性质把根式转化为绝对值形式，再根据化简结果反向推导绝对值去符号的限制条件，解题时可通过分类讨论绝对值零点的方式排除不符合的取值范围，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察根号内的多项式，可将其转化为完全平方形式，利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，把原式化简为两个绝对值相减的形式；再结合绝对值的化简规则（非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数），根据已知的化简结果反推每个绝对值去符号时需要满足的条件，联立条件即可得到x的取值范围。
【解析】
第一步：化简二次根式
$\sqrt{x^2 - 8x + 16}=\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$，因此原式可转化为：$|x-4| - |1-x|$
第二步：根据化简结果反推绝对值去号条件
已知化简结果为$5-2x$，分别分析两个绝对值的去号情况：
1. 要使$|x-4|$去绝对值后得到$4-x$，需满足$x-4≤0$，解得$x≤4$；
2. 要使$|1-x|$去绝对值后得到$x-1$，需满足$1-x≤0$，即$x≥1$。
第三步：验证取值范围
当$1≤ x≤4$时，代入原式计算：
$|x-4| - |1-x|=(4-x)-(x-1)=4-x-x+1=5-2x$，与已知结果一致。
若$x＜1$，原式化简为$(4-x)-(1-x)=3$，不符合结果；若$x＞4$，原式化简为$(x-4)-(x-1)=-3$，也不符合结果，因此x的取值范围是$1≤ x≤4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题核心是将二次根式的化简与绝对值的性质结合考察，解题的关键是先利用二次根式的性质把根式转化为绝对值形式，再根据化简结果反向推导绝对值去符号的限制条件，解题时可通过分类讨论绝对值零点的方式排除不符合的取值范围，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 有下列说法:①若$a＞b$,则$a-2＞b-2$; ②如果$a// b,b// c$,那么$a// c$;③当$x$为任意有理数时,$x^2-2x+2$的值一定大于1; ④方程$x+3y=7$有无数个整数解.其中正确的命题有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】本题需要逐一判断4个命题的正误，结合对应知识点逐个验证：①用不等式的基本性质判断；②用平行公理的推论判断；③用配方法结合平方的非负性判断代数式的取值范围；④根据二元一次方程解的特点判断整数解的数量，最后统计正确命题的个数即可得到答案。
【解析】我们逐个分析每个说法：
1. 分析说法①：根据不等式的性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变。已知$a＞b$，两边同时减2，可得$a-2＞b-2$，故①正确。
2. 分析说法②：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a// b$，$b// c$，那么$a// c$，故②正确。
3. 分析说法③：对代数式配方得$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$，根据平方的非负性，$(x-1)^2≥0$，因此$(x-1)^2+1≥1$，当$x=1$时，代数式的值等于1，并非一定大于1，故③错误。
4. 分析说法④：方程$x+3y=7$可变形为$x=7-3y$，当$y$取任意整数时，$x=7-3y$也为整数，因此该方程有无数个整数解，故④正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质；平行公理推论；二元一次方程的解
【点评】本题综合考查多个基础知识点，需要熟练掌握各模块的基础概念和性质，判断命题时要注意特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析每个说法：
1. 分析说法①：根据不等式的性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变。已知$a＞b$，两边同时减2，可得$a-2＞b-2$，故①正确。
2. 分析说法②：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a// b$，$b// c$，那么$a// c$，故②正确。
3. 分析说法③：对代数式配方得$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$，根据平方的非负性，$(x-1)^2≥0$，因此$(x-1)^2+1≥1$，当$x=1$时，代数式的值等于1，并非一定大于1，故③错误。
4. 分析说法④：方程$x+3y=7$可变形为$x=7-3y$，当$y$取任意整数时，$x=7-3y$也为整数，因此该方程有无数个整数解，故④正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】C
【知识点】不等式的基本性质；平行公理推论；二元一次方程的解
【点评】本题综合考查多个基础知识点，需要熟练掌握各模块的基础概念和性质，判断命题时要注意特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】0.7
4. 如图,正方形网格中,每个正方形的边长为1,则在网格上的$△ ABC$中,边长为无理数的边数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4.C
解析
【分析】
要判断△ABC中边长为无理数的边数，首先要利用勾股定理分别计算出三角形三边的长度，再根据无理数的定义判断每条边是否为无理数，最后统计符合条件的边数即可。解题时先确定每条边作为斜边对应的水平、竖直方向的格数（即直角三角形的两条直角边长度），再代入勾股定理计算边长，最后判断是否为无理数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三边长度：
1. 计算AB的长度：A到B的水平距离为5，竖直距离为1，因此
$AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$，$\sqrt{26}$是开方开不尽的数，属于无理数；
2. 计算BC的长度：B到C的水平距离为2，竖直距离为3，因此
$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是开方开不尽的数，属于无理数；
3. 计算AC的长度：A到C的水平距离为3，竖直距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数。
综上，边长为无理数的边共有2条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的概念
【点评】
本题结合网格背景考察线段长度的计算和无理数的判断，解题关键是准确找到每条边对应的直角边长度，正确运用勾股定理计算后结合无理数定义判断即可。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC中边长为无理数的边数，首先要利用勾股定理分别计算出三角形三边的长度，再根据无理数的定义判断每条边是否为无理数，最后统计符合条件的边数即可。解题时先确定每条边作为斜边对应的水平、竖直方向的格数（即直角三角形的两条直角边长度），再代入勾股定理计算边长，最后判断是否为无理数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三边长度：
1. 计算AB的长度：A到B的水平距离为5，竖直距离为1，因此
$AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$，$\sqrt{26}$是开方开不尽的数，属于无理数；
2. 计算BC的长度：B到C的水平距离为2，竖直距离为3，因此
$BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是开方开不尽的数，属于无理数；
3. 计算AC的长度：A到C的水平距离为3，竖直距离为4，因此
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数。
综上，边长为无理数的边共有2条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的概念
【点评】
本题结合网格背景考察线段长度的计算和无理数的判断，解题关键是准确找到每条边对应的直角边长度，正确运用勾股定理计算后结合无理数定义判断即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知四边形$ABCD$是平行四边形.
(1) 作图,作$∠ A$的平分线$AE$,交$CD$于点$E$.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2) 在(1)的条件下,判断$AD$与$DE$的大小关系,并说明理由.
(1) 作图,作$∠ A$的平分线$AE$,交$CD$于点$E$.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2) 在(1)的条件下,判断$AD$与$DE$的大小关系,并说明理由.
答案
5.(1)略 (2)$AD=DE$,理由略
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作角平分线，按照角平分线的尺规作图步骤操作即可：以点A为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AD、AB于两个点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAB内部的交点和点A连接得到射线，与CD交于点E即可。
(2) 第二问判断线段相等，可先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义得到△ADE中两个内角相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到两条线段的关系。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法作出射线AE，交CD于点E，保留作图痕迹即可，作图过程略。
(2) $AD=DE$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AB// CD$
∴ $∠ BAE=∠ DEA$（两直线平行，内错角相等）
∵ $AE$平分$∠ DAB$
∴ $∠ DAE=∠ BAE$
∴ $∠ DAE=∠ DEA$
∴ $△ ADE$是等腰三角形
∴ $AD=DE$（等角对等边）
【答案】
(1) 略；(2) $AD=DE$，理由略
【知识点】
尺规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础综合题，既考查了基本的尺规作图技能，又需要结合平行四边形和等腰三角形的性质进行推导，核心是通过角的等量代换得到等角，进而证明线段相等。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为尺规作角平分线，按照角平分线的尺规作图步骤操作即可：以点A为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AD、AB于两个点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAB内部的交点和点A连接得到射线，与CD交于点E即可。
(2) 第二问判断线段相等，可先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义得到△ADE中两个内角相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到两条线段的关系。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法作出射线AE，交CD于点E，保留作图痕迹即可，作图过程略。
(2) $AD=DE$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AB// CD$
∴ $∠ BAE=∠ DEA$（两直线平行，内错角相等）
∵ $AE$平分$∠ DAB$
∴ $∠ DAE=∠ BAE$
∴ $∠ DAE=∠ DEA$
∴ $△ ADE$是等腰三角形
∴ $AD=DE$（等角对等边）
【答案】
(1) 略；(2) $AD=DE$，理由略
【知识点】
尺规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础综合题，既考查了基本的尺规作图技能，又需要结合平行四边形和等腰三角形的性质进行推导，核心是通过角的等量代换得到等角，进而证明线段相等。
【难度系数】
0.8
6. 解方程：
(1) $x^2 + 4x = 0$
(2) $2(x^2 - 1) = x(5 - x)$
(1) $x^2 + 4x = 0$
(2) $2(x^2 - 1) = x(5 - x)$
答案
6.(1)$x_1=0,x_2=-4$ (2)$x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$
解析
【分析】
这两道题均为一元二次方程求解问题，解题思路如下：
(1) 观察第一个方程，左边仅含二次项和一次项，无常数项，优先选用提公因式的因式分解法求解：先提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，转化为两个一元一次方程分别求解即可。
(2) 第二个方程不是一元二次方程的标准形式，需先化简：先去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项得到标准一元二次方程，再通过十字相乘法因式分解，同理转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 0$
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x + 4) = 0$
根据因式的性质可得：$x=0$ 或 $x+4=0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 解方程$2(x^2 - 1) = x(5 - x)$
第一步去括号，得：
$2x^2 - 2 = 5x - x^2$
移项，将右侧所有项移到左侧，得：
$2x^2 - 2 -5x +x^2 =0$
合并同类项，整理为标准一元二次方程形式：
$3x^2 -5x -2 =0$
对左侧十字相乘因式分解，得：
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
根据因式的性质可得：$3x+1=0$ 或 $x-2=0$
分别解得：$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=2$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-4$ (2)$x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 整式化简运算
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考察因式分解法解方程的应用能力，以及整式化简的运算熟练度，掌握提公因式、十字相乘等因式分解方法可快速求解该类题目。
【难度系数】
0.85
这两道题均为一元二次方程求解问题，解题思路如下：
(1) 观察第一个方程，左边仅含二次项和一次项，无常数项，优先选用提公因式的因式分解法求解：先提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，转化为两个一元一次方程分别求解即可。
(2) 第二个方程不是一元二次方程的标准形式，需先化简：先去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项得到标准一元二次方程，再通过十字相乘法因式分解，同理转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 0$
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x + 4) = 0$
根据因式的性质可得：$x=0$ 或 $x+4=0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 解方程$2(x^2 - 1) = x(5 - x)$
第一步去括号，得：
$2x^2 - 2 = 5x - x^2$
移项，将右侧所有项移到左侧，得：
$2x^2 - 2 -5x +x^2 =0$
合并同类项，整理为标准一元二次方程形式：
$3x^2 -5x -2 =0$
对左侧十字相乘因式分解，得：
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
根据因式的性质可得：$3x+1=0$ 或 $x-2=0$
分别解得：$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=2$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-4$ (2)$x_1=-\frac{1}{3},x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 整式化简运算
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考察因式分解法解方程的应用能力，以及整式化简的运算熟练度，掌握提公因式、十字相乘等因式分解方法可快速求解该类题目。
【难度系数】
0.85
