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6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$BC=3$，将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转得到$△ A'BC'$，其中点$A$，$C$的对应点分别为点$A'$，$C'$.当点$A'$落在$AC$的延长线上时，求$AA'$的长.
答案
6.
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=√(AB²−BC²)=4.
∵∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，点A'落在AC的延长线上，
∴∠A'CB=90°，A'B=AB=5. 在Rt△A'BC中，A'C=√(A'B²−BC²)=4，
∴AA'=AC+A'C=8.
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=√(AB²−BC²)=4.
∵∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，点A'落在AC的延长线上，
∴∠A'CB=90°，A'B=AB=5. 在Rt△A'BC中，A'C=√(A'B²−BC²)=4，
∴AA'=AC+A'C=8.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下步骤思考：①首先观察已知条件，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；②根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得A'B=AB，又因为点A'落在AC的延长线上，所以∠A'CB=180°-∠ACB=90°，即△A'BC也是直角三角形；③再次利用勾股定理求出A'C的长度，最后AA'的长度就是AC与A'C的长度之和。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=5$，$BC=3$，
∴由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵将$△ABC$绕点$B$顺时针旋转得到$△A'BC'$，点$A'$落在$AC$的延长线上，
∴根据旋转的性质，$A'B=AB=5$，且$∠A'CB=180°-∠ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△A'BC$中，由勾股定理得：$A'C=\sqrt{A'B^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$AA'=AC+A'C=4+4=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，线段和差计算
【点评】
本题是旋转性质与勾股定理结合的基础题型，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角相等的特征，结合直角三角形的勾股定理计算相关线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按以下步骤思考：①首先观察已知条件，△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；②根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得A'B=AB，又因为点A'落在AC的延长线上，所以∠A'CB=180°-∠ACB=90°，即△A'BC也是直角三角形；③再次利用勾股定理求出A'C的长度，最后AA'的长度就是AC与A'C的长度之和。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=5$，$BC=3$，
∴由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵将$△ABC$绕点$B$顺时针旋转得到$△A'BC'$，点$A'$落在$AC$的延长线上，
∴根据旋转的性质，$A'B=AB=5$，且$∠A'CB=180°-∠ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△A'BC$中，由勾股定理得：$A'C=\sqrt{A'B^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$AA'=AC+A'C=4+4=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，线段和差计算
【点评】
本题是旋转性质与勾股定理结合的基础题型，解题的核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角相等的特征，结合直角三角形的勾股定理计算相关线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{5}$，$AC=2$，$∠ BAC=30°$。将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$60°$，得到$△ ADE$，连接BE，则BE的长为
3
。答案
1. 3
解析
【分析】
遇到旋转相关的求线段长问题，首先利用旋转的性质分析边和角的关系：首先旋转前后对应边相等，可得AE=AC；旋转角为60°，可得∠CAE=60°，结合已知∠BAC=30°，可推出∠BAE=90°，即△ABE是直角三角形，最后用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
根据旋转的性质可得：AE=AC=2，旋转角∠CAE=60°，
又
∵已知∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC + ∠CAE=30°+60°=90°，即△ABE为直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=√5，AE=2，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，角的和差运算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题核心是通过旋转的性质得到相等的边和角，构造出可求解的直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
遇到旋转相关的求线段长问题，首先利用旋转的性质分析边和角的关系：首先旋转前后对应边相等，可得AE=AC；旋转角为60°，可得∠CAE=60°，结合已知∠BAC=30°，可推出∠BAE=90°，即△ABE是直角三角形，最后用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
根据旋转的性质可得：AE=AC=2，旋转角∠CAE=60°，
又
∵已知∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC + ∠CAE=30°+60°=90°，即△ABE为直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=√5，AE=2，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，角的和差运算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题核心是通过旋转的性质得到相等的边和角，构造出可求解的直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在矩形ABCD中，AD=1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF.
(1)求AB的长；
(2)求四边形ABCE的面积.
(1)求AB的长；
(2)求四边形ABCE的面积.
答案
2. (1)
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC=EF=AD=1，AE=AB.
∵DE=EF=1，∠ADE=90°，
∴AE=√2，
∴AB=AE=√2.
(2)由(1)得EC=DC−DE=√2−1，
∴S梯形ABCE=1/2×(√2+√2−1)×1=√2−1/2.
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC=EF=AD=1，AE=AB.
∵DE=EF=1，∠ADE=90°，
∴AE=√2，
∴AB=AE=√2.
(2)由(1)得EC=DC−DE=√2−1，
∴S梯形ABCE=1/2×(√2+√2−1)×1=√2−1/2.
解析
【分析】
(1) 求AB的长时，先利用旋转的性质得到对应边相等：EF=BC、AE=AB，结合矩形对边相等的性质可知BC=AD=1，因此EF=1；再由已知DE=EF可得DE=1，在Rt△ADE中，已知AD、DE的长度，用勾股定理可求出AE的长，即可得到AB的长度。
(2) 求四边形ABCE的面积时，先判断ABCE是直角梯形，上底为EC，下底为AB，高为BC；先由DC=AB、DE=1求出EC的长度，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴根据旋转的性质，对应边相等，得EF=BC，AE=AB。
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，∠ADE=90°，
∴EF=1。
又
∵DE=EF，
∴DE=1。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$AB=AE=\sqrt{2}$。
(2) 由矩形的性质得$DC=AB=\sqrt{2}$，
∴$EC=DC-DE=\sqrt{2}-1$。
四边形ABCE为直角梯形，上底$EC=\sqrt{2}-1$，下底$AB=\sqrt{2}$，高$BC=1$，代入梯形面积公式得：
$S_{四边形ABCE}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+\sqrt{2}-1)×1=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是抓住旋转前后对应边相等的特征，结合矩形的性质找到边角关系，再结合勾股定理和面积公式求解，对基础性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 求AB的长时，先利用旋转的性质得到对应边相等：EF=BC、AE=AB，结合矩形对边相等的性质可知BC=AD=1，因此EF=1；再由已知DE=EF可得DE=1，在Rt△ADE中，已知AD、DE的长度，用勾股定理可求出AE的长，即可得到AB的长度。
(2) 求四边形ABCE的面积时，先判断ABCE是直角梯形，上底为EC，下底为AB，高为BC；先由DC=AB、DE=1求出EC的长度，再代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴根据旋转的性质，对应边相等，得EF=BC，AE=AB。
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，∠ADE=90°，
∴EF=1。
又
∵DE=EF，
∴DE=1。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$AB=AE=\sqrt{2}$。
(2) 由矩形的性质得$DC=AB=\sqrt{2}$，
∴$EC=DC-DE=\sqrt{2}-1$。
四边形ABCE为直角梯形，上底$EC=\sqrt{2}-1$，下底$AB=\sqrt{2}$，高$BC=1$，代入梯形面积公式得：
$S_{四边形ABCE}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+\sqrt{2}-1)×1=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是抓住旋转前后对应边相等的特征，结合矩形的性质找到边角关系，再结合勾股定理和面积公式求解，对基础性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
