17.项目式学习.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品,代表着团圆友善、吉祥如意.小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物,这把团扇的扇面面积为$100π\ \mathrm{cm}^2$
素材2 小志设计了一个底面积为$220\ \mathrm{cm}^2$,长、宽、高的比为$2:1:3$的长方体纸盒包装团扇
任务 (1)根据素材1,该圆形团扇的半径为$\mathrm{cm}$;
(2)根据素材2,求出该长方体盒子的长;
(3)如果只考虑团扇的扇面,这个长方体盒子能装得下这面团扇吗?请说明理由

17.(1)10
(2)解:设长方体盒子的长为$2x\ \mathrm{cm}$,则宽为$x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore 2x· x=220.\therefore x^2=110.$
$\because x＞0,\therefore x=\sqrt{110}.\therefore 2x=2\sqrt{110}.$
$\therefore$长方体盒子的长为$2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}$.
(3)解:这个长方体盒子能装得下这面团扇.理由如下:
由(1),知该团扇的半径为$10\ \mathrm{cm}$,$\therefore$团扇的直径为$20\ \mathrm{cm}$.
$\because 110＞100,\therefore \sqrt{110}＞10.\therefore 2\sqrt{110}＞20.$ $\therefore$这个长方体盒子能装得下这面团扇.

【分析】
(1) 求解团扇半径可利用圆的面积公式，已知圆形扇面的面积，将数值代入公式$S=π r^2$，取正数解即可得到半径。
(2) 已知长方体长宽的比例和底面积，可通过设比例系数的方法，根据“底面积=长×宽”列方程求解，先求出比例系数，再计算长的数值。
(3) 判断能否装下团扇，需先求出团扇的直径，再将直径和长方体的长比较，若长方体的长大于团扇直径，即可装下。
【解析】
(1) 设团扇的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式可得：
$π r^2=100π$，两边同时除以$π$得$r^2=100$，
因为半径为正数，即$r＞0$，所以$r=\sqrt{100}=10$。
(2) 设长方体盒子的宽为$x\ \mathrm{cm}$，由长宽比为$2:1$可得长为$2x\ \mathrm{cm}$，
根据底面积公式列方程：$2x · x=220$，
整理得$x^2=110$，
因为边长为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{110}$，
因此长方体的长为$2x=2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}$。
(3) 这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
由(1)可知团扇的半径为$10\ \mathrm{cm}$，所以团扇的直径为$2×10=20\ \mathrm{cm}$，
因为$110＞100$，所以$\sqrt{110}＞\sqrt{100}=10$，
由此可得$2\sqrt{110}＞2×10=20$，即长方体的长大于团扇的直径，所以可以装下。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) 长方体盒子的长为$\boxed{2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}}$
(3) 能装下，理由见解析。
【知识点】
圆的面积计算，列方程解应用题，实数大小比较
【点评】
本题结合生活中的实际包装问题考查基础数学知识的应用，解题关键是熟练掌握圆的面积公式、利用比例设未知数列方程的方法，以及实数比较大小的技巧，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7