3. 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°. 把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证△AEM≌△ANM；
(2)若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.

3. (1)证明：由旋转的性质，得△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，
∴点E，B，C三点共线.
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠MAE=∠MAN.
∵MA=MA，
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)设CD=BC=x，则CM=x−3，CN=x−2.
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN.
∵BE=DN，
∴MN=BM+DN=5.
∵∠C=90°，
∴MN²=CM²+CN²，
∴25=(x−2)²+(x−3)²，解得x=6或−1(不符合题意，舍去).
∴正方形ABCD的边长为6.

【分析】
(1)要证明△AEM≌△ANM，首先结合旋转的性质可得对应边相等、对应角相等：AE=AN，∠DAN=∠BAE，∠ABE=∠D=90°，结合正方形内角∠ABC=90°可证E、B、C三点共线；再根据∠MAN=45°、正方形∠BAD=90°，推导得出∠MAE=∠MAN=45°，最后结合公共边MA，即可用SAS判定两个三角形全等。
(2)求正方形边长时，可先设边长为x，用含x的式子表示出CM、CN的长度；由全等的性质可得EM=MN，结合EM=BE+BM=DN+BM求出MN的长度，最后在Rt△MCN中利用勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到正方形边长。
【解析】
(1)证明：由旋转的性质，得△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，
∴点E，B，C三点共线。
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=90°-∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠MAN。
又
∵MA=MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）。
(2)解：设正方形ABCD的边长为x，则CD=BC=x，
∴CM=x−3，CN=x−2。
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN。
由旋转性质知BE=DN=2，
∴MN=EM=BM+BE=3+2=5。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
在Rt△MCN中，由勾股定理得MN²=CM²+CN²，
代入得25=(x−3)²+(x−2)²，
整理得$x^2-5x-6=0$，
解得$x=6$或$x=-1$（边长为正，不符合题意，舍去）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 正方形ABCD的边长为$\boxed{6}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于正方形背景下的常规几何综合题，解题核心是利用旋转将分散的线段、角集中到同一图形中，通过全等转化线段关系，再结合勾股定理用方程思想求解，这类解题思路在处理含45°角的正方形问题中非常常用。
【难度系数】
0.7

4. 如图1，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上. 现将△OEF绕点O逆时针旋转α度(0＜α＜90)，连接AF，DE(如图2).
(1)在图2中，∠AOF=(用含α的式子表示)；
(2)在图2中，猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论.

4. (1) 90°−α (2) AF=DE. 证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD=∠COD=90°，OA=OD.
∵△OEF绕点O逆时针旋转α角度，
∴∠DOF=∠COE=α，
∴∠AOF=∠DOE=90°−α.
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF=OE，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，
∴AF=DE.

【分析】
(1) 首先根据正方形中心的性质，可知正方形对角线互相垂直，即$∠ AOD=90°$；已知旋转角为$α$，即$∠ DOF=α$，观察$∠ AOF$的位置，它等于$∠ AOD$减去旋转角$∠ DOF$，代入计算即可得到结果。
(2) 要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。观察图形可知$AF$在$△ AOF$中，$DE$在$△ DOE$中：由正方形性质可得$OA=OD$，由等腰直角$△ OEF$的性质可得$OF=OE$，再结合旋转的性质可证两个三角形的夹角相等，即可通过SAS判定三角形全等，从而得到两条线段的数量关系。
【解析】
(1) $\because$点$O$是正方形$ABCD$的中心，$\therefore$正方形对角线互相垂直，即$∠ AOD=90°$。
$\because △ OEF$绕点$O$逆时针旋转$α$度，$\therefore$旋转角$∠ DOF=α$。
$\therefore ∠ AOF=∠ AOD-∠ DOF=90°-α$。
(2) 猜想$AF=DE$，证明如下：
$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD=90°$，$OA=OD$。
$\because △ OEF$绕点$O$逆时针旋转$α$角度，
$\therefore ∠ DOF=∠ COE=α$，
$\therefore ∠ AOF=∠ DOE=90°-α$。
$\because △ OEF$为等腰直角三角形，
$\therefore OF=OE$。
在$△ AOF$和$△ DOE$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOF=∠ DOE \\OF=OE\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ DOE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AF=DE$。
【答案】
(1) $\boxed{90°-α}$；(2) $\boxed{AF=DE}$，证明过程见解析。
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转性质应用的基础题，综合了正方形、全等三角形的相关知识，解题核心是抓住旋转前后不变的边、角关系，通过构造全等三角形证明线段相等，能帮助学生巩固旋转的基本概念。
【难度系数】
0.7