8.已知a,b,c是一个三角形的三边长。
(1)化简：$|a - b - c| + |b + c - a| - |c - a - b|$；
(2)若$a = 10, b = 8, c = 6$，求(1)中式子的值。

解:(1)因为a,b,c是一个三角形的三边长，所以b+c＞a,a+b＞c，所以a−b−c＜0,b+c−a＞0,c−a−b＜0，所以|a−b−c|+|b+c−a|−|c−a−b|=−a+b+c+b+c−a+c−a−b=−3a+b+3c。
(2)把a=10,b=8,c=6代入(1)中的式子,可得原式=−3a+b+3c=−3×10+8+3×6=−4。

【分析】
（1）化简含绝对值的式子需先根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。判断正负的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。先通过三边关系分别判断三个绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。（2）第二问为代数式求值，直接将a、b、c的数值代入第一问的化简结果，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1)
∵a,b,c是三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$b+c＞a$，$a+b＞c$
∴ $a-b-c=a-(b+c)＜0$，
$b+c-a＞0$，
$c-a-b=c-(a+b)＜0$，
∴ $|a - b - c| + |b + c - a| - |c - a - b|$
$=-(a-b-c)+(b+c-a)-[-(c-a-b)]$
$=-a+b+c+b+c-a+c-a-b$
$=-3a+b+3c$
(2) 把$a=10,b=8,c=6$代入化简后的式子，得：
原式$=-3×10 + 8 + 3×6$
$=-30+8+18$
$=-4$
【答案】
(1) $-3a + b + 3c$；(2) $-4$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形性质与代数运算结合的基础综合题，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内式子的正负，去绝对值时注意符号变化，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

9.已知$△ ABC$的三边长均为整数，周长为偶数。
(1)若$AC=9$，$BC=3$，求$AB$的长；
(2)若$AC+BC=15$，求$AB$的最大值。

解:(1)由题意知AC−BC＜AB＜AC+BC，即9−3＜AB＜9+3，所以6＜AB＜12。因为△ABC的周长为偶数,AC,BC均为奇数，所以AB为偶数,且AB为正整数，故AB=8或10，所以AB的长为8或10。
(2)因为AC+BC=15,△ABC的周长为偶数，所以AB为正整数,且AB为奇数。又因为AB＜AC+BC=15，所以AB的最大值为13。

【分析】
本题需结合三角形三边关系和奇偶性限制求解：
(1) 首先根据三角形“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”的性质，先求出AB的取值范围；再结合三边长为整数、周长为偶数的条件，通过奇偶性分析：已知AC、BC均为奇数，二者之和为偶数，要使周长为偶数，AB必须为偶数，在取值范围内筛选出符合条件的偶数即可。
(2) 先由三边关系得到AB要小于AC+BC的和，再结合周长为偶数的条件：AC+BC=15为奇数，奇数加AB的和为偶数，则AB必须为奇数，找到小于15的最大正奇数就是AB的最大值。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：$AC-BC ＜ AB ＜ AC+BC$，代入$AC=9$，$BC=3$得：
$9-3 ＜ AB ＜ 9+3$，即$6 ＜ AB ＜ 12$。
已知$△ ABC$周长为偶数，且$AC=9$、$BC=3$均为奇数，奇数+奇数=偶数，因此AB必须为偶数才能使三边长之和为偶数。
又因为AB为正整数，所以AB的取值为8或10。
(2) 根据三角形三边关系可得：$AB ＜ AC+BC$，已知$AC+BC=15$，因此$AB ＜ 15$。
已知$△ ABC$周长为偶数，$AC+BC=15$为奇数，奇数+奇数=偶数，因此AB必须为奇数。
AB为正整数，小于15的最大正奇数为13，因此AB的最大值为13。
【答案】
(1) $AB$的长为8或10；(2) $AB$的最大值为13
【知识点】
1. 三角形三边关系 2. 奇偶性运算性质 3. 整数解筛选
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的应用，解题时需注意结合题干给出的边长为整数、周长为偶数的限制条件筛选结果，易错点是容易遗漏限制条件导致求出的边长不符合题意。
【难度系数】
0.7

10.判断下列各组线段是否能组成三角形。
(1)$a=3.2\ \mathrm{cm},b=2.1\ \mathrm{cm},c=5\ \mathrm{cm}$；
(2)$a=2\ \mathrm{cm},b=2\ \mathrm{cm},c=4\ \mathrm{cm}$；
(3)$a=1\ \mathrm{cm},b=4\ \mathrm{cm},c=4\ \mathrm{cm}$。

解:(1)能组成三角形；
(2)2+2=4,因而不能组成三角形；
(3)可以组成三角形。

【分析】
判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以先找出三条线段中最长的那条，再将另外两条较短的线段长度相加，若和大于最长线段的长度，则能组成三角形，若和小于或等于最长线段的长度，则不能组成三角形。接下来我们按照这个思路逐一判断三组线段即可。
【解析】
我们采用“较短两边之和与最长边比较”的方法逐一判断：
(1) 本组线段中最长边为$c=5\ \mathrm{cm}$，计算较短两边的和：$3.2+2.1=5.3\ \mathrm{cm}$，因为$5.3＞5$，满足三边关系要求，所以能组成三角形；
(2) 本组线段中最长边为$c=4\ \mathrm{cm}$，计算较短两边的和：$2+2=4\ \mathrm{cm}$，因为$4=4$，不满足“两边之和大于第三边”的要求，所以不能组成三角形；
(3) 本组线段中最长边为$4\ \mathrm{cm}$（$b$或$c$），计算较短两边的和：$1+4=5\ \mathrm{cm}$，因为$5＞4$，满足三边关系要求，所以可以组成三角形。
【答案】
(1)能组成三角形；
(2)不能组成三角形；
(3)可以组成三角形。
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，使用“较短两边之和大于最长边”的判断技巧可快速得出结果，解题时要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.9

知识点一 三角形的中线
1. 在三角形中，连接一个与它的线段，叫做三角形的中线。如图，线段是△ABC的BC边上的中线。
2. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的。

1. 顶点 对边中点 AE 2. 重心

【分析】
本题考查三角形中线的相关基础概念，解题思路如下：1. 先回忆三角形中线的定义：三角形中线的两个端点分别是三角形的一个顶点和该顶点对边的中点，据此可填前两个空；再观察图形，已知BE=EC，说明E是BC边的中点，BC边对应的顶点是A，因此连接A和E的线段就是BC边上的中线。2. 回忆课本中三角形三条中线交点的专属名称，直接填写即可。
【解析】
1. 根据三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。观察图形，由BE=EC可知E是BC边的中点，因此顶点A与BC中点E的连线AE是△ABC的BC边上的中线。
2. 根据相关概念，三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
【答案】
1. 顶点 对边中点 AE 2. 重心
【知识点】
三角形中线的定义；三角形的重心
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对三角形中线及重心相关概念的掌握程度，只要熟记教材中的相关定义就能顺利解答，是三角形模块的基础常规考题。
【难度系数】
0.9

知识点二 三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段
是△ABC的BC边上的高。

垂线 AF

【分析】
这道题考查三角形高线的基础定义，解题思路分为两步：第一步先回忆三角形高线的定义内容，明确定义的核心要素；第二步结合给出的图形，找到对应BC边上的高。首先要清楚三角形的高需要满足“过顶点向对边作垂直、线段是顶点到垂足的部分”这两个特征，再对照图形中AF⊥BC的条件，就能匹配出对应的线段。
【解析】
根据三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，因此第一个空填“垂线”。
观察图形可知，AF⊥BC，垂足F在BC边上，线段AF是顶点A到垂足F的线段，符合△ABC的BC边上高的特征，因此第二个空填“AF”。
【答案】
垂线；AF
【知识点】
三角形高的定义；垂直的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对三角形高线定义的识记和简单的图形识别能力，牢记基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9