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9. 已知$28a^3b^m ÷ 28a^nb^2 = b^2$，那么$m$，$n$的值分别为（
A.$m=4,n=3$
B.$m=4,n=1$
C.$m=1,n=3$
D.$m=2,n=3$
A
）A.$m=4,n=3$
B.$m=4,n=1$
C.$m=1,n=3$
D.$m=2,n=3$
答案
A
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路如下：第一步，先根据单项式除以单项式的运算法则，计算出等号左侧式子的结果；第二步，根据等式两边相同字母的指数对应相等的原则，分别列出关于m、n的方程；第三步，解方程求出m、n的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：系数相除，同底数幂分别相除，计算左边的式子：
$28a^3b^m ÷ 28a^nb^2 = (28÷28)·a^{3-n}·b^{m-2} = a^{3-n}b^{m-2}$
已知该结果等于$b^2$，说明等式两边相同字母的指数对应相等：
①对于字母$a$：商中没有$a$，即$a$的指数为0，因此$3-n=0$，解得$n=3$；
②对于字母$b$：$b$的指数相等，因此$m-2=2$，解得$m=4$。
综上，$m=4$，$n=3$。
【答案】
A
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，通过对应字母指数相等建立方程求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路如下：第一步，先根据单项式除以单项式的运算法则，计算出等号左侧式子的结果；第二步，根据等式两边相同字母的指数对应相等的原则，分别列出关于m、n的方程；第三步，解方程求出m、n的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：系数相除，同底数幂分别相除，计算左边的式子：
$28a^3b^m ÷ 28a^nb^2 = (28÷28)·a^{3-n}·b^{m-2} = a^{3-n}b^{m-2}$
已知该结果等于$b^2$，说明等式两边相同字母的指数对应相等：
①对于字母$a$：商中没有$a$，即$a$的指数为0，因此$3-n=0$，解得$n=3$；
②对于字母$b$：$b$的指数相等，因此$m-2=2$，解得$m=4$。
综上，$m=4$，$n=3$。
【答案】
A
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，通过对应字母指数相等建立方程求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
10. 如果$(x-1)^5 ÷ (1-x)^4 = 3x+5$，那么$x$的值为
$-3$
答案
$-3$
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边两个幂的底数，发现x-1和1-x互为相反数，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，可先将分母的底数统一为x-1；同时要注意除法运算中除数不能为0，因此需明确x≠1的隐含条件；再根据同底数幂的除法法则对左边化简，得到关于x的一元一次方程，解方程后验证解满足分母不为0的条件即可。
【解析】
解：
∵$(1-x)^4=(x-1)^4$，且除数不能为0，即$(1-x)^4≠0$，
∴$x≠1$。
原等式可变形为：
$(x-1)^5 ÷ (x-1)^4 = 3x+5$
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，左边化简得：
$x-1 = 3x+5$
移项合并同类项得：
$-2x = 6$
解得：
$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(1-x)^4=(1+3)^4=256≠0$，符合题意。
【答案】
$-3$
【知识点】
同底数幂的除法；偶次幂的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于整式除法与方程结合的基础题，解题的关键是利用偶次幂的性质统一幂的底数，同时不要忽略除数不为0的隐含条件，化简后解一元一次方程即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察等式左边两个幂的底数，发现x-1和1-x互为相反数，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，可先将分母的底数统一为x-1；同时要注意除法运算中除数不能为0，因此需明确x≠1的隐含条件；再根据同底数幂的除法法则对左边化简，得到关于x的一元一次方程，解方程后验证解满足分母不为0的条件即可。
【解析】
解：
∵$(1-x)^4=(x-1)^4$，且除数不能为0，即$(1-x)^4≠0$，
∴$x≠1$。
原等式可变形为：
$(x-1)^5 ÷ (x-1)^4 = 3x+5$
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，左边化简得：
$x-1 = 3x+5$
移项合并同类项得：
$-2x = 6$
解得：
$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(1-x)^4=(1+3)^4=256≠0$，符合题意。
【答案】
$-3$
【知识点】
同底数幂的除法；偶次幂的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于整式除法与方程结合的基础题，解题的关键是利用偶次幂的性质统一幂的底数，同时不要忽略除数不为0的隐含条件，化简后解一元一次方程即可得到结果。
【难度系数】
0.7
11. 一个长方形的面积为$a^2+2a$，若一边长为$a$，则其邻边长为
$a+2$
。答案
$a+2$
解析
【分析】
首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求邻边长，只需用面积除以已知边长即可。接下来将对应代数式代入，转化为多项式除以单项式的运算，按照多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，就能算出结果。
【解析】
根据长方形面积公式可得，邻边长=长方形面积÷已知边长。
把面积$a^2+2a$、已知边长$a$代入得：
$\begin{split}&(a^2+2a)÷ a\\=&a^2÷ a + 2a÷ a\\=&a + 2\end{split}$
【答案】
$a+2$
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题是基础运算应用题，将几何图形面积公式和整式除法运算结合考查，计算过程简单，只要掌握相关基础规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求邻边长，只需用面积除以已知边长即可。接下来将对应代数式代入，转化为多项式除以单项式的运算，按照多项式除以单项式的运算法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，就能算出结果。
【解析】
根据长方形面积公式可得，邻边长=长方形面积÷已知边长。
把面积$a^2+2a$、已知边长$a$代入得：
$\begin{split}&(a^2+2a)÷ a\\=&a^2÷ a + 2a÷ a\\=&a + 2\end{split}$
【答案】
$a+2$
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题是基础运算应用题，将几何图形面积公式和整式除法运算结合考查，计算过程简单，只要掌握相关基础规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
12. (1)若$m^2+m-1=0$,求$m^3+2m^2+2023$的值；
(2)若$2x+y=0$,求$4x^3+2xy(x+y)+y^3$的值.
(2)若$2x+y=0$,求$4x^3+2xy(x+y)+y^3$的值.
答案
12. (1)$2\,024$ (2)$0$
解析
【分析】
(1) 本题已知关于m的二次等式，求三次多项式的值，无需解出m的具体值，采用整体代入+降次的思路：先从已知等式得到$m^2+m=1$的关系，再将所求三次多项式拆分为含有$m^2+m$的结构，代入整体值即可计算出结果。
(2) 本题已知x与y的一次等量关系，求三次多项式的值，可通过因式分解凑出已知的$2x+y$因式，再代入整体值0计算，也可通过代入消元法将y用含x的式子表示后代入多项式化简，两种方法均使用八年级已学的整式运算知识。
【解析】
(1) 解：由$m^2+m-1=0$，可得$m^2+m=1$。
对所求式子变形：
$\begin{aligned}m^3+2m^2+2023&=m^3+m^2+m^2+2023\\&=m(m^2+m)+m^2+2023\end{aligned}$
将$m^2+m=1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=m×1 + m^2 +2023\\&=(m^2+m)+2023\\&=1+2023\\&=2024\end{aligned}$
(2) 解：先展开并整理所求式子：
$\begin{aligned}4x^3+2xy(x+y)+y^3&=4x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\\&=(4x^3+2x^2y)+(2xy^2+y^3)\\&=2x^2(2x+y)+y^2(2x+y)\\&=(2x+y)(2x^2+y^2)\end{aligned}$
将$2x+y=0$代入上式，得：
原式$=0×(2x^2+y^2)=0$
【答案】
(1)$2024$；(2)$0$
【知识点】
整体代入求值、整式因式分解、整式混合运算
【点评】
本题是整式运算中代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代入思想的运用，不需要求解未知数的具体值，通过变形凑出已知的整体代数式代入即可简化计算，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 本题已知关于m的二次等式，求三次多项式的值，无需解出m的具体值，采用整体代入+降次的思路：先从已知等式得到$m^2+m=1$的关系，再将所求三次多项式拆分为含有$m^2+m$的结构，代入整体值即可计算出结果。
(2) 本题已知x与y的一次等量关系，求三次多项式的值，可通过因式分解凑出已知的$2x+y$因式，再代入整体值0计算，也可通过代入消元法将y用含x的式子表示后代入多项式化简，两种方法均使用八年级已学的整式运算知识。
【解析】
(1) 解：由$m^2+m-1=0$，可得$m^2+m=1$。
对所求式子变形：
$\begin{aligned}m^3+2m^2+2023&=m^3+m^2+m^2+2023\\&=m(m^2+m)+m^2+2023\end{aligned}$
将$m^2+m=1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=m×1 + m^2 +2023\\&=(m^2+m)+2023\\&=1+2023\\&=2024\end{aligned}$
(2) 解：先展开并整理所求式子：
$\begin{aligned}4x^3+2xy(x+y)+y^3&=4x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\\&=(4x^3+2x^2y)+(2xy^2+y^3)\\&=2x^2(2x+y)+y^2(2x+y)\\&=(2x+y)(2x^2+y^2)\end{aligned}$
将$2x+y=0$代入上式，得：
原式$=0×(2x^2+y^2)=0$
【答案】
(1)$2024$；(2)$0$
【知识点】
整体代入求值、整式因式分解、整式混合运算
【点评】
本题是整式运算中代数式求值的典型题型，核心考查降次思想和整体代入思想的运用，不需要求解未知数的具体值，通过变形凑出已知的整体代数式代入即可简化计算，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.75
13. 小明与小亮在做游戏,两人各报一个整式,小明报的整式作被除式,小亮报的整式作除式,要求商式必须为$2xy$. 若小明报的是$x^3y - 2xy^2$,则小亮应报什么整式?若小亮也报$x^3y - 2xy^2$,则小明应报什么整式?
答案
当小明报 $x^3y-2xy^2$ 时, $(x^3y-2xy^2) ÷ 2xy = x^3y ÷ 2xy - 2xy^2 ÷ 2xy = \dfrac{1}{2}x^2 - y$,
$\therefore \quad$ 小亮应报的整式是$\dfrac{1}{2}x^2 - y$.
当小亮报 $x^3y-2xy^2$ 时, $(x^3y-2xy^2) · 2xy = x^3y · 2xy - 2xy^2 · 2xy = 2x^4y^2 - 4x^2y^3$,
$\therefore \quad$ 小明应报的整式是 $2x^4y^2 - 4x^2y^3$.
$\therefore \quad$ 小亮应报的整式是$\dfrac{1}{2}x^2 - y$.
当小亮报 $x^3y-2xy^2$ 时, $(x^3y-2xy^2) · 2xy = x^3y · 2xy - 2xy^2 · 2xy = 2x^4y^2 - 4x^2y^3$,
$\therefore \quad$ 小明应报的整式是 $2x^4y^2 - 4x^2y^3$.
解析
【分析】
解题的核心是明确整式除法中三个量的关系：$\mathrm{被除式} ÷ \mathrm{除式} = \mathrm{商式}$，变形可得两个核心公式：$\mathrm{除式} = \mathrm{被除式} ÷ \mathrm{商式}$，$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商式}$。第一问已知被除式和商，求除式，套用第一个公式，用多项式除以单项式法则计算即可；第二问已知除式和商，求被除式，套用第二个公式，用单项式乘多项式法则计算即可，计算时注意同底数幂的乘除指数运算规则。
【解析】
1. 求小亮应报的整式（即求除式）：
根据$\mathrm{除式} = \mathrm{被除式} ÷ \mathrm{商式}$，代入已知条件得：
$\begin{aligned}(x^3y - 2xy^2) ÷ 2xy &= x^3y ÷ 2xy - 2xy^2 ÷ 2xy \\&= \frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - x^{1-1}y^{2-1} \\&= \frac{1}{2}x^2 - y\end{aligned}$
2. 求小明应报的整式（即求被除式）：
根据$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商式}$，代入已知条件得：
$\begin{aligned}(x^3y - 2xy^2) · 2xy &= x^3y · 2xy - 2xy^2 · 2xy \\&= 2x^{3+1}y^{1+1} - 4x^{1+1}y^{2+1} \\&= 2x^4y^2 - 4x^2y^3\end{aligned}$
【答案】
小亮应报的整式为$\dfrac{1}{2}x^2 - y$；小明应报的整式为$2x^4y^2 - 4x^2y^3$。
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘多项式；整式乘除互逆关系
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对整式乘除运算法则的掌握程度，解题的突破口是理清被除式、除式、商式三者的数量关系，计算时要注意指数的运算规则，避免因粗心导致指数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确整式除法中三个量的关系：$\mathrm{被除式} ÷ \mathrm{除式} = \mathrm{商式}$，变形可得两个核心公式：$\mathrm{除式} = \mathrm{被除式} ÷ \mathrm{商式}$，$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商式}$。第一问已知被除式和商，求除式，套用第一个公式，用多项式除以单项式法则计算即可；第二问已知除式和商，求被除式，套用第二个公式，用单项式乘多项式法则计算即可，计算时注意同底数幂的乘除指数运算规则。
【解析】
1. 求小亮应报的整式（即求除式）：
根据$\mathrm{除式} = \mathrm{被除式} ÷ \mathrm{商式}$，代入已知条件得：
$\begin{aligned}(x^3y - 2xy^2) ÷ 2xy &= x^3y ÷ 2xy - 2xy^2 ÷ 2xy \\&= \frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - x^{1-1}y^{2-1} \\&= \frac{1}{2}x^2 - y\end{aligned}$
2. 求小明应报的整式（即求被除式）：
根据$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商式}$，代入已知条件得：
$\begin{aligned}(x^3y - 2xy^2) · 2xy &= x^3y · 2xy - 2xy^2 · 2xy \\&= 2x^{3+1}y^{1+1} - 4x^{1+1}y^{2+1} \\&= 2x^4y^2 - 4x^2y^3\end{aligned}$
【答案】
小亮应报的整式为$\dfrac{1}{2}x^2 - y$；小明应报的整式为$2x^4y^2 - 4x^2y^3$。
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘多项式；整式乘除互逆关系
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对整式乘除运算法则的掌握程度，解题的突破口是理清被除式、除式、商式三者的数量关系，计算时要注意指数的运算规则，避免因粗心导致指数计算错误。
【难度系数】
0.8
