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问题导引
某校组织学生开展以“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4 000元，购买茶具的费用为3 200元. 其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，且扇子的单价比茶具的单价便宜3元. 求购买扇子的单价为多少元？
分析上述问题中的等量关系，如果设扇子的单价为x元，那么可列方程为.
上述方程和以前学习过的方程有什么不同？
某校组织学生开展以“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4 000元，购买茶具的费用为3 200元. 其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，且扇子的单价比茶具的单价便宜3元. 求购买扇子的单价为多少元？
分析上述问题中的等量关系，如果设扇子的单价为x元，那么可列方程为.
上述方程和以前学习过的方程有什么不同？
答案
解：
设扇子的单价为$x$元，则茶具的单价为$(x+3)$元。
购买扇子的数量为$\frac{4000}{x}$，购买茶具的数量为$\frac{3200}{x+3}$，
根据题意可列方程：
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$
该方程的分母中含有未知数，之前学习过的一元一次方程等整式方程的分母中不含有未知数。
设扇子的单价为$x$元，则茶具的单价为$(x+3)$元。
购买扇子的数量为$\frac{4000}{x}$，购买茶具的数量为$\frac{3200}{x+3}$，
根据题意可列方程：
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$
该方程的分母中含有未知数，之前学习过的一元一次方程等整式方程的分母中不含有未知数。
解析
【分析】
首先明确题目的核心等量关系：购买扇子的数量=2×购买茶具的数量。根据设出的扇子单价为x元，先推导茶具的单价：已知扇子单价比茶具便宜3元，因此茶具单价为(x+3)元。再根据“数量=总价÷单价”的基本关系，分别表示出扇子的总数量和茶具的总数量，代入等量关系即可列出方程；最后观察所列方程的分母特征，和之前学的整式方程对比就能得出二者的区别。
【解析】
设扇子的单价为$x$元，则茶具的单价为$(x+3)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购买扇子的数量为$\frac{4000}{x}$，购买茶具的数量为$\frac{3200}{x+3}$，
结合“扇子的数量是茶具数量的2倍”的等量关系，可列方程：
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$
对比之前学习的整式方程，该方程的分母中含有未知数，而整式方程的分母不含未知数。
【答案】
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$；该方程的分母中含有未知数，之前学习的整式方程的分母中不含有未知数。
【知识点】
列分式方程、分式方程的概念、数量关系应用
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，核心考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时要准确对应不同物品的总价、单价、数量三者的对应关系，同时能通过分母特征区分分式方程与整式方程，是后续学习分式方程解法及实际应用的基础。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的核心等量关系：购买扇子的数量=2×购买茶具的数量。根据设出的扇子单价为x元，先推导茶具的单价：已知扇子单价比茶具便宜3元，因此茶具单价为(x+3)元。再根据“数量=总价÷单价”的基本关系，分别表示出扇子的总数量和茶具的总数量，代入等量关系即可列出方程；最后观察所列方程的分母特征，和之前学的整式方程对比就能得出二者的区别。
【解析】
设扇子的单价为$x$元，则茶具的单价为$(x+3)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购买扇子的数量为$\frac{4000}{x}$，购买茶具的数量为$\frac{3200}{x+3}$，
结合“扇子的数量是茶具数量的2倍”的等量关系，可列方程：
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$
对比之前学习的整式方程，该方程的分母中含有未知数，而整式方程的分母不含未知数。
【答案】
$\frac{4000}{x} = 2×\frac{3200}{x+3}$；该方程的分母中含有未知数，之前学习的整式方程的分母中不含有未知数。
【知识点】
列分式方程、分式方程的概念、数量关系应用
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，核心考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时要准确对应不同物品的总价、单价、数量三者的对应关系，同时能通过分母特征区分分式方程与整式方程，是后续学习分式方程解法及实际应用的基础。
【难度系数】
0.8
知识点2 解分式方程
1. 解分式方程的思路：
2. 解分式方程的步骤：
①
易错提示
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应做如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解.
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解.
1. 解分式方程的思路：
2. 解分式方程的步骤：
①
去分母
；②解整式方程
；③检验
；④得出结论
.易错提示
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应做如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解.
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解.
答案
①去分母；②解整式方程；③检验；④得出结论
解析
【分析】
这道题考查解分式方程的基本步骤，我们可以结合给出的转化思路推导：首先要将陌生的分式方程转化为我们熟悉的整式方程，对应的第一步操作就是去分母；得到整式方程后，接下来需要求解这个整式方程；由于去分母过程中可能产生使原方程分母为0的增根，因此求出整式方程的解后必须进行检验；最后根据检验结果，确定原分式方程的解，也就是得出最终结论。
【解析】
解分式方程的标准步骤为：
①去分母：在方程两边同时乘各分母的最简公分母，约去分母，把分式方程转化为整式方程；
②解整式方程：按照整式方程的求解方法，计算得到整式方程的根；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，判断最简公分母的值是否为0，确认该根是否为增根；
④得出结论：根据检验结果，说明整式方程的根是否是原分式方程的解，若为增根则原分式方程无解。
【答案】
①去分母；②解整式方程；③检验；④得出结论
【知识点】
解分式方程步骤，分式方程验根
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查解分式方程的标准流程，需要注意检验是解分式方程必不可少的环节，不可遗漏，否则容易忽略增根导致解题错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查解分式方程的基本步骤，我们可以结合给出的转化思路推导：首先要将陌生的分式方程转化为我们熟悉的整式方程，对应的第一步操作就是去分母；得到整式方程后，接下来需要求解这个整式方程；由于去分母过程中可能产生使原方程分母为0的增根，因此求出整式方程的解后必须进行检验；最后根据检验结果，确定原分式方程的解，也就是得出最终结论。
【解析】
解分式方程的标准步骤为：
①去分母：在方程两边同时乘各分母的最简公分母，约去分母，把分式方程转化为整式方程；
②解整式方程：按照整式方程的求解方法，计算得到整式方程的根；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，判断最简公分母的值是否为0，确认该根是否为增根；
④得出结论：根据检验结果，说明整式方程的根是否是原分式方程的解，若为增根则原分式方程无解。
【答案】
①去分母；②解整式方程；③检验；④得出结论
【知识点】
解分式方程步骤，分式方程验根
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查解分式方程的标准流程，需要注意检验是解分式方程必不可少的环节，不可遗漏，否则容易忽略增根导致解题错误。
【难度系数】
0.9
知识点3）分式方程的解
使分式方程等号左、右两边
使分式方程等号左、右两边
相等
且分母不等于
0的未知数的值，叫作分式方程的解。答案
相等；不等于
解析
【分析】
本题考查分式方程解的基本定义，解题时先回忆方程解的通用概念，再结合分式的特殊要求推导即可。首先，所有方程的解的核心特征都是能使等号左右两边的值相等，而分式方程中含有分母为未知数的分式，分式有意义的前提是分母不为0，因此分式方程的解还要额外满足分母不等于0的要求，据此就能填出两个空。
【解析】
根据相关定义：①方程的解是使等号左、右两边相等的未知数的值，这是所有方程解的共性；②分式有意义的条件是分母不等于0，分式方程中分母含有未知数，因此它的解必须保证所有分母都不为0，否则分式无意义，等式也不成立。因此两个空依次填“相等”“不等于”。
【答案】
相等；不等于
【知识点】
1.分式方程的解的定义
2.分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对分式方程解的定义的记忆与理解，要注意分式方程的解比整式方程的解多了分母不为0的限制条件，这也是后续解分式方程需要验根的核心原因。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程解的基本定义，解题时先回忆方程解的通用概念，再结合分式的特殊要求推导即可。首先，所有方程的解的核心特征都是能使等号左右两边的值相等，而分式方程中含有分母为未知数的分式，分式有意义的前提是分母不为0，因此分式方程的解还要额外满足分母不等于0的要求，据此就能填出两个空。
【解析】
根据相关定义：①方程的解是使等号左、右两边相等的未知数的值，这是所有方程解的共性；②分式有意义的条件是分母不等于0，分式方程中分母含有未知数，因此它的解必须保证所有分母都不为0，否则分式无意义，等式也不成立。因此两个空依次填“相等”“不等于”。
【答案】
相等；不等于
【知识点】
1.分式方程的解的定义
2.分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对分式方程解的定义的记忆与理解，要注意分式方程的解比整式方程的解多了分母不为0的限制条件，这也是后续解分式方程需要验根的核心原因。
【难度系数】
0.9
