5.如图,以射线BA为边的角有个,分别是;以D为顶点,DC为一边的角有个,分别是。(所填的角均指小于平角的角。)

2 ∠ABE和∠ABC 2 ∠CDE和∠CDB

【分析】
解决这类数角的问题，首先要结合角的定义思考：角是由有公共顶点的两条射线组成的图形，计数时先锁定题目要求的固定顶点或固定边，再有序寻找另一条边，做到不重不漏，同时注意题目限定只统计小于平角的角。
第一步找以BA为边的角：公共顶点是B，除BA外，从点B出发的射线还有BE、BC，分别和BA组合就能得到符合要求的角；
第二步找以D为顶点、DC为一边的角：公共顶点是D，固定边是DC，从点D出发的射线除DC外还有DE、DB，分别和DC组合即可得到符合要求的角。
【解析】
1. 统计以射线BA为边的角：
角的顶点为点B，与BA共顶点B的射线有BE、BC，二者与BA组成的小于平角的角为∠ABE（边为BA、BE）、∠ABC（边为BA、BC），共2个。
2. 统计以D为顶点，DC为一边的角：
角的顶点为点D，与DC共顶点D的射线有DE、DB，二者与DC组成的小于平角的角为∠CDE（边为DC、DE）、∠CDB（边为DC、DB），共2个。
【答案】
2；∠ABE和∠ABC；2；∠CDE和∠CDB
【知识点】
角的定义；角的表示
【点评】
本题属于基础的角的识别类题目，解题核心是先确定固定顶点和已知边，再按顺序枚举另一条边，计数时要注意排除大于等于平角的角，避免出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.85

6.如图,在线段AB上有5个点,点C为线段AB外一点,连接点C和线段AB上给出的各个点。
(1)图中有多少条线段?
(2)以点C为顶点的角有多少个?

(1)在线段AB之间增加5个点，则线段AB上共有5+2=7(个点)，
因为任意两点都能组成一条线段，
所以一共有$7+6+5+4+3+2+1=\frac{(7+1)×7}{2}=28$(条)。
答:共有28条线段。
(2)线段AB上任意两点都能和点C构成一个以C为顶点的角，
因为C与7个点分别连接得到7条线段，
所以以C为顶点的角共有$\frac{(1+6)×6}{2}=21$(个)。

【分析】
(1) 计算线段总数时可分类思考：一类是端点包含点C的线段，另一类是两个端点都在线段AB上的线段。首先先确定AB上的总点数：AB原本有A、B2个端点，加上中间的5个点，共7个点，C连接这7个点可得到7条线段；再计算AB上的线段数，n个点中每两个点确定1条线段，线段总数为从n-1开始依次累加至1，最后将两类线段数量相加即可。
(2) 计算以C为顶点的角时，角由有公共端点的两条射线组成，公共端点为C，从C出发共有7条指向AB上各点的射线，每两条射线可组成1个角，和线段计数逻辑一致，用累加的方法计算总数即可。
【解析】
(1) 线段AB上的总点数：2+5=7（个）
① 端点包含C的线段：C连接AB上7个点，共7条；
② 端点都在AB上的线段：6+5+4+3+2+1=21（条）
总线段数：7+21=28（条）
(2) 从C出发共有7条射线，每两条射线组成1个以C为顶点的角，总个数为：
6+5+4+3+2+1=21（个）
【答案】
(1) 共有28条线段；(2) 以点C为顶点的角有21个。
【知识点】
线段的计数；角的计数
【点评】
本题属于基础几何计数类题目，解题核心是掌握有序计数的方法，避免重复或遗漏，熟练掌握共线点的线段计数、共端点射线的角计数的累加规律，可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

7.观察图形,解答下列问题:
（1）如图①，$∠ AOB$ 内部有一条射线$OC$，图中有哪几个角？
（2）如图②，$∠ AOB$ 内部有两条射线$OC,OD$，图中有哪几个角？
（3）如果$∠ AOB$ 内部有10条射线，那么图中共有多少个角？

(1)3个 分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC。
(2)6
(3)$1+2+3+\dots+11=\frac{11×(1+11)}{2}=66$(个)。

【分析】
数角时可以固定一条边为起始边，按同一方向依次匹配另一条边，能有效避免重复计数和漏算。前两问可直接按顺序枚举计数；第三问先通过前两问的结果总结规律：∠AOB内部有1条射线时，总共有3条射线，角的个数为2+1=3；内部有2条射线时，总共有4条射线，角的个数为3+2+1=6；由此可推导，若内部有n条射线，加上OA、OB共(n+2)条射线，角的总个数就是从1加到(n+1)的和，用等差数列求和公式即可快速计算。
【解析】
（1）按顺序计数：以OA为起始边，能得到∠AOC、∠AOB；以OC为起始边，能得到∠BOC，共3个角。
（2）按顺序计数：以OA为起始边，能得到∠AOC、∠AOD、∠AOB；以OC为起始边，能得到∠COD、∠COB；以OD为起始边，能得到∠DOB，总个数为$3+2+1=6$个。
（3）当∠AOB内部有10条射线时，加上OA、OB共12条射线，角的总个数为从1到11的和：
$1+2+3+\dots+11=\frac{11×(1+11)}{2}=66$（个）
【答案】
(1)3个，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC；
(2)6个；
(3)66个。
【知识点】
角的计数；规律探究；等差数列求和
【点评】
本题考查角的计数方法，解题的关键是掌握有序计数的技巧避免错漏，同时要学会从简单的案例中总结通用规律，用规律解决更复杂的同类问题。
【难度系数】
0.7