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1. 某游乐场普通门票价格 40 元/张. 为了促销, 新推出两种办卡方式:
方式一: 白金卡售价 200 元/张, 每次凭卡另收取 20 元;
方式二: 钻石卡售价 1 000 元/张, 每次凭卡不再收费.
(1)根据题意填表:
(2)如果小红计划消费 680 元, 应该选哪种方式更合算, 请说明理由.
(3)当 $8＜x＜40$ 时, 小红选择哪种消费方式更合算, 请说明理由.
方式一: 白金卡售价 200 元/张, 每次凭卡另收取 20 元;
方式二: 钻石卡售价 1 000 元/张, 每次凭卡不再收费.
(1)根据题意填表:
(2)如果小红计划消费 680 元, 应该选哪种方式更合算, 请说明理由.
(3)当 $8＜x＜40$ 时, 小红选择哪种消费方式更合算, 请说明理由.
答案
1. (1) 2 000，40x，600，1 200，20x+200
(2) 当40x=680时，x=17；当20x+200=680时，x=24. 因为17＜24，所以小红计划消费680元时，按方式一消费更合算.
(3)令40x=20x+200，解得x=10，令20x+200=1 000，解得x=40；所以当8＜x＜10时，选择按普通门票消费更合算；当x=10时，选择按普通门票消费和按方式一消费一样；当10＜x＜40时，按方式一消费更合算.
(2) 当40x=680时，x=17；当20x+200=680时，x=24. 因为17＜24，所以小红计划消费680元时，按方式一消费更合算.
(3)令40x=20x+200，解得x=10，令20x+200=1 000，解得x=40；所以当8＜x＜10时，选择按普通门票消费更合算；当x=10时，选择按普通门票消费和按方式一消费一样；当10＜x＜40时，按方式一消费更合算.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 先明确三种消费方式的费用计算规则：普通门票总费用=单次票价×次数；方式一总费用=办卡费+每次收费×次数；方式二总费用固定为办卡费。据此分别计算对应次数的费用，再写出含x的代数式即可填表。
(2) 消费680元时，先排除最低消费为1000元的方式二，分别计算普通门票、方式一用680元可进入游乐场的次数，次数更多的方案更合算。
(3) 要判断$8＜x＜40$区间内的最优方案，先找到不同方案费用相等的临界点：先令普通门票费用=方式一费用，解得$x=10$；再令方式一费用=方式二费用，解得$x=40$，以此临界点为分界，分区间比较三种方案的费用高低即可。
【解析】
(1) 按普通门票消费：单次票价40元，50次费用为$40×50=2000$元，x次费用为$40x$元；
按方式一消费：总费用=办卡费200元+每次20元×次数，20次费用为$200+20×20=600$元，50次费用为$200+20×50=1200$元，x次费用为$20x+200$元。
(2) 方式二最低消费为1000元，大于680元，因此仅对比普通门票和方式一：
按普通门票消费时，令$40x=680$，解得$x=17$；
按方式一消费时，令$20x+200=680$，解得$x=24$。
相同消费金额下方式一可去次数更多，因此方式一更合算。
(3) 先计算费用相等的临界点：
令普通门票和方式一费用相等：$40x=20x+200$，解得$x=10$；
令方式一和方式二费用相等：$20x+200=1000$，解得$x=40$。
结合$8＜x＜40$的范围分情况：
当$8＜x＜10$时，普通门票费用低于另外两种方式，选普通门票合算；
当$x=10$时，普通门票和方式一费用相同，二者一样合算；
当$10＜x＜40$时，方式一费用低于另外两种方式，选方式一合算。
【答案】
(1) $\boxed{2000}$，$\boxed{40x}$，$\boxed{600}$，$\boxed{1200}$，$\boxed{20x+200}$
(2) 选择方式一更合算。
(3) 当$8＜x＜10$时，选择按普通门票消费更合算；当$x=10$时，选择按普通门票消费和按方式一消费一样；当$10＜x＜40$时，按方式一消费更合算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案选择
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，需要学生准确梳理不同方案的费用计算逻辑，通过解方程找到费用临界点，再结合分类讨论思想判断不同区间的最优方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1) 先明确三种消费方式的费用计算规则：普通门票总费用=单次票价×次数；方式一总费用=办卡费+每次收费×次数；方式二总费用固定为办卡费。据此分别计算对应次数的费用，再写出含x的代数式即可填表。
(2) 消费680元时，先排除最低消费为1000元的方式二，分别计算普通门票、方式一用680元可进入游乐场的次数，次数更多的方案更合算。
(3) 要判断$8＜x＜40$区间内的最优方案，先找到不同方案费用相等的临界点：先令普通门票费用=方式一费用，解得$x=10$；再令方式一费用=方式二费用，解得$x=40$，以此临界点为分界，分区间比较三种方案的费用高低即可。
【解析】
(1) 按普通门票消费：单次票价40元，50次费用为$40×50=2000$元，x次费用为$40x$元；
按方式一消费：总费用=办卡费200元+每次20元×次数，20次费用为$200+20×20=600$元，50次费用为$200+20×50=1200$元，x次费用为$20x+200$元。
(2) 方式二最低消费为1000元，大于680元，因此仅对比普通门票和方式一：
按普通门票消费时，令$40x=680$，解得$x=17$；
按方式一消费时，令$20x+200=680$，解得$x=24$。
相同消费金额下方式一可去次数更多，因此方式一更合算。
(3) 先计算费用相等的临界点：
令普通门票和方式一费用相等：$40x=20x+200$，解得$x=10$；
令方式一和方式二费用相等：$20x+200=1000$，解得$x=40$。
结合$8＜x＜40$的范围分情况：
当$8＜x＜10$时，普通门票费用低于另外两种方式，选普通门票合算；
当$x=10$时，普通门票和方式一费用相同，二者一样合算；
当$10＜x＜40$时，方式一费用低于另外两种方式，选方式一合算。
【答案】
(1) $\boxed{2000}$，$\boxed{40x}$，$\boxed{600}$，$\boxed{1200}$，$\boxed{20x+200}$
(2) 选择方式一更合算。
(3) 当$8＜x＜10$时，选择按普通门票消费更合算；当$x=10$时，选择按普通门票消费和按方式一消费一样；当$10＜x＜40$时，按方式一消费更合算。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案选择
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，需要学生准确梳理不同方案的费用计算逻辑，通过解方程找到费用临界点，再结合分类讨论思想判断不同区间的最优方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. 某学校组织七年级同学前往博物馆参观. 若博物馆的门票只能当日有效，且价格规定如表：
现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人.
(1)若学校为七年级集体购票，共需购票款多少元？
(2)因七年(1)班需要在校参加另外一项活动，参观时间另外安排，这样学校两次购票共花费1674元. 求七(1)班有多少名同学.
(3)当七年(1)班去博物馆参观时，班长采取了新的购票方案，结果比(2)中方案省钱. 你知道班长是如何购票的吗？请计算班长节省了多少钱.
现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人.
(1)若学校为七年级集体购票，共需购票款多少元？
(2)因七年(1)班需要在校参加另外一项活动，参观时间另外安排，这样学校两次购票共花费1674元. 求七(1)班有多少名同学.
(3)当七年(1)班去博物馆参观时，班长采取了新的购票方案，结果比(2)中方案省钱. 你知道班长是如何购票的吗？请计算班长节省了多少钱.
答案
2. (1)七年级集体购票每张单价为9元，则共需购票款为129×9=1 161元.
(2)因为每个班不足50人，则其余两班的人数大于129-50=79(人)，两班的人数少于100人. 设七(1)班有x人，则其余两班的人数是(129-x)人，则15x+12×(129-x)=1 674，解得x=42. 则七(1)班有42名同学.
(3)42×15=630(元)，50×12=600(元). 班长按每人12元的票价购买了50张门票，花了600元，这样班长节省了630-600=30(元).
(2)因为每个班不足50人，则其余两班的人数大于129-50=79(人)，两班的人数少于100人. 设七(1)班有x人，则其余两班的人数是(129-x)人，则15x+12×(129-x)=1 674，解得x=42. 则七(1)班有42名同学.
(3)42×15=630(元)，50×12=600(元). 班长按每人12元的票价购买了50张门票，花了600元，这样班长节省了630-600=30(元).
解析
【分析】
(1) 先判断集体购票的人数所属的票价区间：总人数129人，满足100及以上的购票要求，对应单价9元，用总人数乘对应单价即可计算总购票款。
(2) 首先明确每个班人数不足50人，因此七(1)班单独购票时人数少于50，对应单价15元；剩余两个班总人数为129减去七(1)班人数，可推出剩余两班人数范围在79到98之间，属于50~99的票价区间，对应单价12元。设七(1)班人数为x，根据两次购票总费用列一元一次方程求解即可。
(3) 对比七(1)班按实际人数购票和凑单到下一个票价区间的总成本，选择成本更低的方案，两者的差价就是节省的费用。
【解析】
(1) 总人数129人，符合“100及以上”的购票规则，对应单价为9元/张：
总购票款 = $ 129 × 9 = 1161 $（元）
(2) 已知每个班人数不足50人，设七(1)班有$ x $名同学，则剩余两个班总人数为$ 129-x $。
因为$ x＜50 $，所以$ 129-x＞129-50=79 $，且两个班总人数最多为$ 49+49=98 $，即$ 79＜129-x＜100 $，对应票价为12元/张，七(1)班单独购票对应票价为15元/张。
根据两次购票总花费列方程：
$ 15x + 12(129-x) = 1674 $
展开得：$ 15x + 1548 - 12x = 1674 $
合并同类项得：$ 3x = 126 $
解得：$ x=42 $
(3) 若按七(1)班实际42人购票，总费用为：$ 42 × 15 = 630 $（元）
若购买50张票，符合“50~99”的购票规则，对应单价12元，总费用为：$ 50 × 12 = 600 $（元）
因为$ 600＜630 $，所以选择购买50张票更省钱，节省费用为：$ 630-600=30 $（元）
【答案】
(1) 共需购票款1161元；
(2) 七(1)班有42名同学；
(3) 班长购买50张单价12元的门票，节省了30元。
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用，方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的购票场景，考查对分段计价规则的理解、一元一次方程的实际运用以及最优方案的选择能力，解题核心是先准确判断不同人数对应的票价区间，再根据等量关系列式计算，同时需要打破“按实际人数购票最划算”的思维定式，通过对比不同方案的成本得出最优解。
【难度系数】
0.7
(1) 先判断集体购票的人数所属的票价区间：总人数129人，满足100及以上的购票要求，对应单价9元，用总人数乘对应单价即可计算总购票款。
(2) 首先明确每个班人数不足50人，因此七(1)班单独购票时人数少于50，对应单价15元；剩余两个班总人数为129减去七(1)班人数，可推出剩余两班人数范围在79到98之间，属于50~99的票价区间，对应单价12元。设七(1)班人数为x，根据两次购票总费用列一元一次方程求解即可。
(3) 对比七(1)班按实际人数购票和凑单到下一个票价区间的总成本，选择成本更低的方案，两者的差价就是节省的费用。
【解析】
(1) 总人数129人，符合“100及以上”的购票规则，对应单价为9元/张：
总购票款 = $ 129 × 9 = 1161 $（元）
(2) 已知每个班人数不足50人，设七(1)班有$ x $名同学，则剩余两个班总人数为$ 129-x $。
因为$ x＜50 $，所以$ 129-x＞129-50=79 $，且两个班总人数最多为$ 49+49=98 $，即$ 79＜129-x＜100 $，对应票价为12元/张，七(1)班单独购票对应票价为15元/张。
根据两次购票总花费列方程：
$ 15x + 12(129-x) = 1674 $
展开得：$ 15x + 1548 - 12x = 1674 $
合并同类项得：$ 3x = 126 $
解得：$ x=42 $
(3) 若按七(1)班实际42人购票，总费用为：$ 42 × 15 = 630 $（元）
若购买50张票，符合“50~99”的购票规则，对应单价12元，总费用为：$ 50 × 12 = 600 $（元）
因为$ 600＜630 $，所以选择购买50张票更省钱，节省费用为：$ 630-600=30 $（元）
【答案】
(1) 共需购票款1161元；
(2) 七(1)班有42名同学；
(3) 班长购买50张单价12元的门票，节省了30元。
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用，方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的购票场景，考查对分段计价规则的理解、一元一次方程的实际运用以及最优方案的选择能力，解题核心是先准确判断不同人数对应的票价区间，再根据等量关系列式计算，同时需要打破“按实际人数购票最划算”的思维定式，通过对比不同方案的成本得出最优解。
【难度系数】
0.7
