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例 若关于$x$的方程$\dfrac{2x+a}{x-1}=1$的解是正数，则$a$的取值范围是________.
解析:去分母,得$2x+a=x-1$.
解得$x=-a-1$.
∵ 关于$x$的方程$\dfrac{2x+a}{x-1}=1$的解是正数，
∴ $x＞0$，且$x≠1$.
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$.
解得$a＜-1$且$a≠-2$.
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$.
答案:$a＜-1$且$a≠-2$
方法点拨 求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0.
解析:去分母,得$2x+a=x-1$.
解得$x=-a-1$.
∵ 关于$x$的方程$\dfrac{2x+a}{x-1}=1$的解是正数，
∴ $x＞0$，且$x≠1$.
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$.
解得$a＜-1$且$a≠-2$.
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$.
答案:$a＜-1$且$a≠-2$
方法点拨 求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0.
答案
解：方程两边同乘$(x-1)$去分母，得
$2x+a=x-1$
移项解得$x=-a-1$
∵ 原分式方程的解是正数，
∴ $x＞0$，且分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$
解不等式$-a-1＞0$，得$a＜-1$
解不等式$-a-1≠1$，得$a≠-2$
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$。
$2x+a=x-1$
移项解得$x=-a-1$
∵ 原分式方程的解是正数，
∴ $x＞0$，且分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$
解不等式$-a-1＞0$，得$a＜-1$
解不等式$-a-1≠1$，得$a≠-2$
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程转化为整式方程求解，通过去分母消去分母，得到关于x的整式方程，解出用含a的代数式表示的x；第二步，根据题目“解是正数”的要求，得到x＞0的限制条件；第三步，牢记分式方程的分母不能为0，否则原方程无意义，因此还要满足x≠1。将这两个限制条件转化为关于a的不等式，求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
方程两边同乘$(x-1)$去分母，得
$2x+a=x-1$
移项解得$x=-a-1$
∵ 原分式方程的解是正数，
∴ $x＞0$，且分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$
解不等式$-a-1＞0$，得$a＜-1$
解不等式$-a-1≠1$，得$a≠-2$
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$。
【答案】
$a＜-1$且$a≠-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数取值范围的典型题型，解题核心是先将分式方程转化为整式方程求出含参数的解，再根据解的限制条件列不等式求解，尤其要注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程转化为整式方程求解，通过去分母消去分母，得到关于x的整式方程，解出用含a的代数式表示的x；第二步，根据题目“解是正数”的要求，得到x＞0的限制条件；第三步，牢记分式方程的分母不能为0，否则原方程无意义，因此还要满足x≠1。将这两个限制条件转化为关于a的不等式，求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
方程两边同乘$(x-1)$去分母，得
$2x+a=x-1$
移项解得$x=-a-1$
∵ 原分式方程的解是正数，
∴ $x＞0$，且分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $-a-1＞0$，且$-a-1≠1$
解不等式$-a-1＞0$，得$a＜-1$
解不等式$-a-1≠1$，得$a≠-2$
∴ $a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$。
【答案】
$a＜-1$且$a≠-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数取值范围的典型题型，解题核心是先将分式方程转化为整式方程求出含参数的解，再根据解的限制条件列不等式求解，尤其要注意不要遗漏分式分母不为0的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
1. 如果方程$\frac{x-8}{x-7} - \frac{k}{7-x} = 8$有增根，那么$k$的值是 （
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.7
A
）A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.7
答案
A
解析
【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但同时会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路分3步：①先确定原分式方程的增根，即令分母为0得到x的取值；②将原分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
第一步：确定增根
原方程的分母为$x-7$和$7-x$，要使分式有意义，则$x-7≠0$，即$x≠7$，因此该方程的增根为$\boldsymbol{x=7}$。
第二步：去分母转化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$(x-7)$，注意$7-x=-(x-7)$，因此去分母后得：
$x-8 + k = 8(x-7)$
第三步：代入增根求k
将增根$x=7$代入上述整式方程：
左边$=7-8 + k = k-1$
右边$=8×(7-7)=0$
因此$k-1=0$，解得$k=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的典型考法，解题的核心是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程分母为零，二是满足去分母后的整式方程，解题时注意去分母的符号变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但同时会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路分3步：①先确定原分式方程的增根，即令分母为0得到x的取值；②将原分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出参数k的值。
【解析】
第一步：确定增根
原方程的分母为$x-7$和$7-x$，要使分式有意义，则$x-7≠0$，即$x≠7$，因此该方程的增根为$\boldsymbol{x=7}$。
第二步：去分母转化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$(x-7)$，注意$7-x=-(x-7)$，因此去分母后得：
$x-8 + k = 8(x-7)$
第三步：代入增根求k
将增根$x=7$代入上述整式方程：
左边$=7-8 + k = k-1$
右边$=8×(7-7)=0$
因此$k-1=0$，解得$k=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的典型考法，解题的核心是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程分母为零，二是满足去分母后的整式方程，解题时注意去分母的符号变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.7
2. 若关于x的分式方程$\frac{3}{x-2}=\frac{a}{x}+\frac{4}{x(x-2)}$有增根，则增根可能为（
A.0
B.2
C.0或2
D.1
A
）A.0
B.2
C.0或2
D.1
答案
A
解析
【分析】
要解决分式方程增根的问题，首先明确增根需满足两个条件：①使原分式方程的最简公分母为0；②是去分母后所得整式方程的根。解题时先找出使最简公分母为0的所有x的候选值，再代入整式方程验证，满足整式方程的才是真正的增根。
【解析】
首先确定原分式方程的最简公分母为$x(x-2)$。
1. 求候选增根：若分式方程有增根，则最简公分母为0，即$x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘$x(x-2)$，得$3x = a(x-2) + 4$。
3. 验证候选增根：
把$x=2$代入整式方程，左边$=3×2=6$，右边$=a×0 +4=4$，左右两边不相等，所以$x=2$不是整式方程的根，不是原分式方程的增根；
把$x=0$代入整式方程，左边$=3×0=0$，右边$=a×(-2)+4$，可得$-2a+4=0$，解得$a=2$，存在符合条件的$a$，因此$x=0$是原分式方程的增根。
综上，增根只能为0。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题容易误选C，需注意增根必须同时满足“使最简公分母为0”和“是去分母后整式方程的根”两个条件，不能仅通过最简公分母为0直接判断，必须代入整式方程验证。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程增根的问题，首先明确增根需满足两个条件：①使原分式方程的最简公分母为0；②是去分母后所得整式方程的根。解题时先找出使最简公分母为0的所有x的候选值，再代入整式方程验证，满足整式方程的才是真正的增根。
【解析】
首先确定原分式方程的最简公分母为$x(x-2)$。
1. 求候选增根：若分式方程有增根，则最简公分母为0，即$x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘$x(x-2)$，得$3x = a(x-2) + 4$。
3. 验证候选增根：
把$x=2$代入整式方程，左边$=3×2=6$，右边$=a×0 +4=4$，左右两边不相等，所以$x=2$不是整式方程的根，不是原分式方程的增根；
把$x=0$代入整式方程，左边$=3×0=0$，右边$=a×(-2)+4$，可得$-2a+4=0$，解得$a=2$，存在符合条件的$a$，因此$x=0$是原分式方程的增根。
综上，增根只能为0。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题容易误选C，需注意增根必须同时满足“使最简公分母为0”和“是去分母后整式方程的根”两个条件，不能仅通过最简公分母为0直接判断，必须代入整式方程验证。
【难度系数】
0.6
1. 有下列方程：
① $\frac{2}{3}x^2 = 1$；② $\frac{2}{π} - x^2 = 1$；③ $\frac{2}{3x} = x$；④ $\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$；⑤ $\frac{1}{x} = 2$；⑥ $2x - 3y = 0$；⑦ $\frac{x+1}{2} - 3 = \frac{2x}{7}$；
⑧ $\frac{x+1}{x-2} + 3$；⑨ $\frac{3}{x-2} = \frac{5}{x}$。其中是整式方程的是
① $\frac{2}{3}x^2 = 1$；② $\frac{2}{π} - x^2 = 1$；③ $\frac{2}{3x} = x$；④ $\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$；⑤ $\frac{1}{x} = 2$；⑥ $2x - 3y = 0$；⑦ $\frac{x+1}{2} - 3 = \frac{2x}{7}$；
⑧ $\frac{x+1}{x-2} + 3$；⑨ $\frac{3}{x-2} = \frac{5}{x}$。其中是整式方程的是
①②⑥⑦
；是分式方程的是③④⑤⑨
。（填序号）答案
整式方程：①②⑥⑦；分式方程：③④⑤⑨
解析
【分析】
解题前先明确两个核心定义：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。解题思路分为三步：第一步，先筛选掉不属于方程的式子（方程是含有未知数的等式，无等号的式子直接排除）；第二步，对剩余方程逐一检查分母的构成：若分母仅为常数，不存在未知数，则为整式方程；若分母中含有未知数，则为分式方程；注意π是固定常数，不属于未知数，不要误判。
【解析】
首先明确判断依据：
1. 整式方程：分母仅含常数，未知数都在分子的有理方程；
2. 分式方程：分母中含有未知数的有理方程。
第一步，排除非方程：⑧没有等号，不是等式，不属于方程，直接排除。
第二步，逐一判断剩余方程：
①$\frac{2}{3}x^2 = 1$：分母为3（常数），无未知数，是整式方程；
②$\frac{2}{π} - x^2 = 1$：π是常数，分母无未知数，是整式方程；
③$\frac{2}{3x} = x$：分母为3x，含未知数x，是分式方程；
④$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$：分母为x-2，含未知数x，是分式方程；
⑤$\frac{1}{x} = 2$：分母为x，含未知数x，是分式方程；
⑥$2x - 3y = 0$：无含未知数的分母，是整式方程；
⑦$\frac{x+1}{2} - 3 = \frac{2x}{7}$：分母为2、7（均为常数），无未知数，是整式方程；
⑨$\frac{3}{x-2} = \frac{5}{x}$：分母为x-2、x，均含未知数x，是分式方程。
【答案】
整式方程：①②⑥⑦；分式方程：③④⑤⑨
【知识点】
整式方程的定义；分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是牢记两类方程的区分核心：观察分母中是否含有未知数，解题时要先排除非方程的式子，同时注意π是常数，不要当做未知数判断。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心定义：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。解题思路分为三步：第一步，先筛选掉不属于方程的式子（方程是含有未知数的等式，无等号的式子直接排除）；第二步，对剩余方程逐一检查分母的构成：若分母仅为常数，不存在未知数，则为整式方程；若分母中含有未知数，则为分式方程；注意π是固定常数，不属于未知数，不要误判。
【解析】
首先明确判断依据：
1. 整式方程：分母仅含常数，未知数都在分子的有理方程；
2. 分式方程：分母中含有未知数的有理方程。
第一步，排除非方程：⑧没有等号，不是等式，不属于方程，直接排除。
第二步，逐一判断剩余方程：
①$\frac{2}{3}x^2 = 1$：分母为3（常数），无未知数，是整式方程；
②$\frac{2}{π} - x^2 = 1$：π是常数，分母无未知数，是整式方程；
③$\frac{2}{3x} = x$：分母为3x，含未知数x，是分式方程；
④$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$：分母为x-2，含未知数x，是分式方程；
⑤$\frac{1}{x} = 2$：分母为x，含未知数x，是分式方程；
⑥$2x - 3y = 0$：无含未知数的分母，是整式方程；
⑦$\frac{x+1}{2} - 3 = \frac{2x}{7}$：分母为2、7（均为常数），无未知数，是整式方程；
⑨$\frac{3}{x-2} = \frac{5}{x}$：分母为x-2、x，均含未知数x，是分式方程。
【答案】
整式方程：①②⑥⑦；分式方程：③④⑤⑨
【知识点】
整式方程的定义；分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是牢记两类方程的区分核心：观察分母中是否含有未知数，解题时要先排除非方程的式子，同时注意π是常数，不要当做未知数判断。
【难度系数】
0.8
2. 在框图中解分式方程的4个步骤中,根据是等式的性质的是 (
解分式方程:$\frac{x}{x-2}-\frac{3-x}{x-2}=1$.
解:$x-(3-x)=x-2$. ①
$x-3+x=x-2$. ②
$x+x-x=-2+3$. ③
$x=1$. ④
经检验,$x=1$是原方程的解.
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
B
)解分式方程:$\frac{x}{x-2}-\frac{3-x}{x-2}=1$.
解:$x-(3-x)=x-2$. ①
$x-3+x=x-2$. ②
$x+x-x=-2+3$. ③
$x=1$. ④
经检验,$x=1$是原方程的解.
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案
B
解析
【分析】
首先回忆等式的两条基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数/整式，等式仍成立；性质2为等式两边乘（或除以）同一个不为0的数/整式，等式仍成立。接下来逐一判断每个解题步骤的依据：步骤①是给方程两边同乘公分母去分母，依据等式性质2；步骤②是去括号，依据去括号法则；步骤③是移项，依据等式性质1；步骤④是合并同类项，依据合并同类项法则，即可选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确等式的性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
对各步骤逐一分析：
步骤①：给原分式方程两边同时乘公分母$(x-2)$去分母，依据是等式的性质2；
步骤②：将$x-(3-x)$展开为$x-3+x$，属于去括号操作，依据是去括号法则，不属于等式的性质；
步骤③：将含$x$的项移到方程左侧、常数项移到右侧，属于移项操作，依据是等式的性质1；
步骤④：合并同类项得到$x=1$，依据是合并同类项法则，不属于等式的性质。
因此依据为等式性质的是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；分式方程的解法；去括号与移项
【点评】
本题考查解分式方程各步骤的原理，需要区分等式性质和整式运算的相关法则，核心是对等式性质的理解以及解方程常规步骤的掌握，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
首先回忆等式的两条基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数/整式，等式仍成立；性质2为等式两边乘（或除以）同一个不为0的数/整式，等式仍成立。接下来逐一判断每个解题步骤的依据：步骤①是给方程两边同乘公分母去分母，依据等式性质2；步骤②是去括号，依据去括号法则；步骤③是移项，依据等式性质1；步骤④是合并同类项，依据合并同类项法则，即可选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确等式的性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。
对各步骤逐一分析：
步骤①：给原分式方程两边同时乘公分母$(x-2)$去分母，依据是等式的性质2；
步骤②：将$x-(3-x)$展开为$x-3+x$，属于去括号操作，依据是去括号法则，不属于等式的性质；
步骤③：将含$x$的项移到方程左侧、常数项移到右侧，属于移项操作，依据是等式的性质1；
步骤④：合并同类项得到$x=1$，依据是合并同类项法则，不属于等式的性质。
因此依据为等式性质的是①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；分式方程的解法；去括号与移项
【点评】
本题考查解分式方程各步骤的原理，需要区分等式性质和整式运算的相关法则，核心是对等式性质的理解以及解方程常规步骤的掌握，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
