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2.如图(示意图),在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃ABCD,墙的长度为8 m.设花圃的边AB的长为x m,面积为S m².(篱笆的厚度忽略不计)
(1)求S与x之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(2)当花圃面积为20 m²时,求AB的长.
(3)当x取何值时,所围成的花圃的面积最大?最大值是多少?
(1)求S与x之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(2)当花圃面积为20 m²时,求AB的长.
(3)当x取何值时,所围成的花圃的面积最大?最大值是多少?
答案
(1)$S=-4x^2+24x$，$4≤x＜6$。
(2)AB的长为5 m。
(3)当x取4时，所围成的花圃的面积最大，最大值是32 m²。
(2)AB的长为5 m。
(3)当x取4时，所围成的花圃的面积最大，最大值是32 m²。
解析
【分析】
这是一道二次函数结合实际场景的应用题，解题思路如下：
1. 第一问先分析篱笆的构成：垂直于墙的边共4段（AB、中间2道隔墙、CD），每段长均为x m，因此平行于墙的边BC的长度可由总篱笆长24m减去4段垂直边的总长得到；再根据墙长限制和边长为正的实际意义，求出自变量x的取值范围，最后用矩形面积公式写出S与x的函数关系。
2. 第二问将S=20代入第一问得到的函数解析式，解一元二次方程后，结合x的取值范围舍去不符合要求的解，得到AB的长度。
3. 第三问先将二次函数解析式配方找到对称轴，结合开口方向和自变量的取值范围，判断出面积最大时x的取值，代入计算最大面积即可，注意不能直接取顶点值，要结合实际范围判断。
【解析】
(1) 由题意得，AB为垂直于墙的边，长度为x m，垂直于墙的篱笆共有4段，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$。
根据墙长为8 m，且边长为正，可得不等式组：
$\begin{cases}24-4x ≤ 8 \\24-4x ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$24-8 ≤4x \implies 16≤4x \implies x≥4$
解第二个不等式：$4x＜24 \implies x＜6$
因此自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
矩形面积$S=AB· BC=x(24-4x)=-4x^2+24x$，
即S与x的函数解析式为$S=-4x^2+24x\ (4≤ x＜6)$。
(2) 当$S=20\ \mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$-4x^2+24x=20$
整理得：$x^2-6x+5=0$
因式分解得：$(x-1)(x-5)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$。
结合x的取值范围$4≤ x＜6$，舍去$x=1$，因此$x=5$，即AB的长为5 m。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-4x^2+24x=-4(x^2-6x)=-4(x-3)^2+36$
$\because a=-4＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。
又$\because$ 自变量取值范围为$4≤ x＜6$，在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=4$时，S取得最大值，最大值为：
$S=-4×(4-3)^2+36=32\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $S=-4x^2+24x$，自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$；
(2) AB的长为5 m；
(3) 当x取4时，所围成的花圃的面积最大，最大值是$32\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题的关键是结合实际场景确定自变量的取值范围，求最值时要注意顶点坐标是否在自变量的取值范围内，避免直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.6
这是一道二次函数结合实际场景的应用题，解题思路如下：
1. 第一问先分析篱笆的构成：垂直于墙的边共4段（AB、中间2道隔墙、CD），每段长均为x m，因此平行于墙的边BC的长度可由总篱笆长24m减去4段垂直边的总长得到；再根据墙长限制和边长为正的实际意义，求出自变量x的取值范围，最后用矩形面积公式写出S与x的函数关系。
2. 第二问将S=20代入第一问得到的函数解析式，解一元二次方程后，结合x的取值范围舍去不符合要求的解，得到AB的长度。
3. 第三问先将二次函数解析式配方找到对称轴，结合开口方向和自变量的取值范围，判断出面积最大时x的取值，代入计算最大面积即可，注意不能直接取顶点值，要结合实际范围判断。
【解析】
(1) 由题意得，AB为垂直于墙的边，长度为x m，垂直于墙的篱笆共有4段，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-4x)\ \mathrm{m}$。
根据墙长为8 m，且边长为正，可得不等式组：
$\begin{cases}24-4x ≤ 8 \\24-4x ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$24-8 ≤4x \implies 16≤4x \implies x≥4$
解第二个不等式：$4x＜24 \implies x＜6$
因此自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$。
矩形面积$S=AB· BC=x(24-4x)=-4x^2+24x$，
即S与x的函数解析式为$S=-4x^2+24x\ (4≤ x＜6)$。
(2) 当$S=20\ \mathrm{m}^2$时，代入解析式得：
$-4x^2+24x=20$
整理得：$x^2-6x+5=0$
因式分解得：$(x-1)(x-5)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$。
结合x的取值范围$4≤ x＜6$，舍去$x=1$，因此$x=5$，即AB的长为5 m。
(3) 将函数解析式配方得：
$S=-4x^2+24x=-4(x^2-6x)=-4(x-3)^2+36$
$\because a=-4＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。
又$\because$ 自变量取值范围为$4≤ x＜6$，在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x=4$时，S取得最大值，最大值为：
$S=-4×(4-3)^2+36=32\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $S=-4x^2+24x$，自变量x的取值范围是$4≤ x＜6$；
(2) AB的长为5 m；
(3) 当x取4时，所围成的花圃的面积最大，最大值是$32\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，解题的关键是结合实际场景确定自变量的取值范围，求最值时要注意顶点坐标是否在自变量的取值范围内，避免直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.6
【例3】某商品现在的售价为60元/件，每星期可卖出300件，市场调查反映：在现在售价的基础上，每件商品的售价每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为40元/件，如何定价才能使每星期的利润最大？
解：
【规律方法】
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式。
(2)讨论最大值时可将二次函数转化为$y=a(x-h)^2 + k$的形式，然后利用二次函数的性质确定最大值。
(3)在求商品最大利润时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的最大值并不一定是函数在实际问题中的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得。
变式训练
解：
【规律方法】
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式。
(2)讨论最大值时可将二次函数转化为$y=a(x-h)^2 + k$的形式，然后利用二次函数的性质确定最大值。
(3)在求商品最大利润时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的最大值并不一定是函数在实际问题中的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得。
变式训练
答案
定价为65元/件才能使每星期的利润最大。
解析
【分析】
本题需要分涨价、降价两种情况讨论利润最大值：①先明确销售利润=单件利润×销售量，分别针对涨价、降价两种场景设出自变量，列出对应的二次函数解析式；②结合实际意义（销售量非负、售价不低于进价）确定自变量的取值范围；③将二次函数化为顶点式，结合开口方向求出每种场景下的最大利润；④比较两种场景的最大利润，取利润更高的对应定价即可。
【解析】
我们分涨价、降价两种情况分别计算最大利润：
1. 设每件商品涨价$x$元时，每星期的利润为$y_1$元
此时单件利润为：$60+x-40=(20+x)$元
每星期销售量为：$(300-10x)$件
自变量$x$的取值范围：$\begin{cases}x≥0 \\300-10x≥0 \end{cases}$，即$0≤ x≤30$
利润解析式：
$\begin{aligned}y_1&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=5$时，$y_1$取最大值6250元，此时定价为$60+5=65$元。
2. 设每件商品降价$y$元时，每星期的利润为$y_2$元
此时单件利润为：$60-y-40=(20-y)$元
每星期销售量为：$(300+20y)$件
自变量$y$的取值范围：$\begin{cases}y≥0 \\20-y≥0 \end{cases}$，即$0≤ y≤20$
利润解析式：
$\begin{aligned}y_2&=(20-y)(300+20y)\\&=-20y^2+100y+6000\\&=-20(y-2.5)^2+6125\end{aligned}$
$\because a=-20＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$y=2.5$时，$y_2$取最大值6125元，此时定价为$60-2.5=57.5$元。
3. 比较两种情况的最大利润：$6250＞6125$
因此定价为65元时每星期利润最大。
【答案】
定价为65元/件才能使每星期的利润最大。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际利润问题的典型题，解题时需注意区分涨价、降价两种不同的销量变化规则，分开计算最值后再比较，同时要结合实际意义确定自变量的取值范围，避免因漏算场景或忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.6
本题需要分涨价、降价两种情况讨论利润最大值：①先明确销售利润=单件利润×销售量，分别针对涨价、降价两种场景设出自变量，列出对应的二次函数解析式；②结合实际意义（销售量非负、售价不低于进价）确定自变量的取值范围；③将二次函数化为顶点式，结合开口方向求出每种场景下的最大利润；④比较两种场景的最大利润，取利润更高的对应定价即可。
【解析】
我们分涨价、降价两种情况分别计算最大利润：
1. 设每件商品涨价$x$元时，每星期的利润为$y_1$元
此时单件利润为：$60+x-40=(20+x)$元
每星期销售量为：$(300-10x)$件
自变量$x$的取值范围：$\begin{cases}x≥0 \\300-10x≥0 \end{cases}$，即$0≤ x≤30$
利润解析式：
$\begin{aligned}y_1&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
$\because a=-10＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=5$时，$y_1$取最大值6250元，此时定价为$60+5=65$元。
2. 设每件商品降价$y$元时，每星期的利润为$y_2$元
此时单件利润为：$60-y-40=(20-y)$元
每星期销售量为：$(300+20y)$件
自变量$y$的取值范围：$\begin{cases}y≥0 \\20-y≥0 \end{cases}$，即$0≤ y≤20$
利润解析式：
$\begin{aligned}y_2&=(20-y)(300+20y)\\&=-20y^2+100y+6000\\&=-20(y-2.5)^2+6125\end{aligned}$
$\because a=-20＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$y=2.5$时，$y_2$取最大值6125元，此时定价为$60-2.5=57.5$元。
3. 比较两种情况的最大利润：$6250＞6125$
因此定价为65元时每星期利润最大。
【答案】
定价为65元/件才能使每星期的利润最大。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际利润问题的典型题，解题时需注意区分涨价、降价两种不同的销量变化规则，分开计算最值后再比较，同时要结合实际意义确定自变量的取值范围，避免因漏算场景或忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.6
3.某超市销售一种商品，成本为30元/kg，经市场调查，每天的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)之间的关系如图所示，规定每千克的售价不低于30元，且不高于80元。
(1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围。
(2)若每天销售该商品的总利润为w元，求出w关于x的函数解析式，并求出当销售价格定为多少时，每天销售该商品的利润最大？最大利润是多少？
知识建构
实际问题与二次函数
二次函数的最值
应用
高度最值类问题
面积最优化问题
利润最优化问题
(1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围。
(2)若每天销售该商品的总利润为w元，求出w关于x的函数解析式，并求出当销售价格定为多少时，每天销售该商品的利润最大？最大利润是多少？
知识建构
实际问题与二次函数
二次函数的最值
应用
高度最值类问题
面积最优化问题
利润最优化问题
答案
(1)$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-x+180(30≤x≤80)$。
(2)当销售价格定为80元/kg时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为5 000元。
(2)当销售价格定为80元/kg时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为5 000元。
解析
【分析】
第(1)问：观察销售量y与售价x的函数图象为直线，可知二者为一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，代入图象上两个已知点的坐标，解二元一次方程组求出$k、b$的值，再结合题目给出的售价限制写出自变量$x$的取值范围即可。
第(2)问：首先根据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，将每千克利润$(x-30)$和第(1)问求出的销售量$y$代入，得到$w$关于$x$的二次函数解析式；再分析二次函数的开口方向、对称轴，结合自变量的取值范围判断函数的增减性，进而求出最大利润及对应的销售价格。
【解析】
(1) 由图象可知$y$是$x$的一次函数，设$y=kx+b(k≠0)$，将图象上两点$(40,140)$、$(50,130)$代入得：
$\begin{cases}40k+b=140 \\50k+b=130 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=180 \end{cases}$
结合题意售价范围为$30≤x≤80$，因此$y$与$x$的函数解析式为$y=-x+180(30≤x≤80)$。
(2) 根据总利润公式可得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-x+180)$
展开整理得：$w=-x^2+210x-5400$
配方得：$w=-(x-105)^2+5625$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=105$
$\because 30≤x≤80＜105$，即在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大
$\therefore$当$x=80$时，$w$取得最大值，最大值为：
$w=-(80-105)^2+5625=5000$（元）
【答案】
(1)$y=-x+180(30≤x≤80)$
(2)当销售价格定为80元/kg时，每天销售该商品的利润最大，最大利润是5000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的实际应用题，解题时需注意自变量的实际取值范围，不能直接将二次函数顶点作为最值点，要先判断顶点是否在取值范围内，避免出错。
【难度系数】
0.7
第(1)问：观察销售量y与售价x的函数图象为直线，可知二者为一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，代入图象上两个已知点的坐标，解二元一次方程组求出$k、b$的值，再结合题目给出的售价限制写出自变量$x$的取值范围即可。
第(2)问：首先根据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系，将每千克利润$(x-30)$和第(1)问求出的销售量$y$代入，得到$w$关于$x$的二次函数解析式；再分析二次函数的开口方向、对称轴，结合自变量的取值范围判断函数的增减性，进而求出最大利润及对应的销售价格。
【解析】
(1) 由图象可知$y$是$x$的一次函数，设$y=kx+b(k≠0)$，将图象上两点$(40,140)$、$(50,130)$代入得：
$\begin{cases}40k+b=140 \\50k+b=130 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=180 \end{cases}$
结合题意售价范围为$30≤x≤80$，因此$y$与$x$的函数解析式为$y=-x+180(30≤x≤80)$。
(2) 根据总利润公式可得：
$w=(x-30)y=(x-30)(-x+180)$
展开整理得：$w=-x^2+210x-5400$
配方得：$w=-(x-105)^2+5625$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=105$
$\because 30≤x≤80＜105$，即在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大
$\therefore$当$x=80$时，$w$取得最大值，最大值为：
$w=-(80-105)^2+5625=5000$（元）
【答案】
(1)$y=-x+180(30≤x≤80)$
(2)当销售价格定为80元/kg时，每天销售该商品的利润最大，最大利润是5000元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的实际应用题，解题时需注意自变量的实际取值范围，不能直接将二次函数顶点作为最值点，要先判断顶点是否在取值范围内，避免出错。
【难度系数】
0.7
