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3. 解分式方程$\frac{2x}{x+1} - 2 = \frac{1}{x+1}$时，在方程两边同乘$x+1$，把原方程化为$2x - 2(x+1) = 1$，这一变形过程体现的数学思想主要是（
A.类比思想
B.方程思想
C.函数思想
D.转化思想
D
）A.类比思想
B.方程思想
C.函数思想
D.转化思想
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确各选项对应的数学思想的核心含义，再结合题干中的变形过程判断所属思想。分式方程含有分母，求解难度较大，而整式方程的求解是我们已经掌握的内容，这一变形是把分式方程转化为整式方程，本质是将陌生的、难解决的问题转化为熟悉的、易解决的问题，对应转化思想的特征，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 类比思想是通过对比两类相似事物的特征，从已知事物性质推导未知事物性质的思想，本题变形未涉及类比过程，不符合要求；
B. 方程思想是指通过设未知数、建立方程模型来解决问题的思想，本题是解方程的变形过程，不属于建立方程的环节，不符合要求；
C. 函数思想是利用函数的变量关系、性质分析解决问题的思想，本题未涉及函数相关内容，不符合要求；
D. 转化思想是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题求解的思想，题干中将分式方程去分母转化为整式方程，正是将难求解的分式方程转化为易求解的整式方程的过程，体现了转化思想，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 数学思想辨析
【点评】
本题结合分式方程的去分母变形过程，考查对常见数学思想的识别，掌握各类数学思想的核心特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确各选项对应的数学思想的核心含义，再结合题干中的变形过程判断所属思想。分式方程含有分母，求解难度较大，而整式方程的求解是我们已经掌握的内容，这一变形是把分式方程转化为整式方程，本质是将陌生的、难解决的问题转化为熟悉的、易解决的问题，对应转化思想的特征，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 类比思想是通过对比两类相似事物的特征，从已知事物性质推导未知事物性质的思想，本题变形未涉及类比过程，不符合要求；
B. 方程思想是指通过设未知数、建立方程模型来解决问题的思想，本题是解方程的变形过程，不属于建立方程的环节，不符合要求；
C. 函数思想是利用函数的变量关系、性质分析解决问题的思想，本题未涉及函数相关内容，不符合要求；
D. 转化思想是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题求解的思想，题干中将分式方程去分母转化为整式方程，正是将难求解的分式方程转化为易求解的整式方程的过程，体现了转化思想，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 数学思想辨析
【点评】
本题结合分式方程的去分母变形过程，考查对常见数学思想的识别，掌握各类数学思想的核心特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 解下列方程：
(1)$\frac{2}{x-1}=\frac{5}{2x}$；
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$；
(3)$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$；
(4)$\frac{5}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$。
(1)$\frac{2}{x-1}=\frac{5}{2x}$；
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$；
(3)$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$；
(4)$\frac{5}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$。
答案
(1) $x=5$
(2) 原分式方程无解
(3) $x=3$
(4) 原分式方程无解
(2) 原分式方程无解
(3) $x=3$
(4) 原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）；③解整式方程；④检验：将求得的整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解；若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解。
【解析】
(1) 最简公分母为$2x(x-1)$，方程两边同时乘$2x(x-1)$得：
$2×2x=5(x-1)$
展开计算：$4x=5x-5$
移项得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$2x(x-1)=2×5×4=40≠0$，所以$x=5$是原方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$得：
$x(x+2)-(x+2)(x-2)=8$
展开计算：$x^2+2x-(x^2-4)=8$，化简得$2x+4=8$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是增根，原分式方程无解。
(3) 注意$\frac{1}{4-x}=-\frac{1}{x-4}$，最简公分母为$x-4$，方程两边同时乘$x-4$得：
$(3-x)-1=x-4$
化简得：$2-x=x-4$
移项合并得：$2x=6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-4=-1≠0$，所以$x=3$是原方程的解。
(4) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$得：
$5(x-1)+3(x+1)=6$
展开计算：$5x-5+3x+3=6$，化简得$8x-2=6$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=5$
(2) 原分式方程无解
(3) $x=3$
(4) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的识别
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，检验是解分式方程必不可少的步骤，切勿遗漏，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程（注意不要漏乘不含分母的项）；③解整式方程；④检验：将求得的整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解；若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解。
【解析】
(1) 最简公分母为$2x(x-1)$，方程两边同时乘$2x(x-1)$得：
$2×2x=5(x-1)$
展开计算：$4x=5x-5$
移项得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$2x(x-1)=2×5×4=40≠0$，所以$x=5$是原方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$得：
$x(x+2)-(x+2)(x-2)=8$
展开计算：$x^2+2x-(x^2-4)=8$，化简得$2x+4=8$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是增根，原分式方程无解。
(3) 注意$\frac{1}{4-x}=-\frac{1}{x-4}$，最简公分母为$x-4$，方程两边同时乘$x-4$得：
$(3-x)-1=x-4$
化简得：$2-x=x-4$
移项合并得：$2x=6$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-4=-1≠0$，所以$x=3$是原方程的解。
(4) 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$得：
$5(x-1)+3(x+1)=6$
展开计算：$5x-5+3x+3=6$，化简得$8x-2=6$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=5$
(2) 原分式方程无解
(3) $x=3$
(4) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的识别
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，检验是解分式方程必不可少的步骤，切勿遗漏，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
5. 当$a=$
$\frac{1}{7}$
时,关于$x$的方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{2}{x-1}=1$的解与方程$\frac{x-4}{x}=3$的解相同.答案
$\frac{1}{7}$
解析
【分析】
本题属于同解方程类问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x-4}{x}=3$，得到它的解；第二步将求出的解代入含参数$a$的分式方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{2}{x-1}=1$，转化为关于$a$的方程求解即可，求解过程中要注意分式方程分母不能为0，需要验根。
【解析】
1. 先解方程$\frac{x-4}{x}=3$：
两边同乘$x$（$x≠0$）去分母得：$x-4=3x$
移项合并同类项得：$-2x=4$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，所以$x=-2$是方程$\frac{x-4}{x}=3$的解。
2. 因为两个方程的解相同，所以把$x=-2$代入$\frac{ax}{a-1}-\frac{2}{x-1}=1$得：
$\frac{a×(-2)}{a-1}-\frac{2}{-2-1}=1$
化简得：$\frac{-2a}{a-1}+\frac{2}{3}=1$
两边同乘$3(a-1)$（$a≠1$）去分母得：
$-6a + 2(a-1) = 3(a-1)$
去括号得：$-6a + 2a - 2 = 3a - 3$
移项合并同类项得：$-7a = -1$
解得：$a=\frac{1}{7}$
检验：当$a=\frac{1}{7}$时，$a-1=-\frac{6}{7}≠0$，且此时原方程分母$x-1=-3≠0$，所以$a=\frac{1}{7}$符合要求。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
3. 代入求值
【点评】
本题是分式方程章节的基础常考题，核心是利用同解方程的性质，先求解已知方程的解再代入含参方程求参数，解题时要牢记分式方程必须检验分母不为0，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
本题属于同解方程类问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x-4}{x}=3$，得到它的解；第二步将求出的解代入含参数$a$的分式方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{2}{x-1}=1$，转化为关于$a$的方程求解即可，求解过程中要注意分式方程分母不能为0，需要验根。
【解析】
1. 先解方程$\frac{x-4}{x}=3$：
两边同乘$x$（$x≠0$）去分母得：$x-4=3x$
移项合并同类项得：$-2x=4$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，所以$x=-2$是方程$\frac{x-4}{x}=3$的解。
2. 因为两个方程的解相同，所以把$x=-2$代入$\frac{ax}{a-1}-\frac{2}{x-1}=1$得：
$\frac{a×(-2)}{a-1}-\frac{2}{-2-1}=1$
化简得：$\frac{-2a}{a-1}+\frac{2}{3}=1$
两边同乘$3(a-1)$（$a≠1$）去分母得：
$-6a + 2(a-1) = 3(a-1)$
去括号得：$-6a + 2a - 2 = 3a - 3$
移项合并同类项得：$-7a = -1$
解得：$a=\frac{1}{7}$
检验：当$a=\frac{1}{7}$时，$a-1=-\frac{6}{7}≠0$，且此时原方程分母$x-1=-3≠0$，所以$a=\frac{1}{7}$符合要求。
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
3. 代入求值
【点评】
本题是分式方程章节的基础常考题，核心是利用同解方程的性质，先求解已知方程的解再代入含参方程求参数，解题时要牢记分式方程必须检验分母不为0，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
6. 若关于x的分式方程$\frac{3}{x-a} - \frac{2}{x} = 0$的解为$x=2$，则常数a的值为（
A.$a=-1$
B.$a=1$
C.$a=2$
D.$a=5$
A
）A.$a=-1$
B.$a=1$
C.$a=2$
D.$a=5$
答案
A
解析
【分析】
已知分式方程的解，根据方程解的定义，解代入原方程可使等式成立，因此我们可以将x=2代入原分式方程，得到只含有未知数a的方程，求解该方程即可得到a的值，最后注意检验分母不为0确保结果有效。
【解析】
解：
∵$x=2$是分式方程$\frac{3}{x-a} - \frac{2}{x} = 0$的解
∴将$x=2$代入原方程，得：
$\frac{3}{2-a} - \frac{2}{2} = 0$
化简得：$\frac{3}{2-a} - 1 = 0$
移项得：$\frac{3}{2-a} = 1$
方程两边同时乘$(2-a)$（$2-a≠0$），得：
$3 = 2 - a$
移项解得：$a = 2 - 3 = -1$
检验：当$a=-1$时，分母$2-a=2-(-1)=3≠0$，且原方程分母$x=2≠0$，符合分式方程分母要求。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的性质应用，解题关键是熟练掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一规律，求解参数后注意检验分式分母不为零，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.9
已知分式方程的解，根据方程解的定义，解代入原方程可使等式成立，因此我们可以将x=2代入原分式方程，得到只含有未知数a的方程，求解该方程即可得到a的值，最后注意检验分母不为0确保结果有效。
【解析】
解：
∵$x=2$是分式方程$\frac{3}{x-a} - \frac{2}{x} = 0$的解
∴将$x=2$代入原方程，得：
$\frac{3}{2-a} - \frac{2}{2} = 0$
化简得：$\frac{3}{2-a} - 1 = 0$
移项得：$\frac{3}{2-a} = 1$
方程两边同时乘$(2-a)$（$2-a≠0$），得：
$3 = 2 - a$
移项解得：$a = 2 - 3 = -1$
检验：当$a=-1$时，分母$2-a=2-(-1)=3≠0$，且原方程分母$x=2≠0$，符合分式方程分母要求。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的性质应用，解题关键是熟练掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一规律，求解参数后注意检验分式分母不为零，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.9
7. 若分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数$m$的值为（
A.$-3$
B.$1$
C.$-1$或$1$
D.$-1$
D
）A.$-3$
B.$1$
C.$-1$或$1$
D.$-1$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题的思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，去分母时要注意分母1-x和x-1互为相反数，要处理好符号问题；第二步用含m的代数式表示出方程的解x；第三步结合“解为正整数”“分式方程分母不为0（即x≠1，避免增根）”两个条件，筛选出符合要求的整数m的值。
【解析】
首先整理原分式方程：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$（将$\frac{mx}{1-x}$变形为$-\frac{mx}{x-1}$，负负得正）
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分母为0无意义），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开右边：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$-(m+2)x=-3$
两边同时除以-1得：
$(m+2)x=3$
解得：$x=\frac{3}{m+2}$
已知方程的解为正整数，且$x≠1$：
1. 若$\frac{3}{m+2}$为正整数，则$m+2$是3的正约数，3的正约数为1、3；
2. 当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$3≠1$，符合条件；
3. 当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是增根，不符合要求，舍去。
综上，整数$m$的值为$-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，整数解筛选
【点评】
本题是分式方程与整数解结合的典型题，解题关键是先将分式方程转化为整式方程求通解，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的要求，忘记排除增根对应的m值。
【难度系数】
0.6
解决这道题的思路分为三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，去分母时要注意分母1-x和x-1互为相反数，要处理好符号问题；第二步用含m的代数式表示出方程的解x；第三步结合“解为正整数”“分式方程分母不为0（即x≠1，避免增根）”两个条件，筛选出符合要求的整数m的值。
【解析】
首先整理原分式方程：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$（将$\frac{mx}{1-x}$变形为$-\frac{mx}{x-1}$，负负得正）
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分母为0无意义），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开右边：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$-(m+2)x=-3$
两边同时除以-1得：
$(m+2)x=3$
解得：$x=\frac{3}{m+2}$
已知方程的解为正整数，且$x≠1$：
1. 若$\frac{3}{m+2}$为正整数，则$m+2$是3的正约数，3的正约数为1、3；
2. 当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$3≠1$，符合条件；
3. 当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是增根，不符合要求，舍去。
综上，整数$m$的值为$-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，整数解筛选
【点评】
本题是分式方程与整数解结合的典型题，解题关键是先将分式方程转化为整式方程求通解，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的要求，忘记排除增根对应的m值。
【难度系数】
0.6
8. 关于$x$的方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{a}{x^2-4}=1$的解是正数，求实数$a$的取值范围.
答案
解关于 x 的方程 $\frac{x-2}{x+2} - \frac{a}{x^2-4} = 1$, 得
$x=\frac{8-a}{4}$.
∵ 此方程的解为正数，
∴ $\frac{8-a}{4}＞0$, 且$\frac{8-a}{4}≠\pm2$.
解得 $a＜8$ 且 $a≠0$ 和 $a≠16$.
∴ $a$ 的取值范围为 $a＜8$ 且 $a≠0$.
$x=\frac{8-a}{4}$.
∵ 此方程的解为正数，
∴ $\frac{8-a}{4}＞0$, 且$\frac{8-a}{4}≠\pm2$.
解得 $a＜8$ 且 $a≠0$ 和 $a≠16$.
∴ $a$ 的取值范围为 $a＜8$ 且 $a≠0$.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，先把分式方程转化为整式方程，解出用参数a表示的x的表达式；其次，根据“方程的解是正数”列出不等式，保证x＞0；最后，要注意分式方程的分母不能为0，也就是解出的x不能是原方程的增根（原方程分母为x+2和x²-4，即x≠±2），要排除使x为增根的a的取值，综合以上条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{x-2}{x+2}-\frac{a}{(x+2)(x-2)}=1$，
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$（$x≠±2$），得：
$(x-2)^2 - a = x^2 - 4$，
展开左边得：$x^2 -4x +4 -a = x^2 -4$，
消去两边的$x^2$，移项整理得：$-4x = a - 8$，
解得：$x=\frac{8-a}{4}$。
∵ 方程的解是正数，
∴ $\frac{8-a}{4}＞0$，解得$a＜8$。
又
∵ 分母不能为0，即$x≠±2$，
当$x=2$时，$\frac{8-a}{4}=2$，解得$a=0$，故$a≠0$；
当$x=-2$时，$\frac{8-a}{4}=-2$，解得$a=16$，而$a＜8$，故$a=16$不符合要求，无需纳入限制。
综上，$a$的取值范围是$a＜8$且$a≠0$。
【答案】
$a＜8$且$a≠0$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，漏排除增根对应的参数值，解题时需先求出含参数的解，再结合解的性质和增根限制综合列不等式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路思考：首先，先把分式方程转化为整式方程，解出用参数a表示的x的表达式；其次，根据“方程的解是正数”列出不等式，保证x＞0；最后，要注意分式方程的分母不能为0，也就是解出的x不能是原方程的增根（原方程分母为x+2和x²-4，即x≠±2），要排除使x为增根的a的取值，综合以上条件就能得到a的取值范围。
【解析】
解：原方程可变形为$\frac{x-2}{x+2}-\frac{a}{(x+2)(x-2)}=1$，
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$（$x≠±2$），得：
$(x-2)^2 - a = x^2 - 4$，
展开左边得：$x^2 -4x +4 -a = x^2 -4$，
消去两边的$x^2$，移项整理得：$-4x = a - 8$，
解得：$x=\frac{8-a}{4}$。
∵ 方程的解是正数，
∴ $\frac{8-a}{4}＞0$，解得$a＜8$。
又
∵ 分母不能为0，即$x≠±2$，
当$x=2$时，$\frac{8-a}{4}=2$，解得$a=0$，故$a≠0$；
当$x=-2$时，$\frac{8-a}{4}=-2$，解得$a=16$，而$a＜8$，故$a=16$不符合要求，无需纳入限制。
综上，$a$的取值范围是$a＜8$且$a≠0$。
【答案】
$a＜8$且$a≠0$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，漏排除增根对应的参数值，解题时需先求出含参数的解，再结合解的性质和增根限制综合列不等式求解。
【难度系数】
0.7
