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学习任务 一元二次方程的根与系数的关系
从具体到抽象
|情境探究|
已知下列方程:
(1)$x^2 +3x -4=0$;
(2)$3x^2 -5x +2=0$;
(3)$2x^2 +3x +1=0$.
问题1:填写下面的表格.
问题2:上述三个方程中,两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系?
问题3:完成下面的推导过程.
已知一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$,
当 $b^2 -4ac ≥0$ 时,方程的两根是 $x_1 = \_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_$,则 $x_1 +x_2=\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_;x_1x_2=\_\_\_\_\_\_·\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$.
|知识梳理|
若一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 的两个根分别为 $x_1,x_2$,则 $x_1 +x_2=\_\_\_\_\_\_$, $x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$,即一元二次方程的两个根的和等于 ______,两个根的积等于 ______.
从具体到抽象
|情境探究|
已知下列方程:
(1)$x^2 +3x -4=0$;
(2)$3x^2 -5x +2=0$;
(3)$2x^2 +3x +1=0$.
问题1:填写下面的表格.
问题2:上述三个方程中,两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系?
问题3:完成下面的推导过程.
已知一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$,
当 $b^2 -4ac ≥0$ 时,方程的两根是 $x_1 = \_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_$,则 $x_1 +x_2=\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_;x_1x_2=\_\_\_\_\_\_·\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$.
|知识梳理|
若一元二次方程 $ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ 的两个根分别为 $x_1,x_2$,则 $x_1 +x_2=\_\_\_\_\_\_$, $x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$,即一元二次方程的两个根的和等于 ______,两个根的积等于 ______.
答案
问题1:第一行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第二行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
第三行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第四行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
问题2:三个方程中,两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比值.
问题3:$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ -\frac{b}{a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{c}{a}$
知识梳理:$-\frac{b}{a}\ \ \frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比值的相反数 常数项与二次项系数的比值
第二行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
第三行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第四行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
问题2:三个方程中,两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比值.
问题3:$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ -\frac{b}{a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{c}{a}$
知识梳理:$-\frac{b}{a}\ \ \frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比值的相反数 常数项与二次项系数的比值
解析
【分析】
这道题围绕一元二次方程根与系数的关系展开探究，解题思路如下：
1. 解决问题1时，先确定每个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，利用“两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$”的规律代入计算，也可先求出方程的两根再计算和、积，对应填写表格即可。
2. 解决问题2时，对比表格中每列的两根之和与$-\frac{b}{a}$的数值、两根之积与$\frac{c}{a}$的数值，总结二者的等量关系即可。
3. 解决问题3时，先回忆一元二次方程的求根公式写出两个根，再分别对两根做加法、乘法运算，通过化简代数式得到一般形式下的根与系数关系。
4. 知识梳理部分直接整理问题3推导得到的结论填写即可。
【解析】
问题1
对三个方程分别提取系数计算：
方程(1)$x^2+3x-4=0$：$a=1,b=3,c=-4$，两根之和$=-\frac{3}{1}=-3$，两根之积$=\frac{-4}{1}=-4$，$-\frac{b}{a}=-3$，$\frac{c}{a}=-4$。
方程(2)$3x^2-5x+2=0$：$a=3,b=-5,c=2$，两根之和$=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$，两根之积$=\frac{2}{3}$，$-\frac{b}{a}=\frac{5}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。
方程(3)$2x^2+3x+1=0$：$a=2,b=3,c=1$，两根之和$=-\frac{3}{2}$，两根之积$=\frac{1}{2}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
按顺序填入表格即可。
问题2
对比每列的数值可知：三个方程中，两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比值。
问题3
根据求根公式，当$b^2-4ac≥0$时，方程的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
两根之和：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$。
两根之积：$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
知识梳理
根据上述推导，若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即两根的和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比值。
【答案】
问题1:第一行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第二行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
第三行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第四行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
问题2:三个方程中,两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比值.
问题3:$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ -\frac{b}{a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{c}{a}$
知识梳理:$-\frac{b}{a}\ \ \frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比值的相反数 常数项与二次项系数的比值
【知识点】
韦达定理，一元二次方程求根公式，代数式化简
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了对求根公式的掌握，也引导学生自主推导根与系数的关系，能帮助学生深刻理解韦达定理的来源，是夯实代数基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
这道题围绕一元二次方程根与系数的关系展开探究，解题思路如下：
1. 解决问题1时，先确定每个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，利用“两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$”的规律代入计算，也可先求出方程的两根再计算和、积，对应填写表格即可。
2. 解决问题2时，对比表格中每列的两根之和与$-\frac{b}{a}$的数值、两根之积与$\frac{c}{a}$的数值，总结二者的等量关系即可。
3. 解决问题3时，先回忆一元二次方程的求根公式写出两个根，再分别对两根做加法、乘法运算，通过化简代数式得到一般形式下的根与系数关系。
4. 知识梳理部分直接整理问题3推导得到的结论填写即可。
【解析】
问题1
对三个方程分别提取系数计算：
方程(1)$x^2+3x-4=0$：$a=1,b=3,c=-4$，两根之和$=-\frac{3}{1}=-3$，两根之积$=\frac{-4}{1}=-4$，$-\frac{b}{a}=-3$，$\frac{c}{a}=-4$。
方程(2)$3x^2-5x+2=0$：$a=3,b=-5,c=2$，两根之和$=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$，两根之积$=\frac{2}{3}$，$-\frac{b}{a}=\frac{5}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。
方程(3)$2x^2+3x+1=0$：$a=2,b=3,c=1$，两根之和$=-\frac{3}{2}$，两根之积$=\frac{1}{2}$，$-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
按顺序填入表格即可。
问题2
对比每列的数值可知：三个方程中，两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比值。
问题3
根据求根公式，当$b^2-4ac≥0$时，方程的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
两根之和：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$。
两根之积：$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
知识梳理
根据上述推导，若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即两根的和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比值。
【答案】
问题1:第一行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第二行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
第三行:$-3\ \ \frac{5}{3}\ \ -\frac{3}{2}$
第四行:$-4\ \ \frac{2}{3}\ \ \frac{1}{2}$
问题2:三个方程中,两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数;两根之积等于常数项与二次项系数的比值.
问题3:$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ -\frac{b}{a}\ \ \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \ \frac{c}{a}$
知识梳理:$-\frac{b}{a}\ \ \frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比值的相反数 常数项与二次项系数的比值
【知识点】
韦达定理，一元二次方程求根公式，代数式化简
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了对求根公式的掌握，也引导学生自主推导根与系数的关系，能帮助学生深刻理解韦达定理的来源，是夯实代数基础的典型习题。
【难度系数】
0.7
【例1】若关于x的方程$2x^2 + mx -4=0$的一个根为1，则另一个根为
【规律方法】
已知一元二次方程的一个根，利用根
与系数的关系求另一个根的方法
(1)当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；
(2)当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根.
|变式训练|
-2
.【规律方法】
已知一元二次方程的一个根，利用根
与系数的关系求另一个根的方法
(1)当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；
(2)当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根.
|变式训练|
答案
-2
解析
【分析】
解题有两种常用思路：①利用根与系数的关系求解：观察方程可知二次项系数、常数项为已知量，一次项系数m为未知量，根据“二次项系数、常数项已知时用两根之积求另一根”的规律，直接用韦达定理的两根积公式计算，步骤更简便；②先求参数再解方程：将已知根x=1代入原方程求出m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$c=-4$，代入得：
$1× x_2=\frac{-4}{2}=-2$
解得$x_2=-2$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程$2x^2+mx-4=0$得：
$2×1^2 + m×1 -4=0$
解得$m=2$。
原方程变为$2x^2+2x-4=0$，化简为$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得方程的根为$x_1=1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可简化计算过程，无需求解未知参数即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题有两种常用思路：①利用根与系数的关系求解：观察方程可知二次项系数、常数项为已知量，一次项系数m为未知量，根据“二次项系数、常数项已知时用两根之积求另一根”的规律，直接用韦达定理的两根积公式计算，步骤更简便；②先求参数再解方程：将已知根x=1代入原方程求出m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$c=-4$，代入得：
$1× x_2=\frac{-4}{2}=-2$
解得$x_2=-2$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程$2x^2+mx-4=0$得：
$2×1^2 + m×1 -4=0$
解得$m=2$。
原方程变为$2x^2+2x-4=0$，化简为$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得方程的根为$x_1=1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可简化计算过程，无需求解未知参数即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
