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1.如图，这是某月的月历，用带阴影的方框恰好框住四个数.若这样的阴影方框可以任意移动，且框住这张月历表中的4个数，设a表示的数是x，则这4个数的和为
4x+14
.(用含x的代数式表示)答案
1. $4x+14$
解析
【分析】
解题时首先明确月历的数字排列规律：同一行的数从左到右依次相差1，同一列的数从上到下依次相差7。我们先根据a的值为x，结合四个数的位置关系分别表示出b、c、d，再将四个数相加化简，就能得到四个数的和的代数式。
【解析】
已知$a$表示的数是$x$，
根据月历数字排列规律：
1. $b$与$a$同一行，在$a$右侧，因此$b=x+1$；
2. $d$在$a$的正下方，因此$d=x+7$；
3. $c$与$d$同一行，在$d$左侧，因此$c=d-1=(x+7)-1=x+6$。
四个数的和为：
$\begin{aligned}a+b+c+d&=x+(x+1)+(x+6)+(x+7)\\&=4x+14\end{aligned}$
【答案】
$4x+14$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是掌握月历的数字排列特点，准确用含未知数的式子表示出框内的各个数，再通过整式加减化简得到结果，能有效考查学生观察、归纳数字规律的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确月历的数字排列规律：同一行的数从左到右依次相差1，同一列的数从上到下依次相差7。我们先根据a的值为x，结合四个数的位置关系分别表示出b、c、d，再将四个数相加化简，就能得到四个数的和的代数式。
【解析】
已知$a$表示的数是$x$，
根据月历数字排列规律：
1. $b$与$a$同一行，在$a$右侧，因此$b=x+1$；
2. $d$在$a$的正下方，因此$d=x+7$；
3. $c$与$d$同一行，在$d$左侧，因此$c=d-1=(x+7)-1=x+6$。
四个数的和为：
$\begin{aligned}a+b+c+d&=x+(x+1)+(x+6)+(x+7)\\&=4x+14\end{aligned}$
【答案】
$4x+14$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是掌握月历的数字排列特点，准确用含未知数的式子表示出框内的各个数，再通过整式加减化简得到结果，能有效考查学生观察、归纳数字规律的能力。
【难度系数】
0.8
2.如图，这是从1开始的连续自然数组成的数表，请观察规律并填空.
(1)表中第8行的最后一个数是
(2)第n行最后一个数是
(1)表中第8行的最后一个数是
64
，它是自然数8
的平方，第8行共有15
个数.(2)第n行最后一个数是
$n^2$
，第n行共有$2n-1$
个数.(用含n的代数式表示)答案
2.(1)64 8 15 (2)$n^2$ $2n-1$
解析
【分析】
解题时先从已知的前4行数据入手，分别观察每行的最后一个数、每行数字个数和行数的对应关系：首先看每行末尾数，第1行末尾是$1=1^2$，第2行末尾是$4=2^2$，第3行末尾是$9=3^2$，第4行末尾是$16=4^2$，可推出第n行末尾数是n的平方；再看每行数字个数，第1行1个、第2行3个、第3行5个、第4行7个，均为对应行数的2倍减1，可推出第n行数字个数为$2n-1$。再将$n=8$代入规律即可求解第(1)问，直接写通用表达式即可求解第(2)问。
【解析】
先整理已知行的规律：
第1行：最后一个数为$1^2=1$，共有$2×1-1=1$个数；
第2行：最后一个数为$2^2=4$，共有$2×2-1=3$个数；
第3行：最后一个数为$3^2=9$，共有$2×3-1=5$个数；
第4行：最后一个数为$4^2=16$，共有$2×4-1=7$个数；
(1) 当行数为8时，最后一个数是$8^2=64$，是自然数8的平方，第8行共有的数字个数为$2×8-1=15$；
(2) 由上述规律归纳可得，第n行最后一个数是$n^2$，第n行共有$(2n-1)$个数。
【答案】
(1) 64，8，15；(2) $n^2$，$2n-1$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的数阵规律探索题，解题核心是通过观察特殊行的数值特征，归纳总结出通用规律，考查从特殊到一般的归纳思维，只要仔细观察数据特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的前4行数据入手，分别观察每行的最后一个数、每行数字个数和行数的对应关系：首先看每行末尾数，第1行末尾是$1=1^2$，第2行末尾是$4=2^2$，第3行末尾是$9=3^2$，第4行末尾是$16=4^2$，可推出第n行末尾数是n的平方；再看每行数字个数，第1行1个、第2行3个、第3行5个、第4行7个，均为对应行数的2倍减1，可推出第n行数字个数为$2n-1$。再将$n=8$代入规律即可求解第(1)问，直接写通用表达式即可求解第(2)问。
【解析】
先整理已知行的规律：
第1行：最后一个数为$1^2=1$，共有$2×1-1=1$个数；
第2行：最后一个数为$2^2=4$，共有$2×2-1=3$个数；
第3行：最后一个数为$3^2=9$，共有$2×3-1=5$个数；
第4行：最后一个数为$4^2=16$，共有$2×4-1=7$个数；
(1) 当行数为8时，最后一个数是$8^2=64$，是自然数8的平方，第8行共有的数字个数为$2×8-1=15$；
(2) 由上述规律归纳可得，第n行最后一个数是$n^2$，第n行共有$(2n-1)$个数。
【答案】
(1) 64，8，15；(2) $n^2$，$2n-1$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的数阵规律探索题，解题核心是通过观察特殊行的数值特征，归纳总结出通用规律，考查从特殊到一般的归纳思维，只要仔细观察数据特征就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3.(2024·云南改编)按一定规律排列的代数式:$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,\dots$,第$n$个代数式是
$(n+1)x^n$
.答案
3. $(n+1)x^n$
解析
【分析】
解决这类代数式规律探索题，可将代数式拆分为系数和含字母的部分分别找规律，再合并得到结果。首先观察系数：第1个代数式的系数是2，第2个是3，第3个是4，可发现系数比对应序号大1，因此第n个代数式的系数为n+1；再观察x的次数：第1个代数式中x的次数是1，第2个是2，第3个是3，可发现x的次数与对应序号相等，因此第n个代数式中x的部分为xⁿ，最后将两部分相乘即可得到第n个代数式。
【解析】
我们对应序号观察每一项的特征：
当n=1时，代数式为$2x=(1+1)x^1$；
当n=2时，代数式为$3x^2=(2+1)x^2$；
当n=3时，代数式为$4x^3=(3+1)x^3$；
当n=4时，代数式为$5x^4=(4+1)x^4$；
……
以此类推，第n个代数式的系数为$n+1$，x的指数为$n$，因此第n个代数式是$(n+1)x^n$。
【答案】
$(n+1)x^n$
【知识点】
代数式规律探索；单项式的概念
【点评】
本题是规律探索类基础题型，通过拆分代数式为系数、字母两部分分别找规律的方法，可以快速推导得出通用表达式，掌握这种拆分找规律的思路，能高效解决同类问题。
【难度系数】
0.8
解决这类代数式规律探索题，可将代数式拆分为系数和含字母的部分分别找规律，再合并得到结果。首先观察系数：第1个代数式的系数是2，第2个是3，第3个是4，可发现系数比对应序号大1，因此第n个代数式的系数为n+1；再观察x的次数：第1个代数式中x的次数是1，第2个是2，第3个是3，可发现x的次数与对应序号相等，因此第n个代数式中x的部分为xⁿ，最后将两部分相乘即可得到第n个代数式。
【解析】
我们对应序号观察每一项的特征：
当n=1时，代数式为$2x=(1+1)x^1$；
当n=2时，代数式为$3x^2=(2+1)x^2$；
当n=3时，代数式为$4x^3=(3+1)x^3$；
当n=4时，代数式为$5x^4=(4+1)x^4$；
……
以此类推，第n个代数式的系数为$n+1$，x的指数为$n$，因此第n个代数式是$(n+1)x^n$。
【答案】
$(n+1)x^n$
【知识点】
代数式规律探索；单项式的概念
【点评】
本题是规律探索类基础题型，通过拆分代数式为系数、字母两部分分别找规律的方法，可以快速推导得出通用表达式，掌握这种拆分找规律的思路，能高效解决同类问题。
【难度系数】
0.8
4. 观察下列等式：
$1^2 - 1 = 1 × 0$；
$2^2 - 2 = 2 × 1$；
$3^2 - 3 = 3 × 2$；
$4^2 - 4 = 4 × 3$；
$5^2 - 5 = 5 × 4$；
……
依此规律，则第$n$（$n$为正整数）个等式是
$1^2 - 1 = 1 × 0$；
$2^2 - 2 = 2 × 1$；
$3^2 - 3 = 3 × 2$；
$4^2 - 4 = 4 × 3$；
$5^2 - 5 = 5 × 4$；
……
依此规律，则第$n$（$n$为正整数）个等式是
$n^2-n=n(n-1)$
。答案
4. $n^2-n=n(n-1)$
解析
【分析】
解决这类等式规律探究题，可分别分析等式左右两边与序号n的对应关系：第一步先观察左边，第1个等式对应$1^2-1$，第2个对应$2^2-2$，……，可推出第n个等式左边的形式；第二步观察右边，第1个等式对应$1×(1-1)$，第2个对应$2×(2-1)$，……，可推出第n个等式右边的形式；最后可通过整式运算验证左右两边是否相等，确认规律的正确性。
【解析】
1. 分析等式左边的规律：
第1个等式：$1^2 -1$，第2个等式：$2^2 -2$，第3个等式：$3^2 -3$，……，
由此可得第n个等式的左边为：$n^2 -n$。
2. 分析等式右边的规律：
第1个等式：$1×0=1×(1-1)$，第2个等式：$2×1=2×(2-1)$，第3个等式：$3×2=3×(3-1)$，……，
由此可得第n个等式的右边为：$n(n-1)$。
3. 验证：对左边提取公因式n可得$n^2 -n =n(n-1)$，与右边相等，规律成立。
【答案】
$n^2-n=n(n-1)$
【知识点】
规律探究，列代数式，提公因式法因式分解
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心考查观察归纳与逻辑推理能力，解题关键是找准等式各项与序号的对应关系，也可通过整式运算辅助验证规律，是代数式应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决这类等式规律探究题，可分别分析等式左右两边与序号n的对应关系：第一步先观察左边，第1个等式对应$1^2-1$，第2个对应$2^2-2$，……，可推出第n个等式左边的形式；第二步观察右边，第1个等式对应$1×(1-1)$，第2个对应$2×(2-1)$，……，可推出第n个等式右边的形式；最后可通过整式运算验证左右两边是否相等，确认规律的正确性。
【解析】
1. 分析等式左边的规律：
第1个等式：$1^2 -1$，第2个等式：$2^2 -2$，第3个等式：$3^2 -3$，……，
由此可得第n个等式的左边为：$n^2 -n$。
2. 分析等式右边的规律：
第1个等式：$1×0=1×(1-1)$，第2个等式：$2×1=2×(2-1)$，第3个等式：$3×2=3×(3-1)$，……，
由此可得第n个等式的右边为：$n(n-1)$。
3. 验证：对左边提取公因式n可得$n^2 -n =n(n-1)$，与右边相等，规律成立。
【答案】
$n^2-n=n(n-1)$
【知识点】
规律探究，列代数式，提公因式法因式分解
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心考查观察归纳与逻辑推理能力，解题关键是找准等式各项与序号的对应关系，也可通过整式运算辅助验证规律，是代数式应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
5.观察下面一列数0,3,8,15,24,…,则它的第10个数是
99
,第n个数是$n^2-1$
(用含正整数n的式子表示).答案
5. 99 $n^2-1$
解析
【分析】
解决这道规律题我们可以采用“序号对应法”思考：先把每个数和它的排列序号对应起来，观察两者的运算关系。我们先尝试计算每个序号的平方，对比发现序号的平方减去1恰好等于对应位置的数，验证所有已知项都符合这个规律后，就可以用规律推导第10个数和第n个数的表达式。
【解析】
我们将已知数和对应序号逐一对应验证：
第1个数（n=1）：$1^2-1=1-1=0$，符合已知；
第2个数（n=2）：$2^2-1=4-1=3$，符合已知；
第3个数（n=3）：$3^2-1=9-1=8$，符合已知；
第4个数（n=4）：$4^2-1=16-1=15$，符合已知；
第5个数（n=5）：$5^2-1=25-1=24$，符合已知；
归纳可得规律：第n个数为$n^2-1$。
求第10个数时，将n=10代入规律式：$10^2-1=100-1=99$。
【答案】
99；$n^2-1$
【知识点】
数字规律探究；列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究题型，解题关键是建立已知项和对应序号的运算关联，掌握从特殊到一般的推导思路，就能快速解决同类型的数字规律问题。
【难度系数】
0.8
解决这道规律题我们可以采用“序号对应法”思考：先把每个数和它的排列序号对应起来，观察两者的运算关系。我们先尝试计算每个序号的平方，对比发现序号的平方减去1恰好等于对应位置的数，验证所有已知项都符合这个规律后，就可以用规律推导第10个数和第n个数的表达式。
【解析】
我们将已知数和对应序号逐一对应验证：
第1个数（n=1）：$1^2-1=1-1=0$，符合已知；
第2个数（n=2）：$2^2-1=4-1=3$，符合已知；
第3个数（n=3）：$3^2-1=9-1=8$，符合已知；
第4个数（n=4）：$4^2-1=16-1=15$，符合已知；
第5个数（n=5）：$5^2-1=25-1=24$，符合已知；
归纳可得规律：第n个数为$n^2-1$。
求第10个数时，将n=10代入规律式：$10^2-1=100-1=99$。
【答案】
99；$n^2-1$
【知识点】
数字规律探究；列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究题型，解题关键是建立已知项和对应序号的运算关联，掌握从特殊到一般的推导思路，就能快速解决同类型的数字规律问题。
【难度系数】
0.8
6.如图,我们做一个游戏:从大拇指开始,按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指……的顺序依次数正整数1,2,3,4,5,…,当第n次数到中指时,恰好数到的数是
$4n-1$
(用含n的代数式表示).答案
6. $4n-1$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先列举前几次数到中指时对应的数，观察数字与次数n的变化规律，再推导通用的代数式。首先明确数数的顺序，先找到前3次数到中指的数值，再分析数值和次数的关系即可。
【解析】
我们先列举前几次数到中指时对应的数：
第1次数到中指时，数到的数是3，可表示为：$3 = 4×1 - 1$；
继续按照顺序数数：4（无名指）、5（小指）、6（无名指）、7（中指），即第2次数到中指时，数到的数是7，可表示为：$7 = 4×2 -1$；
继续数：8（食指）、9（大拇指）、10（食指）、11（中指），即第3次数到中指时，数到的数是11，可表示为：$11 = 4×3 -1$；
观察规律可得：每多1次数到中指，对应的数增加4，因此第n次数到中指时，对应的数为$3 + 4(n-1) = 4n -1$。
【答案】
$4n-1$
【知识点】
探索数字规律，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的关键是先列举出前几组符合条件的数值，通过观察数值的变化特点找到通用规律，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先列举前几次数到中指时对应的数，观察数字与次数n的变化规律，再推导通用的代数式。首先明确数数的顺序，先找到前3次数到中指的数值，再分析数值和次数的关系即可。
【解析】
我们先列举前几次数到中指时对应的数：
第1次数到中指时，数到的数是3，可表示为：$3 = 4×1 - 1$；
继续按照顺序数数：4（无名指）、5（小指）、6（无名指）、7（中指），即第2次数到中指时，数到的数是7，可表示为：$7 = 4×2 -1$；
继续数：8（食指）、9（大拇指）、10（食指）、11（中指），即第3次数到中指时，数到的数是11，可表示为：$11 = 4×3 -1$；
观察规律可得：每多1次数到中指，对应的数增加4，因此第n次数到中指时，对应的数为$3 + 4(n-1) = 4n -1$。
【答案】
$4n-1$
【知识点】
探索数字规律，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的关键是先列举出前几组符合条件的数值，通过观察数值的变化特点找到通用规律，考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
7.假设有足够多的黑、白棋子按照一定的规律排列成一行，如图所示，则第2025枚棋子是
○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●…
黑棋
.(填“黑棋”或“白棋”)○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●…
答案
7. 黑棋
解析
【分析】
解决这道题的核心是先找到棋子排列的循环规律：首先观察给出的棋子序列，找出重复出现的部分，确定循环周期的长度，再用总棋子数除以周期长度，根据余数判断第2025枚棋子对应周期里的第几个，即可得出结果。
【解析】
观察棋子排列规律可发现：每6枚棋子为一个循环周期，每个周期内的棋子顺序为：白棋、白棋、黑棋、黑棋、白棋、黑棋。
计算2025除以周期长度6的商和余数：
$2025÷6=337······3$
即第2025枚棋子是第338个周期里的第3枚棋子，对应周期内的第3枚为黑棋。
【答案】
黑棋
【知识点】
图形规律探索，周期问题
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是准确观察归纳出棋子排列的循环周期，再结合余数判断对应位置的棋子类型，是规律类题型中的常考内容。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先找到棋子排列的循环规律：首先观察给出的棋子序列，找出重复出现的部分，确定循环周期的长度，再用总棋子数除以周期长度，根据余数判断第2025枚棋子对应周期里的第几个，即可得出结果。
【解析】
观察棋子排列规律可发现：每6枚棋子为一个循环周期，每个周期内的棋子顺序为：白棋、白棋、黑棋、黑棋、白棋、黑棋。
计算2025除以周期长度6的商和余数：
$2025÷6=337······3$
即第2025枚棋子是第338个周期里的第3枚棋子，对应周期内的第3枚为黑棋。
【答案】
黑棋
【知识点】
图形规律探索，周期问题
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是准确观察归纳出棋子排列的循环周期，再结合余数判断对应位置的棋子类型，是规律类题型中的常考内容。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示的是由若干个大小相同的“○”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“○”，第2个图案用了6个“○”，第3个图案用了12个“○”，第4个图案用了20个“○”……依照此规律，第n个图案中“○”的个数为
$n(n+1)$
（用含n的代数式表示）。答案
8. $n(n+1)$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，可从数字规律和图形结构两个方向思考：①先整理已知图案的○数量：第1个2个、第2个6个、第3个12个、第4个20个，观察这些数字和对应序号n的关系，尝试拆成两个数的乘积找规律；②也可观察图形结构，第n个图案共有n行，每行的○个数为n+1，用行数乘每行个数即可得总数。
【解析】
我们将每个图案的序号和对应○的个数对应分析：
当n=1时，○的个数：$2=1×2$
当n=2时，○的个数：$6=2×3$
当n=3时，○的个数：$12=3×4$
当n=4时，○的个数：$20=4×5$
……
以此类推，第n个图案中，○的个数为序号n乘比n大1的数，即$n(n+1)$。
【答案】
$n(n+1)$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，既可以通过分析已知数字的特征归纳规律，也可以通过观察图形的行列结构推导结论，核心是找到数量和图案序号的对应关系，是规律类题型的常考类型。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律题，可从数字规律和图形结构两个方向思考：①先整理已知图案的○数量：第1个2个、第2个6个、第3个12个、第4个20个，观察这些数字和对应序号n的关系，尝试拆成两个数的乘积找规律；②也可观察图形结构，第n个图案共有n行，每行的○个数为n+1，用行数乘每行个数即可得总数。
【解析】
我们将每个图案的序号和对应○的个数对应分析：
当n=1时，○的个数：$2=1×2$
当n=2时，○的个数：$6=2×3$
当n=3时，○的个数：$12=3×4$
当n=4时，○的个数：$20=4×5$
……
以此类推，第n个图案中，○的个数为序号n乘比n大1的数，即$n(n+1)$。
【答案】
$n(n+1)$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，既可以通过分析已知数字的特征归纳规律，也可以通过观察图形的行列结构推导结论，核心是找到数量和图案序号的对应关系，是规律类题型的常考类型。
【难度系数】
0.8
9. 如图,一些点组成形如三角形的图形.如果图形的每条“边”上有$n(n＞1)$个点(包括两个顶点),那么当这个图形中点的总数$S=2025$时,$n=$
676
. 答案
9. 676
解析
【分析】
解题时先观察给出的图形，先计算不同n值对应的总点数S：三角形有3条边，每条边有n个点，若直接用3×n计算总点数，会发现3个顶点的点被重复计算了1次，共多算3个点，因此可以推导出总点数S和n的关系式，再将S=2025代入关系式求解n即可。
【解析】
首先探究规律：
三角形每条边有n个点，3条边共有3n个点，由于3个顶点的点同时属于两条边，被重复计算了1次，共多计算3个点，因此总点数：
$S=3n-3=3(n-1)$
验证：当n=2时，$S=3×(2-1)=3$，和图形点数一致；n=3时，$S=3×(3-1)=6$，和图形点数一致，规律成立。
当$S=2025$时，代入关系式得：
$3(n-1)=2025$
两边同时除以3，得：$n-1=675$
解得：$n=676$
【答案】
676
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是避免对顶点处点的重复计数，先通过特殊情况归纳出通用的数量关系，再代入数值求解即可，平时练习时要养成先验证规律再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的图形，先计算不同n值对应的总点数S：三角形有3条边，每条边有n个点，若直接用3×n计算总点数，会发现3个顶点的点被重复计算了1次，共多算3个点，因此可以推导出总点数S和n的关系式，再将S=2025代入关系式求解n即可。
【解析】
首先探究规律：
三角形每条边有n个点，3条边共有3n个点，由于3个顶点的点同时属于两条边，被重复计算了1次，共多计算3个点，因此总点数：
$S=3n-3=3(n-1)$
验证：当n=2时，$S=3×(2-1)=3$，和图形点数一致；n=3时，$S=3×(3-1)=6$，和图形点数一致，规律成立。
当$S=2025$时，代入关系式得：
$3(n-1)=2025$
两边同时除以3，得：$n-1=675$
解得：$n=676$
【答案】
676
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是避免对顶点处点的重复计数，先通过特殊情况归纳出通用的数量关系，再代入数值求解即可，平时练习时要养成先验证规律再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
