知识梳理
知识点 平方差公式
1. 符号语言：.
2. 文字语言：两个数的与这两个数的的，等于这两个数的.
易错提示
1. 结构判断错误. 不能准确判断式子是否符合平方差公式的结构特征. 如计算$(a+b)(b-a)$，未将其变形为符合公式的形式，导致计算错误.
2. 这里的$a,b$既可以是单项式，也可以是多项式.

1. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
2. 和 差 积 平方差

【分析】
本题考查平方差公式的基础表述，解题思路如下：首先明确考点是平方差公式的符号语言和文字语言记忆；第1问要回忆平方差公式的代数表达形式，即两个数的和与差相乘的运算等式；第2问对应符号公式的结构，依次匹配文字描述：左边第一个因式是两数相加即“和”，第二个因式是两数相减即“差”，两个因式是相乘关系即“积”，右边是两数平方相减即“平方差”，按顺序填入即可。
【解析】
1. 平方差公式的符号语言是用字母表示的运算等式，即两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，因此填写$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
2. 结合符号公式的结构：$(a+b)$对应两个数的和，$(a-b)$对应两个数的差，两者相乘是两个因式的积，结果$a^2-b^2$是两个数的平方差，因此依次填写对应内容即可。
【答案】
1. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
2. 和；差；积；平方差
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是基础概念识记题，核心考查对平方差公式基本内容的掌握，是后续运用平方差公式进行整式简便运算、因式分解的重要基础，学习时需准确把握公式的结构特征，牢记符号和文字两种表述形式，避免与完全平方公式混淆。
【难度系数】
0.9

例 若$(x+a)(x-5)=x^2+bx-10$,则$(2a+b)·(2a-b)$的值是 （）

A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
分析:$\because (x+a)(x-5)=x^2+(a-5)x-5a$,
$(x+a)(x-5)=x^2+bx-10$,
$\therefore x^2+(a-5)x-5a=x^2+bx-10$.
$\therefore a-5=b,-5a=-10$.
$\therefore a=2,b=-3$.
$\therefore (2a+b)(2a-b)=4a^2-b^2=4×2^2-(-3)^2=16-9=7$.
答案:B
方法点拨 根据多项式乘多项式的法则,可得$(x+a)(x-5)=x^2+(a-5)x-5a$,从而求出$a,b$的值,进而代入即可求解.

B

【分析】
解题时先观察等式结构，左边是两个一次二项式相乘，右边是展开后的二次三项式，首先利用多项式乘多项式法则把左边展开，再根据两个多项式相等时对应项的系数相等，列出关于a、b的方程求出a、b的值；再观察所求代数式$(2a+b)(2a-b)$的结构，符合平方差公式的特征，用平方差公式化简后代入a、b的值计算即可。
【解析】
第一步：展开左边的多项式乘积
根据多项式乘多项式法则：
$(x+a)(x-5)=x· x -5· x +a· x -5· a = x^2 + (a-5)x -5a$
第二步：利用多项式相等的性质求a、b
已知$(x+a)(x-5)=x^2+bx-10$，因此两个多项式对应项系数相等：
① 常数项对应相等：$-5a=-10$，解得$a=2$
② 一次项系数对应相等：$a-5=b$，将$a=2$代入得$b=2-5=-3$
第三步：计算所求代数式的值
观察$(2a+b)(2a-b)$，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，其中$m=2a$，$n=b$，因此化简得：
$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2$
将$a=2$，$b=-3$代入上式：
$4× 2^2 - (-3)^2=4×4 -9=16-9=7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的性质；平方差公式
【点评】
本题属于基础综合题，将整式乘法运算和公式应用结合考查，解题核心是抓住多项式相等时对应系数相等的性质求出参数，再利用公式简化运算，能有效考查学生对整式运算相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8

如图,在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$,把余下的部分剪拼成一个长方形.
(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积),可以验证的等式是 （）

A.$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
B.$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
C.$a^{2}+ab=a(a+b)$
D.$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
(2)运用你从(1)中选出的等式,完成下列各题:
①已知$a+b=6,a^{2}-b^{2}=24$,求$a-b$的值;
②计算:$(1-\dfrac{1}{2^{2}})×(1-\dfrac{1}{3^{2}})×(1-\dfrac{1}{4^{2}})×···×(1-\dfrac{1}{2024^{2}})$.

(1) B
(2) ①$\because a+b=6,a^2-b^2=24$,
$\therefore (a+b)(a-b)=24$.
$\therefore 6(a-b)=24$.
$\therefore a-b=4$.
② 原式$= (1-\dfrac{1}{2}) × (1+\dfrac{1}{2}) × (1-\dfrac{1}{3}) × (1+\dfrac{1}{3}) × (1-\dfrac{1}{4}) × (1+\dfrac{1}{4}) × … × (1-\dfrac{1}{2024}) × (1+\dfrac{1}{2024}) =\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×…×\dfrac{2023}{2024}×\dfrac{2025}{2024}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2025}{2024}=\dfrac{2025}{4048}.$

【分析】
(1) 先分别计算两个图形阴影部分的面积：左图是边长为$a$的正方形减去边长为$b$的小正方形，直接作差可得面积；右图是剪拼后的长方形，先确定其长为$a+b$、宽为$a-b$，用长方形面积公式计算面积，两个阴影部分面积相等，对比选项即可得到验证的等式。
(2) ① 直接运用(1)中得到的平方差公式，将$a^2-b^2$变形为$(a+b)(a-b)$，代入已知的$a+b$和$a^2-b^2$的值，即可求解$a-b$。
② 观察每个因式的结构，均符合平方差的形式，先把每个因式用平方差公式分解为两个分数的乘积，再观察乘积中各项的规律，相邻分数可相互约分，最后计算剩余项的乘积即可得到结果。
【解析】
(1) 左图阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；
右图剪拼后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$S_2=(a+b)(a-b)$；
两个图形阴影部分面积相等，因此$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) ① 由平方差公式得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
将$a+b=6$，$a^2 - b^2=24$代入上式，得：
$6×(a-b)=24$，
解得$a-b=4$。
② 利用平方差公式对每个因式变形：$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，因此原式可化为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×\dots×(1-\frac{1}{2024})(1+\frac{1}{2024})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\dots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}\\=&\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}\\=&\frac{2025}{4048}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{B}$
(2) ① $\boxed{4}$；② $\boxed{\dfrac{2025}{4048}}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，分数简便运算
【点评】
本题从几何面积的角度验证平方差公式，再延伸到公式的正向、逆向应用，既考查了对平方差公式结构特征的理解，也考查了灵活运用公式简化计算的能力，解题核心是熟练掌握平方差公式的形式，结合题目特征灵活变形。
【难度系数】
0.7