9. 若关于$x$的分式方程$\frac{m - x}{x - 3} + 3 = \frac{8}{3 - x}$的解为整数，关于$y$的不等式组$\begin{cases}\frac{y}{4} - \frac{y - 1}{6} ＜ \frac{1}{2} \\3y - 5 ≥ m\end{cases}$，有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数$m$的值之和为 ______ 。

$-16$

【分析】
解题思路分两步：①先求解分式方程，得到含参数m的x的表达式，根据分式方程分母不为0（排除增根）、解为整数，得到m的初步限制条件；②再求解关于y的不等式组，根据“有且仅有2个偶数解”确定m的取值范围，最后结合两个条件筛选出所有符合的整数m，求和即可。
【解析】
1. 求解分式方程：
原方程$\frac{m - x}{x - 3} + 3 = \frac{8}{3 - x}$，两边同乘最简公分母$(x-3)$消去分母，得：
$m - x + 3(x - 3) = -8$
展开整理：$m - x + 3x - 9 = -8$，即$2x = 1 - m$，解得$x=\frac{1 - m}{2}$。
∵ 分式方程分母不能为0，
∴ $x ≠ 3$，即$\frac{1 - m}{2} ≠ 3$，解得$m ≠ -5$。
又
∵ 方程的解为整数，
∴ $1 - m$是偶数，即$m$为奇数。
2. 求解不等式组：
$\begin{cases}\frac{y}{4} - \frac{y - 1}{6} ＜ \frac{1}{2} ①\\3y - 5 ≥ m ②\end{cases}$
解不等式①：两边同乘12消分母，得$3y - 2(y - 1) ＜ 6$，化简得$y ＜ 4$。
解不等式②：移项得$3y ≥ m + 5$，解得$y ≥ \frac{m + 5}{3}$。
∴ 不等式组的解集为$\frac{m + 5}{3} ≤ y ＜ 4$。
∵ 不等式组有且仅有2个偶数解，小于4的偶数为2、0、-2……，要刚好2个偶数解，只能是2和0，因此：
$-2 ＜ \frac{m + 5}{3} ≤ 0$
两边同乘3得：$-6 ＜ m + 5 ≤ 0$，解得$-11 ＜ m ≤ -5$。
结合之前的条件$m ≠ -5$且$m$为奇数，可得符合条件的整数$m$为$-9$、$-7$。
3. 求和：$-9 + (-7) = -16$。
【答案】
$-16$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题是分式方程与不等式组的综合题型，解题时需注意排除分式方程的增根，同时要根据整数解的个数准确推导参数的取值范围，对参数范围的边界取值要仔细验证，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.3

10. 若关于$x$的分式方程$\frac{kx}{x^2 -4} = \frac{3}{x+2} - \frac{2}{x-2}$无解，求$k$的值.

分式方程两边都乘最简公分母$(x+2)·(x-2)$,得 $kx=3(x-2)-2(x+2)$.
整理,得$(k-1)x=-10$.
当$k=1$时,上述方程无解,从而原分式方程无解;
当$k≠1$时,分式方程的增根为2或-2.
当$x=2$时,$2(k-1)=-10$,
解得$k=-4$;
当$x=-2$时,$-2(k-1)=-10$,
解得$k=6$.
综上所述,当$k$的值为1或-4或6时,分式方程无解.

【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的值）。解题时先通过去分母将分式方程转化为整式方程，再分别对上述两种情况分类讨论，最后汇总所有符合条件的k值即可。
【解析】
1. 去分母消元：
分式方程两边都乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$kx=3(x-2)-2(x+2)$
整理整式方程得：$(k-1)x=-10$
2. 分类讨论无解的情况：
① 整式方程本身无解的情况：
当$k-1=0$即$k=1$时，整式方程变为$0·x=-10$，方程无解，因此原分式方程也无解。
② 整式方程的解为增根的情况：
当$k≠1$时，整式方程有解，若原分式方程无解，则该解为原分式方程的增根，原分式分母为0时$x=2$或$x=-2$，即增根为2或-2：
把$x=2$代入$(k-1)x=-10$，得$2(k-1)=-10$，解得$k=-4$；
把$x=-2$代入$(k-1)x=-10$，得$-2(k-1)=-10$，解得$k=6$。
综上所述，当$k$的值为1或-4或6时，分式方程无解。
【答案】
$k$的值为$1$或$-4$或$6$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解判定
3. 解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两种情形，尤其注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.5

11. 阅读下面的材料,解答后面的问题.
解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为$y-\frac{4}{y}=0$,方程两边同时乘$y$,得$y^2 -4=0$.
解得$y=\pm2$.
经检验,$y=\pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
∴ 当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得$x=-1$,
当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
∴ 原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题:
(1)若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为;
(2)若在方程$\frac{x-1}{x+1}-\frac{4x+4}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x+1}$,则原方程可化为;
(3)仿照上述换元法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.

(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2) $y-\frac{4}{y}=0$
(3) $x=-\frac{1}{2}$

【分析】
本题考查换元法在分式方程中的应用，解题思路如下：
1. 前两小问为换元基础变形：先观察原方程中分式的结构，把含x的分式整体用设定的y代换，对应调整系数即可得到变形后的方程；
2. 第三小问先对原方程整理，将常数项-1转化为分母为(x-1)的分式，合并后可发现两个分式互为倒数，再仿照材料设对应换元变量，将原方程转化为简单分式方程求解，最后回代求x并检验是否为增根。
【解析】
(1) 已知$y=\frac{x-1}{x}$，则$\frac{x-1}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{x-1}{x}=\frac{y}{4}$，$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{y}$，代入原方程得$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$。
(2) 已知$y=\frac{x-1}{x+1}$，则$\frac{4x+4}{x-1}=\frac{4(x+1)}{x-1}=\frac{4}{y}$，代入原方程得$y-\frac{4}{y}=0$。
(3) 先整理原方程：
将$-1$改写为$-\frac{x-1}{x-1}$，原方程变形为：
$\frac{x-1}{x+2}-(\frac{3}{x-1}+\frac{x-1}{x-1})=0$
合并得$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$
方程两边同时乘$y$得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$
经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，去分母得$x-1=x+2$，$-1=2$，方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，去分母得$x-1=-(x+2)$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$
(2) $y-\frac{4}{y}=0$
(3) $x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
换元法，分式方程求解，分式化简
【点评】
本题通过换元法简化分式方程的求解过程，需要先观察分式的结构特征找到可整体代换的部分，求解后要注意检验分式方程的增根，熟练掌握分式的通分变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7