10. 如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形, $∠ B=90°$,连接OC,过圆心O作$OH // CD$交AD于点H.若$OC=\sqrt{2},AD=2$,则$OH=$.

10.1

【分析】
解题时先从已知条件入手：①圆内接四边形中∠B=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AC是⊙O的直径，进而得到∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角）；②已知OC是半径，可求出直径AC的长度，在Rt△ADC中结合AD的长度用勾股定理算出CD的长度；③O是AC中点，且OH//CD，可判定OH是△ACD的中位线，根据中位线性质即可求出OH的长度。
【解析】
1. 判定AC为直径：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，
∴ 90°的圆周角所对的弦是直径，即AC是⊙O的直径，
∴ AC=2OC=2√2，且直径所对的圆周角为直角，故∠ADC=90°。
2. 计算CD的长度：
在Rt△ADC中，AD=2，AC=2√2，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$。
3. 利用中位线定理求OH：
∵ O是AC的中点（圆心为直径的中点），且OH//CD，
∴ OH是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
∴ $OH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础综合题，解题的突破口是利用90°圆周角判断出直径，再结合中位线性质快速求解，解题时要注意串联圆和三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

11.[一题多解题]如图,点A,B,C在$\odot O$上,$CA⊥ BD$,$BA⊥ CE$,垂足分别为点D,E,延长BD,CE交于点F.若$∠ BFC=50°$,则$∠ BOC$的度数为.

11.$100°$

【分析】
解题可按以下思路进行：第一步，先看已知的两个垂直条件，可知四边形ADFE有两个内角为直角，结合四边形内角和为360°，就能求出∠DAE的度数；第二步，∠DAE和∠BAC是对顶角，二者相等，由此得到圆周角∠BAC的度数；第三步，∠BAC是优弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理先求出优弧BC的度数，再计算劣弧BC对应的圆心角∠BOC即可。
【解析】
解：
∵$CA⊥BD$，$BA⊥CE$，
∴$∠ ADF=∠ AEF=90°$，
∵四边形ADFE的内角和为$360°$，
∴$∠ DAE=360°-∠ ADF-∠ AEF-∠ BFC=360°-90°-90°-50°=130°$，
∵$∠ BAC$与$∠ DAE$是对顶角，
∴$∠ BAC=∠ DAE=130°$，
$∠ BAC$是$\odot O$中优弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
∴优弧BC的度数为$2×130°=260°$，
∴劣弧BC的度数为$360°-260°=100°$，
∵$∠ BOC$是劣弧BC所对的圆心角，
∴$∠ BOC=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理、对顶角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，需要学生熟练掌握四边形内角和、对顶角性质以及圆周角定理，解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧，避免混淆弧和角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7

12. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径,CA平分$∠ BCD$.
(1)若$BC=5$,$CD=12$,求AB的长;
(2)把$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ADE$,求证:$BC+CD=\sqrt{2}AC$.

12. (1)$AB=\dfrac{13\sqrt{2}}{2}$
(2)由旋转的性质,得$∠ CAE = ∠ BAD = 90°, AC=AE$,
$BC=DE,∠ ABC=∠ ADE$.
$\because ∠ ABC+∠ ADC=180°,\therefore ∠ ADE+∠ ADC=180°$,
$\therefore$点$E$在$CD$的延长线上,
$\therefore △ ACE$为等腰直角三角形,$\therefore CE=\sqrt{2}AC$,
而$CE=CD+DE=CD+BC,\therefore BC+CD=\sqrt{2}AC$.

【分析】
(1) 解题思路：首先利用“直径所对的圆周角为直角”，可得△BCD和△BAD都是直角三角形；先在Rt△BCD中用勾股定理求出BD的长度；再根据角平分线的定义得到相等的圆周角，由圆周角定理的推论推出弧AB=弧AD，即AB=AD，可知△BAD是等腰直角三角形，最后结合等腰直角三角形的边长关系计算AB的长度即可。
(2) 解题思路：首先根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等；再结合圆内接四边形对角互补的性质，推导得出∠ADE+∠ADC=180°，证明C、D、E三点共线，即可将BC转化为DE，得到CE=BC+CD；最后证明△ACE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边与直角边的数量关系即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△BCD中，BC=5，CD=12，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
根据“相等的圆周角所对的弧相等”，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴AB=AD，即△BAD为等腰直角三角形。
∴$AB=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{13}{\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$。
(2) 证明：
由旋转的性质可得：∠CAE=90°，AC=AE，BC=DE，∠ABC=∠ADE。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ADE+∠ADC=180°，
∴点C、D、E三点共线，即点E在CD的延长线上，
∴$CE=CD+DE=CD+BC$。
又
∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
由勾股定理得$CE=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{2}AC$，
∴$BC+CD=\sqrt{2}AC$。
【答案】
(1) $AB=\dfrac{13\sqrt{2}}{2}$；(2) 证明见解析。
【知识点】
圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质、旋转的性质
【点评】
本题是圆与几何变换结合的基础综合题，侧重考查对核心性质的理解与运用，第二问证明三点共线是解题的关键，能够有效锻炼逻辑推理和线段转化的能力。
【难度系数】
0.65

13. [2024·合肥庐阳区三模]如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,$AB=AD$,对角线AC,BD相交于点E,F为AC上一点,$∠ BFC=∠ BAD$.
(1)求证:$∠ ABF=∠ CBD$;
(2)若$∠ BFC=2∠ CFD$,求$\frac{AF}{AC}$的值.

13. (1) $\because ∠ BFC = ∠ BAC + ∠ ABF, ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD,∠ BFC=∠ BAD,\therefore ∠ ABF=∠ CAD$.
$\because ∠ CAD=∠ CBD,\therefore ∠ ABF=∠ CBD$.
(2)过点$F$作$FG⊥ BC$于点$G$.
$\because AB=AD,\therefore ∠ ABD=∠ ADB$.
又$\because ∠ ACB=∠ ADB,\therefore ∠ ABD=∠ ACB$,
由(1)可知$∠ ABF=∠ CBD$,
$\therefore ∠ ABF+∠ DBF=∠ CBD+∠ DBF$,
即$∠ ABD=∠ CBF,\therefore ∠ ACB=∠ CBF,\therefore BF=CF$.
$\because FG⊥ BC,\therefore ∠ BFC=2∠ CFG,BC=2CG$.
$\because ∠ BFC=2∠ CFD,\therefore ∠ CFG=∠ CFD$.
$\because AB=AD,\therefore ∠ ACB=∠ ACD$. 又$\because CF=CF$,
$\therefore △ CFG≌△ CFD(\mathrm{ASA}),\therefore CG=CD$.
$\therefore BC=2CD$,即$CD:BC=1:2$.
$\because ∠ ABF=∠ CBD,∠ BAF=∠ BDC,\therefore △ BAF∽△ BDC$,
$\therefore \dfrac{AF}{DC}=\dfrac{BF}{BC},即\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{1}{2}.\therefore BF=2AF$.
$\because BF=CF,\therefore CF=2AF$,
$\therefore AC=AF+CF=3AF,\therefore \dfrac{AF}{AC}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
(1) 要证$∠ ABF=∠ CBD$，可通过中间等量角过渡：首先利用三角形外角性质将$∠ BFC$拆分为$∠ BAC+∠ ABF$，将$∠ BAD$拆分为$∠ BAC+∠ CAD$，结合已知$∠ BFC=∠ BAD$消去公共角$∠ BAC$，可得$∠ ABF=∠ CAD$；再根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ CAD=∠ CBD$，等量代换即可得证。
(2) 要求$\frac{AF}{AC}$的值，需先推导AF、CF的数量关系：首先由$AB=AD$得对应圆周角相等，结合(1)的结论推出$∠ CBF=∠ ACB$，即$BF=CF$；针对$∠ BFC=2∠ CFD$的两倍角关系，过F作$FG⊥ BC$，利用等腰三角形三线合一得$∠ BFC=2∠ CFG$，进而得$∠ CFG=∠ CFD$；再结合$AB=AD$推出$∠ ACB=∠ ACD$，证明$△ CFG≌△ CFD$得到$BC=2CD$；最后证明$△ BAF∽△ BDC$，通过相似比得到$BF=2AF$，结合$BF=CF$即可推出$AC=3AF$，得到所求比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BFC$是$△ ABF$的外角，$\therefore ∠ BFC = ∠ BAC + ∠ ABF$，
又$\because ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD$，且$∠ BFC=∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ ABF = ∠ BAC + ∠ CAD$，
消去$∠ BAC$得：$∠ ABF=∠ CAD$。
∵ $∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧CD所对的圆周角，$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，
$\therefore ∠ ABF=∠ CBD$。
(2) 解：过点$F$作$FG⊥ BC$于点$G$。
∵ $AB=AD$，
∴ 弧AB=弧AD，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
又
∵ $∠ ACB$和$∠ ADB$都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ACB$。
由(1)可知$∠ ABF=∠ CBD$，
$\therefore ∠ ABF+∠ DBF=∠ CBD+∠ DBF$，即$∠ ABD=∠ CBF$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CBF$，$\therefore BF=CF$。
∵ $FG⊥ BC$，$△ BFC$为等腰三角形，由三线合一得：
$∠ BFC=2∠ CFG$，$BC=2CG$。
∵ $∠ BFC=2∠ CFD$，$\therefore ∠ CFG=∠ CFD$。
∵ 弧AB=弧AD，
∴ 两段弧所对的圆周角$∠ ACB=∠ ACD$。
在$△ CFG$和$△ CFD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CFG=∠ CFD \\CF=CF \\∠ FCG=∠ FCD\end{array} $
$\therefore △ CFG≌△ CFD(\mathrm{ASA})$，$\therefore CG=CD$。
$\therefore BC=2CG=2CD$，即$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $∠ BAF$和$∠ BDC$都是弧BC所对的圆周角，$\therefore ∠ BAF=∠ BDC$，
又$\because ∠ ABF=∠ CBD$，$\therefore △ BAF∽△ BDC$。
$\therefore \frac{AF}{DC}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{AF}{BF}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$，$\therefore BF=2AF$。
∵ $BF=CF$，$\therefore CF=2AF$，
$\therefore AC=AF+CF=AF+2AF=3AF$，
$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合题，将圆的基本性质与全等、相似的知识结合考查，解题的关键是合理利用角的和差关系、等腰三角形三线合一的性质构造全等与相似，通过等量代换得到线段的比例关系，侧重考查逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6