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学习任务 二次函数的最值
一般地，当$a＞0$(或$a＜0$)时，抛物线$y=ax^2+bx+c$的
点，也就是说，当$x=$
一般地，当$a＞0$(或$a＜0$)时，抛物线$y=ax^2+bx+c$的
顶点
是最低(或最高)点，也就是说，当$x=$
$-\frac{b}{2a}$
时，二次函数$y=ax^2+bx+c$有最小(或最大值)$\frac{4ac-b^2}{4a}$
。答案
抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点是最低(或最高)点，当$x=-\frac{b}{2a}$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$有最小(或最大值)$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的图像与性质：首先二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的符号决定，开口向上/向下时，图像的最低/最高点就是顶点，由此确定第一个空的答案；其次，顶点的横坐标对应二次函数的对称轴，对应x的取值可直接用对称轴公式得到；最后顶点的纵坐标就是二次函数的最值，可通过代入计算或配方推导得到对应最值。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像是抛物线：当$a＞0$时抛物线开口向上，图像存在最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，图像存在最高点，这个最低/最高点就是抛物线的顶点，故第一个空填顶点。
2. 抛物线顶点的横坐标就是二次函数的对称轴，对应的$x$值为$x=-\frac{b}{2a}$，因此第二个空填$-\frac{b}{2a}$。
3. 可通过配方法推导最值：将解析式配方得$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，由于$(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，当$a＞0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≤0$，此时$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$，故第三个空填$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
顶点；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数最值的基础性质，属于基础概念识记类题目，熟练掌握抛物线的顶点特征和顶点坐标公式，是解决后续二次函数最值相关应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的图像与性质：首先二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的符号决定，开口向上/向下时，图像的最低/最高点就是顶点，由此确定第一个空的答案；其次，顶点的横坐标对应二次函数的对称轴，对应x的取值可直接用对称轴公式得到；最后顶点的纵坐标就是二次函数的最值，可通过代入计算或配方推导得到对应最值。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像是抛物线：当$a＞0$时抛物线开口向上，图像存在最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，图像存在最高点，这个最低/最高点就是抛物线的顶点，故第一个空填顶点。
2. 抛物线顶点的横坐标就是二次函数的对称轴，对应的$x$值为$x=-\frac{b}{2a}$，因此第二个空填$-\frac{b}{2a}$。
3. 可通过配方法推导最值：将解析式配方得$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，由于$(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，当$a＞0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a＜0$时，$a(x+\frac{b}{2a})^2≤0$，此时$y$取最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$，故第三个空填$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
顶点；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数顶点坐标；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数最值的基础性质，属于基础概念识记类题目，熟练掌握抛物线的顶点特征和顶点坐标公式，是解决后续二次函数最值相关应用问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】如图(示意图),从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度$y$(单位:m)关于它距离喷头的水平距离$x$(单位:m)的函数解析式是$y=-2x^2+4x+1$,则水珠能达到的最大高度是
【规律方法】
求物体运动的最大高度时,一般先根据题目中给出的函数解析式,确定顶点,再看顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内,若在,则最值就是顶点的纵坐标;若不在,则利用函数的增减性求最值.
3
m.【规律方法】
求物体运动的最大高度时,一般先根据题目中给出的函数解析式,确定顶点,再看顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内,若在,则最值就是顶点的纵坐标;若不在,则利用函数的增减性求最值.
答案
3
解析
【分析】
本题要求水珠的最大高度，本质是求二次函数$y=-2x^2+4x+1$的最大值。首先观察二次项系数为$-2＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处的纵坐标就是函数的最大值。我们可以通过配方法或顶点坐标公式求出顶点纵坐标，再验证顶点横坐标在水平距离$x$（$x≥0$）的取值范围内，即可得到最大高度。
【解析】
已知函数解析式为$y=-2x^2+4x+1$，其中$a=-2$，$b=4$，$c=1$。
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数存在最大值。
用配方法将解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+1\\&=-2(x^2-2x)+1\\&=-2(x^2-2x+1-1)+1\\&=-2(x-1)^2+2+1\\&=-2(x-1)^2+3\end{aligned}$
当$x=1$时，$y$取得最大值3，且$x=1≥0$，符合水平距离的实际意义。
也可通过顶点纵坐标公式计算：$y_{\mathrm{最大}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×1-4^2}{4×(-2)}=3$，验证顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=1$符合取值要求，结果一致。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的性质；配方法
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数最值的应用，解题核心是明确开口向下的抛物线顶点对应函数最大值，求解后注意结合实际意义验证自变量取值是否合理，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题要求水珠的最大高度，本质是求二次函数$y=-2x^2+4x+1$的最大值。首先观察二次项系数为$-2＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处的纵坐标就是函数的最大值。我们可以通过配方法或顶点坐标公式求出顶点纵坐标，再验证顶点横坐标在水平距离$x$（$x≥0$）的取值范围内，即可得到最大高度。
【解析】
已知函数解析式为$y=-2x^2+4x+1$，其中$a=-2$，$b=4$，$c=1$。
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数存在最大值。
用配方法将解析式变形：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+1\\&=-2(x^2-2x)+1\\&=-2(x^2-2x+1-1)+1\\&=-2(x-1)^2+2+1\\&=-2(x-1)^2+3\end{aligned}$
当$x=1$时，$y$取得最大值3，且$x=1≥0$，符合水平距离的实际意义。
也可通过顶点纵坐标公式计算：$y_{\mathrm{最大}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×1-4^2}{4×(-2)}=3$，验证顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=1$符合取值要求，结果一致。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的性质；配方法
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数最值的应用，解题核心是明确开口向下的抛物线顶点对应函数最大值，求解后注意结合实际意义验证自变量取值是否合理，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
1.一个物体从地面被竖直向上抛出，其相对于地面的高度$h$(单位:m)与时间$t$(单位:s)之间的关系式是$h=-5t^2+20t$.关于该物体的运动，下列说法正确的是（
A.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为40 m，并在4 s时返回地面
B.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为20 m，并在4 s时返回地面
C.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为20 m，并在6 s时返回地面
D.该物体在4 s时到达最高点，最大高度为40 m，并在8 s时返回地面
B
）A.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为40 m，并在4 s时返回地面
B.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为20 m，并在4 s时返回地面
C.该物体在2 s时到达最高点，最大高度为20 m，并在6 s时返回地面
D.该物体在4 s时到达最高点，最大高度为40 m，并在8 s时返回地面
答案
B
解析
【分析】
这是二次函数在竖直上抛运动中的实际应用题，解题思路如下：1. 首先明确高度h与时间t的关系式是开口向下的二次函数，其顶点坐标的横坐标对应物体到达最高点的时间，纵坐标对应最大高度；2. 物体返回地面时高度h=0，解h=0对应的一元二次方程，舍去t=0（抛出时刻）的解，即可得到落地时间。我们可以用二次函数顶点坐标公式先求最高点的时间和高度，再解方程求落地时间，最后匹配选项即可。
【解析】
已知高度与时间的关系式为$h=-5t^2+20t$，其中二次项系数$a=-5＜0$，函数图像开口向下，顶点为最高点。
1. 求到达最高点的时间和最大高度：
根据二次函数顶点坐标公式，顶点的横坐标$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=20$得：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=2\ \mathrm{s}$，即2s时到达最高点。
将$t=2$代入关系式求最大高度：
$h=-5×2^2+20×2=-20+40=20\ \mathrm{m}$。
2. 求返回地面的时间：
物体返回地面时$h=0$，代入关系式得方程：
$-5t^2+20t=0$
因式分解得：$-5t(t-4)=0$
解得$t_1=0$（对应抛出时刻，舍去），$t_2=4\ \mathrm{s}$，即4s时返回地面。
综上可知选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图像与性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关知识，解题的关键是将实际问题中的物理意义和二次函数的图像性质对应起来，掌握二次函数顶点坐标的求解方法和一元二次方程的解法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在竖直上抛运动中的实际应用题，解题思路如下：1. 首先明确高度h与时间t的关系式是开口向下的二次函数，其顶点坐标的横坐标对应物体到达最高点的时间，纵坐标对应最大高度；2. 物体返回地面时高度h=0，解h=0对应的一元二次方程，舍去t=0（抛出时刻）的解，即可得到落地时间。我们可以用二次函数顶点坐标公式先求最高点的时间和高度，再解方程求落地时间，最后匹配选项即可。
【解析】
已知高度与时间的关系式为$h=-5t^2+20t$，其中二次项系数$a=-5＜0$，函数图像开口向下，顶点为最高点。
1. 求到达最高点的时间和最大高度：
根据二次函数顶点坐标公式，顶点的横坐标$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=20$得：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=2\ \mathrm{s}$，即2s时到达最高点。
将$t=2$代入关系式求最大高度：
$h=-5×2^2+20×2=-20+40=20\ \mathrm{m}$。
2. 求返回地面的时间：
物体返回地面时$h=0$，代入关系式得方程：
$-5t^2+20t=0$
因式分解得：$-5t(t-4)=0$
解得$t_1=0$（对应抛出时刻，舍去），$t_2=4\ \mathrm{s}$，即4s时返回地面。
综上可知选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图像与性质；解一元二次方程
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关知识，解题的关键是将实际问题中的物理意义和二次函数的图像性质对应起来，掌握二次函数顶点坐标的求解方法和一元二次方程的解法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
【例2】如图(示意图),为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围住.设绿化带的边BC的长为x m,绿化带的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数解析式,并求出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,才能使绿化带的面积最大?
解:
【规律方法】
几何图形中求最值，
常用的建立函数关系的方法
(1)面积法:利用几何图形的面积公式建立函数关系.
(2)勾股法:利用勾股定理建立函数关系.
(3)和差法:利用多个图形的面积的和或差表示目标图形的面积,从而建立函数关系.
(1)求y与x之间的函数解析式,并求出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,才能使绿化带的面积最大?
解:
【规律方法】
几何图形中求最值，
常用的建立函数关系的方法
(1)面积法:利用几何图形的面积公式建立函数关系.
(2)勾股法:利用勾股定理建立函数关系.
(3)和差法:利用多个图形的面积的和或差表示目标图形的面积,从而建立函数关系.
答案
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$，x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2)当$x=20$时，绿化带的面积最大。
(2)当$x=20$时，绿化带的面积最大。
解析
【分析】
（1）要得到y与x的函数解析式，需先根据矩形边长与栅栏总长的关系表示出AB的长度，再结合矩形面积公式推导函数式；自变量x的取值需满足两个实际条件：边长为正数，且靠墙边长度不超过墙长25m，据此确定x的范围。
（2）求面积最大值本质是求二次函数的最大值，先判断二次函数的开口方向，再用顶点坐标公式求出顶点横坐标，验证该值是否在自变量取值范围内，即可得到对应x的值。
【解析】
(1) 已知BC的长为$x$ m，三边栅栏总长40m，且矩形ABCD中AB=CD，因此$AB=\frac{40-x}{2}$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y=BC· AB=x· \frac{40-x}{2}$
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$。
结合实际意义：边长$x＞0$，且靠墙边$AD=BC=x≤$墙长25m，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=20$得：
$x=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$
20在$0＜x≤25$的取值范围内，因此当$x=20$时，绿化带面积最大。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$，自变量x的取值范围是$0＜x≤25$；
(2)当$x=20$时，绿化带的面积最大。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是根据几何性质正确列出函数关系式，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需验证顶点横坐标是否符合取值要求，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.7
（1）要得到y与x的函数解析式，需先根据矩形边长与栅栏总长的关系表示出AB的长度，再结合矩形面积公式推导函数式；自变量x的取值需满足两个实际条件：边长为正数，且靠墙边长度不超过墙长25m，据此确定x的范围。
（2）求面积最大值本质是求二次函数的最大值，先判断二次函数的开口方向，再用顶点坐标公式求出顶点横坐标，验证该值是否在自变量取值范围内，即可得到对应x的值。
【解析】
(1) 已知BC的长为$x$ m，三边栅栏总长40m，且矩形ABCD中AB=CD，因此$AB=\frac{40-x}{2}$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y=BC· AB=x· \frac{40-x}{2}$
整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$。
结合实际意义：边长$x＞0$，且靠墙边$AD=BC=x≤$墙长25m，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤25$。
(2) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=20$得：
$x=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$
20在$0＜x≤25$的取值范围内，因此当$x=20$时，绿化带面积最大。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2+20x$，自变量x的取值范围是$0＜x≤25$；
(2)当$x=20$时，绿化带的面积最大。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是根据几何性质正确列出函数关系式，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需验证顶点横坐标是否符合取值要求，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.7
