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4.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，给出下列结论：
①$a+b+c＞0$；②$4a-2b+c＞0$；③$b^2-4ac＞0$；④$ac＞0$。
其中所有正确结论的序号是 （
）
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
①$a+b+c＞0$；②$4a-2b+c＞0$；③$b^2-4ac＞0$；④$ac＞0$。
其中所有正确结论的序号是 （
）A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
答案
4.C
解析
【分析】
解决这类二次函数图象与系数关系的问题，首先从图象提取关键信息：1.开口方向判断a的符号；2.与y轴交点判断c的符号；3.与x轴交点个数判断判别式符号；4.特殊x值对应的函数值判断相关代数式的符号。本题先提取图象信息：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点，两个交点分别在(-1,0)~(0,0)和(1,0)~(2,0)之间，对称轴在0~1之间，再逐个验证4个结论即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 判断结论①：当x=1时，代入二次函数解析式得$y=a×1^2 +b×1 +c=a+b+c$，从图象可知x=1时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，故①错误。
2. 判断结论②：当x=-2时，代入解析式得$y=4a-2b+c$。因为抛物线开口向上，且对称轴在0~1之间，x=-2到对称轴的距离大于x=-1到对称轴的距离；又因为x=-1对应的点在x轴上方（左侧交点在-1和0之间，x=-1在交点左侧，开口向上则y＞0），所以x=-2对应的y值更大，即$4a-2b+c＞0$，故②正确。
3. 判断结论③：抛物线与x轴有两个不同的交点，根据二次函数判别式的意义，可知$\Delta=b^2-4ac＞0$，故③正确。
4. 判断结论④：抛物线开口向上，因此$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$，则$ac＜0$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的函数值；二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的常考题型，需要结合图象灵活运用二次函数的性质判断代数式的符号，解题时要注意将代数式对应到特殊x值的函数值，结合图象位置判断正负。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象与系数关系的问题，首先从图象提取关键信息：1.开口方向判断a的符号；2.与y轴交点判断c的符号；3.与x轴交点个数判断判别式符号；4.特殊x值对应的函数值判断相关代数式的符号。本题先提取图象信息：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点，两个交点分别在(-1,0)~(0,0)和(1,0)~(2,0)之间，对称轴在0~1之间，再逐个验证4个结论即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 判断结论①：当x=1时，代入二次函数解析式得$y=a×1^2 +b×1 +c=a+b+c$，从图象可知x=1时对应的点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，故①错误。
2. 判断结论②：当x=-2时，代入解析式得$y=4a-2b+c$。因为抛物线开口向上，且对称轴在0~1之间，x=-2到对称轴的距离大于x=-1到对称轴的距离；又因为x=-1对应的点在x轴上方（左侧交点在-1和0之间，x=-1在交点左侧，开口向上则y＞0），所以x=-2对应的y值更大，即$4a-2b+c＞0$，故②正确。
3. 判断结论③：抛物线与x轴有两个不同的交点，根据二次函数判别式的意义，可知$\Delta=b^2-4ac＞0$，故③正确。
4. 判断结论④：抛物线开口向上，因此$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$，则$ac＜0$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的函数值；二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的常考题型，需要结合图象灵活运用二次函数的性质判断代数式的符号，解题时要注意将代数式对应到特殊x值的函数值，结合图象位置判断正负。
【难度系数】
0.7
5.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(2,1)$,且顶点为$P(1,m)$.有以下结论:①$a＜0$;②$abc＞0$;③$4a+2b+c=1$;④当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小.其中错误的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先从二次函数的图像特征入手：首先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导b的符号，由图像与y轴交点判断c的符号，再结合已知点坐标、二次函数增减性逐个验证4个结论，最终统计错误结论的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，①正确；
2. 结论②：已知顶点横坐标为1，即抛物线对称轴为$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$。因为$a＜0$，所以$b=-2a＞0$；又抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。则$abc=a× b× c＜0$，故②错误；
3. 结论③：因为二次函数图像经过点$A(2,1)$，将$x=2,y=1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，可得$4a+2b+c=1$，③正确；
4. 结论④：抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，④正确。
综上，错误的结论只有1个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数增减性；二次函数点坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规考题，核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等图像特征和系数a、b、c的对应关系，以及代入法求值、增减性判断的基本方法。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数的图像特征入手：首先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导b的符号，由图像与y轴交点判断c的符号，再结合已知点坐标、二次函数增减性逐个验证4个结论，最终统计错误结论的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，①正确；
2. 结论②：已知顶点横坐标为1，即抛物线对称轴为$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$。因为$a＜0$，所以$b=-2a＞0$；又抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。则$abc=a× b× c＜0$，故②错误；
3. 结论③：因为二次函数图像经过点$A(2,1)$，将$x=2,y=1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，可得$4a+2b+c=1$，③正确；
4. 结论④：抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，④正确。
综上，错误的结论只有1个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数增减性；二次函数点坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的常规考题，核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等图像特征和系数a、b、c的对应关系，以及代入法求值、增减性判断的基本方法。
【难度系数】
0.7
6.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的一部分如图所示，给出下列命题：
①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$3a+c=0$；
④$m(am+b)≥ a-b$（$m$为任意实数）；
⑤$4ac-b^2＜0$。
其中正确的命题有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$3a+c=0$；
④$m(am+b)≥ a-b$（$m$为任意实数）；
⑤$4ac-b^2＜0$。
其中正确的命题有 （
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.D
解析
【分析】
首先从二次函数图像提取核心信息：1. 开口向上可得$a＞0$；2. 对称轴为直线$x=-1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可推导$b$与$a$的关系；3. 图像过点$(1,0)$，代入解析式可得$a+b+c=0$；4. 抛物线与$x$轴有两个交点，说明判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；5. $x=-1$是对称轴，对应函数的最小值。接下来结合上述信息逐一验证每个命题即可。
【解析】
解：由图像性质可得：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$；
3. 抛物线过点$(1,0)$，代入$y=ax^2+bx+c$得$a+b+c=0$；
4. 抛物线与$x$轴有两个交点，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$。
逐个判断命题：
① $\because b=2a＞0$，将$b=2a$代入$a+b+c=0$得$c=-3a＜0$，$\therefore abc=a×2a×(-3a)=-6a^3＜0$，故①正确；
② $\because b=2a$，$\therefore 2a-b=0$，$2a+b=4a≠0$，故②错误；
③ 将$b=2a$代入$a+b+c=0$，得$a+2a+c=0$，即$3a+c=0$，故③正确；
④ 对任意实数$m$，$x=m$对应的函数值为$y=am^2+bm+c$，$\because x=-1$是抛物线对称轴，此时函数取最小值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，$\therefore am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去$c$得$am^2+bm≥ a-b$，即$m(am+b)≥ a-b$，故④正确；
⑤ $\because \Delta=b^2-4ac＞0$，移项可得$4ac-b^2＜0$，故⑤正确。
综上，正确的命题为①③④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握开口方向、对称轴、与坐标轴交点等图像特征和系数的对应关系，结合函数最值、判别式等性质逐一判断结论，是二次函数的典型常考题。
【难度系数】
0.6
首先从二次函数图像提取核心信息：1. 开口向上可得$a＞0$；2. 对称轴为直线$x=-1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可推导$b$与$a$的关系；3. 图像过点$(1,0)$，代入解析式可得$a+b+c=0$；4. 抛物线与$x$轴有两个交点，说明判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；5. $x=-1$是对称轴，对应函数的最小值。接下来结合上述信息逐一验证每个命题即可。
【解析】
解：由图像性质可得：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$；
3. 抛物线过点$(1,0)$，代入$y=ax^2+bx+c$得$a+b+c=0$；
4. 抛物线与$x$轴有两个交点，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$。
逐个判断命题：
① $\because b=2a＞0$，将$b=2a$代入$a+b+c=0$得$c=-3a＜0$，$\therefore abc=a×2a×(-3a)=-6a^3＜0$，故①正确；
② $\because b=2a$，$\therefore 2a-b=0$，$2a+b=4a≠0$，故②错误；
③ 将$b=2a$代入$a+b+c=0$，得$a+2a+c=0$，即$3a+c=0$，故③正确；
④ 对任意实数$m$，$x=m$对应的函数值为$y=am^2+bm+c$，$\because x=-1$是抛物线对称轴，此时函数取最小值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，$\therefore am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去$c$得$am^2+bm≥ a-b$，即$m(am+b)≥ a-b$，故④正确；
⑤ $\because \Delta=b^2-4ac＞0$，移项可得$4ac-b^2＜0$，故⑤正确。
综上，正确的命题为①③④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握开口方向、对称轴、与坐标轴交点等图像特征和系数的对应关系，结合函数最值、判别式等性质逐一判断结论，是二次函数的典型常考题。
【难度系数】
0.6
7.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，有下列结论：
①$2a+b=0$；
②$3a+c＞0$；
③$-a+c＞0$；
④$3b-2c＜0$。
其中正确的结论是
①$2a+b=0$；
②$3a+c＞0$；
③$-a+c＞0$；
④$3b-2c＜0$。
其中正确的结论是
①③
.(填序号)答案
7.①③
解析
【分析】
解题时先从二次函数的对称轴入手，结合对称轴公式推导a与b的数量关系验证结论①；再利用图像上特殊点x=-1的函数值符号，代入a、b的关系判断结论②；之后结合a的符号、图像与y轴交点的位置判断结论③；最后将a用b代换，代入x=-1的函数值不等式变形后判断结论④。
【解析】
解：由二次函数图像性质分析如下：
1. 函数开口向下，故$a＜0$；对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
2. 观察图像可知，当$x=-1$时，对应函数值$y＜0$，代入解析式得：$a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c＜0$，故②错误；
3. 由$a＜0$得$-a＞0$，又函数图像与y轴交于正半轴，故$c＞0$，两个正数相加结果为正，因此$-a+c＞0$，故③正确；
4. 由$b=-2a$得$a=-\frac{b}{2}$，代入$a-b+c＜0$得：$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$2c＜3b$，即$3b-2c＞0$，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴公式，二次函数函数值判断
【点评】
本题考查二次函数图像性质与系数的关联，解题核心是利用对称轴建立a、b的等量关系，再结合特殊点的函数值推导不等式，需熟练掌握二次函数的图像特征。
【难度系数】
0.65
解题时先从二次函数的对称轴入手，结合对称轴公式推导a与b的数量关系验证结论①；再利用图像上特殊点x=-1的函数值符号，代入a、b的关系判断结论②；之后结合a的符号、图像与y轴交点的位置判断结论③；最后将a用b代换，代入x=-1的函数值不等式变形后判断结论④。
【解析】
解：由二次函数图像性质分析如下：
1. 函数开口向下，故$a＜0$；对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
2. 观察图像可知，当$x=-1$时，对应函数值$y＜0$，代入解析式得：$a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c＜0$，故②错误；
3. 由$a＜0$得$-a＞0$，又函数图像与y轴交于正半轴，故$c＞0$，两个正数相加结果为正，因此$-a+c＞0$，故③正确；
4. 由$b=-2a$得$a=-\frac{b}{2}$，代入$a-b+c＜0$得：$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$2c＜3b$，即$3b-2c＞0$，故④错误。
综上，正确的结论为①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴公式，二次函数函数值判断
【点评】
本题考查二次函数图像性质与系数的关联，解题核心是利用对称轴建立a、b的等量关系，再结合特殊点的函数值推导不等式，需熟练掌握二次函数的图像特征。
【难度系数】
0.65
