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1. (★)如图,A,B两个村庄在公路$l$(不计公路的宽度)的两侧,现要在公路$l$旁建一个货物中转站,使它到$A,B$两个村庄的距离之和最小.如图中所示的$C$点($l$与$AB$的交点)即为所建的货物中转站的位置,这样做的理由是
【 】
A.两直线相交只有一个交点
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线
【 】
A.两直线相交只有一个交点
B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短
D.经过一点有无数条直线
答案
C
解析
点A、B在直线l两侧，连接AB交l于点C，此时AC+BC=AB。根据“两点之间，线段最短”，若在l上任取异于C的点P，都有PA+PB＞AB，因此点C到A、B的距离之和最小，该做法的理由是两点之间，线段最短。
2. (★)小王准备在街道旁建一个送奶站，向居民区A,B提供牛奶，要使A,B两居民区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在 【 】
答案
C
解析
解：根据同侧两点在直线上找距离之和最小点的作图原理：作点A关于街道所在直线的对称点A'，连接A'B，A'B与街道所在直线的交点即为所求的点C，该点满足AC+BC的和最小。
对比四个选项的作图，只有选项C符合上述作法。
对比四个选项的作图，只有选项C符合上述作法。
3. (★★)如图，直线m是△ABC中边BC的垂直平分线，P是直线m上的一动点.若AB=5，AC=4，BC=7，则△APC周长的最小值是【 】
A.9
B.10
C.10.5
D.11
A.9
B.10
C.10.5
D.11
答案
A
解析
1. 由直线m是BC的垂直平分线，可得点B与点C关于直线m对称，因此直线m上任意点P都满足PB=PC。
2. △APC的周长为AP+PC+AC，将PC替换为PB，可得周长=AP+PB+AC。
3. 根据两点之间线段最短，AP+PB的最小值为线段AB的长度，当P落在AB与直线m的交点时取到该最小值。
4. 代入已知数值，△APC周长的最小值为AB+AC=5+4=9。
2. △APC的周长为AP+PC+AC，将PC替换为PB，可得周长=AP+PB+AC。
3. 根据两点之间线段最短，AP+PB的最小值为线段AB的长度，当P落在AB与直线m的交点时取到该最小值。
4. 代入已知数值，△APC周长的最小值为AB+AC=5+4=9。
4. (★★)如图,等腰$△ ABC$的底边BC长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F.若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则$△ CDM$周长的最小值为
【 】
A.11
B.10
C.9
D.8
【 】
A.11
B.10
C.9
D.8
答案
A
解析
连接AD，
1. 因为等腰△ABC中D是BC中点，故AD⊥BC。由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=24$，代入BC=6，解得$AD=8$。
2. 因为EF是AC的垂直平分线，点C关于EF的对称点为A，因此$CM=AM$。
3. $CD=\frac{1}{2}BC=3$，△CDM的周长为$CD+CM+DM=3+AM+DM$，根据两点之间线段最短，$AM+DM≥ AD$，即$AM+DM$的最小值为8。
因此△CDM周长的最小值为$3+8=11$。
1. 因为等腰△ABC中D是BC中点，故AD⊥BC。由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=24$，代入BC=6，解得$AD=8$。
2. 因为EF是AC的垂直平分线，点C关于EF的对称点为A，因此$CM=AM$。
3. $CD=\frac{1}{2}BC=3$，△CDM的周长为$CD+CM+DM=3+AM+DM$，根据两点之间线段最短，$AM+DM≥ AD$，即$AM+DM$的最小值为8。
因此△CDM周长的最小值为$3+8=11$。
5. (★★)如图,点E在等边△ABC的边BC上,BE=3,射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点,当EP+FP的值最小时,BF=5,则AB的长为 【 】
A.6.5
B.7
C.8
D.9
A.6.5
B.7
C.8
D.9
答案
A
解析
1. 作点E关于射线CD的对称点E'，由CD⊥BC可知E'在BC的延长线上，且CE'=CE。
2. 根据垂线段最短原理，当E'F⊥AB，交CD于点P时，EP+FP=E'P+FP=E'F，此时EP+FP取得最小值。
3. 因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，在Rt△BE'F中，∠BFE'=90°，∠BE'F=30°，因此BE'=2BF=2×5=10。
4. 设AB=BC=x，已知BE=3，则CE=x-3，CE'=CE=x-3，可得BE'=CE'+BC=(x-3)+x=2x-3。
5. 代入BE'=10，得2x-3=10，解得x=6.5，即AB的长为6.5。
2. 根据垂线段最短原理，当E'F⊥AB，交CD于点P时，EP+FP=E'P+FP=E'F，此时EP+FP取得最小值。
3. 因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，在Rt△BE'F中，∠BFE'=90°，∠BE'F=30°，因此BE'=2BF=2×5=10。
4. 设AB=BC=x，已知BE=3，则CE=x-3，CE'=CE=x-3，可得BE'=CE'+BC=(x-3)+x=2x-3。
5. 代入BE'=10，得2x-3=10，解得x=6.5，即AB的长为6.5。
6. (★★)如图，P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为
【】
A.5
B.6
C.7
D.8
【】
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
作点P关于OA的对称点P₁，作点P关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交OA、OB于点M、N，此时△PMN的周长最小。由轴对称性质得：OP₁=OP=OP₂=8，PM=P₁M，PN=P₂N，∠P₁OA=∠POA，∠P₂OB=∠POB，因此∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，△P₁OP₂为等边三角形，故P₁P₂=OP₁=8，即△PMN周长的最小值为8。
7. (★★)如图,在△ABC中,AB=AC=10,点P在边AB上,以点A为圆心,以AP的长为半径作弧,交AC于点Q.再分别以点P,Q为圆心,以大于$\frac{1}{2}PQ$的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,连接AR并延长,交BC于点D.已知AD=8,BC=12.若M,N分别是线段AD和线段AB上的动点,则BM+MN的最小值为.
(第7题) (第8题)
(第7题) (第8题)
答案
解：
由作图过程可知，AD平分∠BAC。
因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一性质，得AD⊥BC，且BD=CD=$\frac{1}{2}BC=6$，
因此点B与点C关于直线AD对称，可得$BM=CM$。
所以$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥ AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
$\frac{48}{5}$
由作图过程可知，AD平分∠BAC。
因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一性质，得AD⊥BC，且BD=CD=$\frac{1}{2}BC=6$，
因此点B与点C关于直线AD对称，可得$BM=CM$。
所以$BM+MN=CM+MN$，当C、M、N三点共线，且$CN⊥ AB$时，$CM+MN$取得最小值，即线段CN的长度为$BM+MN$的最小值。
计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12×8=48$
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CN$，将$AB=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10× CN=48$
解得$CN=\frac{48}{5}$。
$\frac{48}{5}$
