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1. 小亮在做“计算$(5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2)+(x^3 + 3xy^2 + y^3)-(6x^3 - x^2 y^2 + 2y^2)$的值，其中$x=2,y=-1$”这道题时，把“$x=2$”错看成“$x=-2$”，但他计算的结果却是正确的。请说明其原因。
答案
解:原式=$5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2 + x^3 + 3xy^2 + y^3 - 6x^3 + x^2 y^2 - 2y^2=2x^4 y + y^3 + x^2 y^2 - 2y^2$.
∵化简结果中只含有x的偶次项,且2和−2互为相反数,
∴x=2和x=−2的计算结果相同.
∴他计算的结果也是正确的.
∵化简结果中只含有x的偶次项,且2和−2互为相反数,
∴x=2和x=−2的计算结果相同.
∴他计算的结果也是正确的.
解析
【分析】
遇到“看错字母取值但计算结果正确”的整式求值问题，核心思路是先对整式化简，观察化简后式子的特征：若化简后不含该字母，或该字母仅出现偶次项，就会出现取值看错但结果不变的情况。本题我们先按整式加减的规则对原式去括号、合并同类项，再观察化简结果中x的次数特征，结合相反数的偶次幂相等的性质就能解释原因。
【解析】
第一步：对原式去括号，注意括号前为减号时，括号内各项要变号：
$\begin{aligned}&(5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2)+(x^3 + 3xy^2 + y^3)-(6x^3 - x^2 y^2 + 2y^2)\\=&5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2 + x^3 + 3xy^2 + y^3 - 6x^3 + x^2 y^2 - 2y^2\end{aligned}$
第二步：合并同类项，将同类项的系数相加，字母和指数不变：
$5x^3+x^3-6x^3=0$，$-3xy^2+3xy^2=0$，因此化简后得：
$2x^4 y + y^3 + x^2 y^2 - 2y^2$
第三步：分析化简结果的特征：化简后x的次数为4和2，均为偶次，根据乘方的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=2$和$x=-2$代入时，$x^4$、$x^2$的计算结果完全相同，整个式子的最终计算结果也相同。
【答案】
原式化简后为$2x^4 y + y^3 + x^2 y^2 - 2y^2$，化简结果中只含有x的偶次项，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=2$和$x=-2$的计算结果相同，所以小亮看错x的值后计算结果依然正确。
【知识点】
整式的加减运算，偶次幂的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简说理类的典型题型，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，通过化简结果的特征结合乘方性质解释现象，能很好地考查整式运算的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
遇到“看错字母取值但计算结果正确”的整式求值问题，核心思路是先对整式化简，观察化简后式子的特征：若化简后不含该字母，或该字母仅出现偶次项，就会出现取值看错但结果不变的情况。本题我们先按整式加减的规则对原式去括号、合并同类项，再观察化简结果中x的次数特征，结合相反数的偶次幂相等的性质就能解释原因。
【解析】
第一步：对原式去括号，注意括号前为减号时，括号内各项要变号：
$\begin{aligned}&(5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2)+(x^3 + 3xy^2 + y^3)-(6x^3 - x^2 y^2 + 2y^2)\\=&5x^3 + 2x^4 y - 3xy^2 + x^3 + 3xy^2 + y^3 - 6x^3 + x^2 y^2 - 2y^2\end{aligned}$
第二步：合并同类项，将同类项的系数相加，字母和指数不变：
$5x^3+x^3-6x^3=0$，$-3xy^2+3xy^2=0$，因此化简后得：
$2x^4 y + y^3 + x^2 y^2 - 2y^2$
第三步：分析化简结果的特征：化简后x的次数为4和2，均为偶次，根据乘方的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=2$和$x=-2$代入时，$x^4$、$x^2$的计算结果完全相同，整个式子的最终计算结果也相同。
【答案】
原式化简后为$2x^4 y + y^3 + x^2 y^2 - 2y^2$，化简结果中只含有x的偶次项，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$x=2$和$x=-2$的计算结果相同，所以小亮看错x的值后计算结果依然正确。
【知识点】
整式的加减运算，偶次幂的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简说理类的典型题型，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，通过化简结果的特征结合乘方性质解释现象，能很好地考查整式运算的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
2.在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
选择$a$的一个值，求$5a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a - 2a^3) - 2a + 2035$的值.
甲说：“当$a=0$时，原式$=2035$.”
乙说：“当$a=1$时，原式$=2035$.”
丙说：“当$a$为任何一个有理数时，原式$=2035$.”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由.
选择$a$的一个值，求$5a^3 - (a^2 - 3a + 3a^3) + (a^2 - a - 2a^3) - 2a + 2035$的值.
甲说：“当$a=0$时，原式$=2035$.”
乙说：“当$a=1$时，原式$=2035$.”
丙说：“当$a$为任何一个有理数时，原式$=2035$.”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由.
答案
解:这三位同学的说法正确.理由如下:原式=$5a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a - 2a^3 - 2a + 2035=2035$,故这三位同学的说法正确.
解析
【分析】
要判断三位同学的说法是否正确，首先应对所给整式进行化简。整式加减的核心步骤是去括号和合并同类项，先根据去括号法则去掉原式中的所有括号，再将同类项进行合并，观察化简后的结果是否含有字母a：若不含a，说明原式的值与a的取值无关，即可判断三位同学的说法是否成立。
【解析】
对原式先去括号（括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a - 2a^3 - 2a + 2035\\&=(5a^3 - 3a^3 - 2a^3) + (-a^2 + a^2) + (3a - a - 2a) + 2035\\&=0 + 0 + 0 + 2035\\&=2035\end{aligned}$
化简后结果为常数2035，与a的取值无关，因此无论a取0、1还是任意有理数，原式的值都是2035，三位同学的说法均正确。
【答案】
这三位同学的说法正确。原式化简后为$5a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a - 2a^3 - 2a + 2035=2035$，结果与a的取值无关，故无论a取何有理数，原式的值均为2035。
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式的加减
【点评】
本题是典型的整式化简说理题，解题时无需代入不同的a值逐一计算，先化简代数式再判断结果与字母取值的关系即可，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度和逻辑说理能力。
【难度系数】
0.8
要判断三位同学的说法是否正确，首先应对所给整式进行化简。整式加减的核心步骤是去括号和合并同类项，先根据去括号法则去掉原式中的所有括号，再将同类项进行合并，观察化简后的结果是否含有字母a：若不含a，说明原式的值与a的取值无关，即可判断三位同学的说法是否成立。
【解析】
对原式先去括号（括号前为负号时，括号内各项要变号），再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a - 2a^3 - 2a + 2035\\&=(5a^3 - 3a^3 - 2a^3) + (-a^2 + a^2) + (3a - a - 2a) + 2035\\&=0 + 0 + 0 + 2035\\&=2035\end{aligned}$
化简后结果为常数2035，与a的取值无关，因此无论a取0、1还是任意有理数，原式的值都是2035，三位同学的说法均正确。
【答案】
这三位同学的说法正确。原式化简后为$5a^3 - a^2 + 3a - 3a^3 + a^2 - a - 2a^3 - 2a + 2035=2035$，结果与a的取值无关，故无论a取何有理数，原式的值均为2035。
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式的加减
【点评】
本题是典型的整式化简说理题，解题时无需代入不同的a值逐一计算，先化简代数式再判断结果与字母取值的关系即可，能有效考查学生对整式运算法则的掌握程度和逻辑说理能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图1，这是某年11月的月历，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为A,B,C,D,E. 则这五个数的和能被5整除吗？为什么？
(1)甲同学设A=x，请通过计算得出结论.
(2)乙同学说自己设C=x更简单，请你也来试一试.
(3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：
代数式$A - 2B + 3C + 4D - 6E$的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.
(1)甲同学设A=x，请通过计算得出结论.
(2)乙同学说自己设C=x更简单，请你也来试一试.
(3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：
代数式$A - 2B + 3C + 4D - 6E$的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.
答案
解:(1)设A=x,则B=x+1,C=x+8,D=x+15,E=x+16.
∴A+B+C+D+E=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5(x+8).
∵5(x+8)是5的倍数,
∴5(x+8)能被5整除.
∴这五个数的和能被5整除.
(2)设C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x−7,A=x−8.
∴A+B+C+D+E=x−8+x−7+x+x+7+x+8=5x.
∵5x能被5整除,
∴这五个数的和能被5整除.
(3)设C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x−7,A=x−8.
∴A−2B+3C+4D−6E=x−8−2(x−7)+3x+4(x+7)−6(x+8)=x−8−2x+14+3x+4x+28−6x−48=−14.
∴代数式A−2B+3C+4D−6E的值是定值,为−14.
∴A+B+C+D+E=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5(x+8).
∵5(x+8)是5的倍数,
∴5(x+8)能被5整除.
∴这五个数的和能被5整除.
(2)设C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x−7,A=x−8.
∴A+B+C+D+E=x−8+x−7+x+x+7+x+8=5x.
∵5x能被5整除,
∴这五个数的和能被5整除.
(3)设C=x,则D=x+7,E=x+8,B=x−7,A=x−8.
∴A−2B+3C+4D−6E=x−8−2(x−7)+3x+4(x+7)−6(x+8)=x−8−2x+14+3x+4x+28−6x−48=−14.
∴代数式A−2B+3C+4D−6E的值是定值,为−14.
解析
【分析】
解决本题的核心是先掌握月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。
(1) 设A=x，根据“Z”字形各数的相对位置，依次用含x的代数式表示B、C、D、E，再计算五个数的和，判断和是否为5的倍数即可。
(2) 设中间的C=x，根据各数和C的位置关系，用含x的代数式表示其余四个数，求和时正负项可抵消，计算更简便，直接就能判断是否为5的倍数。
(3) 沿用设C=x的方式，将各数代入待求代数式，合并同类项化简，若最终结果为常数则是定值，反之则不是。
【解析】
(1) 设$A=x$，根据月历数字规律可得：$B=x+1$，$C=x+1+7=x+8$，$D=x+8+7=x+15$，$E=x+15+1=x+16$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)\\&=5x+40\\&=5(x+8)\end{aligned}$
因为$5(x+8)$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(2) 设$C=x$，根据位置关系可得：$B=x-7$，$A=x-7-1=x-8$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)\\&=5x\end{aligned}$
因为$5x$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(3) 代数式的值是定值，理由如下：
设$C=x$，则$A=x-8$，$B=x-7$，$D=x+7$，$E=x+8$，代入代数式得：
$\begin{aligned}A - 2B + 3C + 4D - 6E&=(x-8)-2(x-7)+3x+4(x+7)-6(x+8)\\&=x-8-2x+14+3x+4x+28-6x-48\\&=-14\end{aligned}$
化简后结果为常数-14，和x的取值无关，所以该代数式的值是定值。
【答案】
(1) 这五个数的和能被5整除；(2) 这五个数的和能被5整除；(3) 是定值，值为$\boldsymbol{-14}$。
【知识点】
月历数字规律，整式的加减运算，代数式定值判断
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查整式化简的应用，解题关键是找准月历中数字的排列规律，通过设未知数表示各数后代入计算即可，选择中间数作为未知数可大幅简化计算过程，体现了数学中的简便运算思想。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先掌握月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。
(1) 设A=x，根据“Z”字形各数的相对位置，依次用含x的代数式表示B、C、D、E，再计算五个数的和，判断和是否为5的倍数即可。
(2) 设中间的C=x，根据各数和C的位置关系，用含x的代数式表示其余四个数，求和时正负项可抵消，计算更简便，直接就能判断是否为5的倍数。
(3) 沿用设C=x的方式，将各数代入待求代数式，合并同类项化简，若最终结果为常数则是定值，反之则不是。
【解析】
(1) 设$A=x$，根据月历数字规律可得：$B=x+1$，$C=x+1+7=x+8$，$D=x+8+7=x+15$，$E=x+15+1=x+16$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)\\&=5x+40\\&=5(x+8)\end{aligned}$
因为$5(x+8)$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(2) 设$C=x$，根据位置关系可得：$B=x-7$，$A=x-7-1=x-8$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}A+B+C+D+E&=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)\\&=5x\end{aligned}$
因为$5x$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(3) 代数式的值是定值，理由如下：
设$C=x$，则$A=x-8$，$B=x-7$，$D=x+7$，$E=x+8$，代入代数式得：
$\begin{aligned}A - 2B + 3C + 4D - 6E&=(x-8)-2(x-7)+3x+4(x+7)-6(x+8)\\&=x-8-2x+14+3x+4x+28-6x-48\\&=-14\end{aligned}$
化简后结果为常数-14，和x的取值无关，所以该代数式的值是定值。
【答案】
(1) 这五个数的和能被5整除；(2) 这五个数的和能被5整除；(3) 是定值，值为$\boldsymbol{-14}$。
【知识点】
月历数字规律，整式的加减运算，代数式定值判断
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查整式化简的应用，解题关键是找准月历中数字的排列规律，通过设未知数表示各数后代入计算即可，选择中间数作为未知数可大幅简化计算过程，体现了数学中的简便运算思想。
【难度系数】
0.7
