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【变式】如图，截去正方体一角变成一个新的多面体，这个多面体有
7
个面，12
条棱，7
个顶点，截去的几何体有4
个面。答案
7 12 7 4
解析
【分析】
我们可以结合正方体的特征，通过有序计数的方法来解题：首先明确正方体原本有6个面、12条棱、8个顶点，再观察截去一角后的变化，计数时按照“先数可见部分、再数不可见的虚线部分”的顺序，避免遗漏；最后判断截去的几何体的形状，数它的面数即可。
【解析】
1. 数新多面体的面：原正方体的前、后、左、右、上、下6个面都保留，仅新增了1个切割形成的截面，因此总面数为$6+1=7$个；
2. 数新多面体的棱：按顺序计数所有实线棱和虚线棱，可得总棱数为12条；
3. 数新多面体的顶点：逐一计数所有交点，可得总顶点数为7个；
4. 数截去的几何体的面：截去的是三棱锥，有3个侧面来自原正方体的面，加上1个截面，总面数为$3+1=4$个。
【答案】
7；12；7；4
【知识点】
正方体的特征；截几何体；点线面体的关系
【点评】
本题考查立体图形切割后的数量变化，通过有序计数的方法就能避免漏数，熟悉常见立体图形的基本特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
我们可以结合正方体的特征，通过有序计数的方法来解题：首先明确正方体原本有6个面、12条棱、8个顶点，再观察截去一角后的变化，计数时按照“先数可见部分、再数不可见的虚线部分”的顺序，避免遗漏；最后判断截去的几何体的形状，数它的面数即可。
【解析】
1. 数新多面体的面：原正方体的前、后、左、右、上、下6个面都保留，仅新增了1个切割形成的截面，因此总面数为$6+1=7$个；
2. 数新多面体的棱：按顺序计数所有实线棱和虚线棱，可得总棱数为12条；
3. 数新多面体的顶点：逐一计数所有交点，可得总顶点数为7个；
4. 数截去的几何体的面：截去的是三棱锥，有3个侧面来自原正方体的面，加上1个截面，总面数为$3+1=4$个。
【答案】
7；12；7；4
【知识点】
正方体的特征；截几何体；点线面体的关系
【点评】
本题考查立体图形切割后的数量变化，通过有序计数的方法就能避免漏数，熟悉常见立体图形的基本特征是解题的基础。
【难度系数】
0.7
2. 点、线、面、体及其关系
面:包围着体的是面.
线:面与面相交形成线.
点:线与线相交形成点.
关系:点动成线,线动成面,面动成体.
注意:面有平面,也有曲面;线有直线,也有曲线.
面:包围着体的是面.
线:面与面相交形成线.
点:线与线相交形成点.
关系:点动成线,线动成面,面动成体.
注意:面有平面,也有曲面;线有直线,也有曲线.
答案
解：
面:包围着体的是$\underline{面}$.
线:面与面相交形成$\underline{线}$.
点:线与线相交形成$\underline{点}$.
关系:点动成$\underline{线}$,线动成$\underline{面}$,面动成$\underline{体}$.
面:包围着体的是$\underline{面}$.
线:面与面相交形成$\underline{线}$.
点:线与线相交形成$\underline{点}$.
关系:点动成$\underline{线}$,线动成$\underline{面}$,面动成$\underline{体}$.
解析
【分析】
本题考查点、线、面、体的基础概念与动态转化关系，解题时只需回忆课本中对应的基础定义即可完成填空：首先回忆静态下点线面体的构成关系：体被面包围，面和面相交得到线，线和线相交得到点；再回忆动态下的转化规律，可结合生活实例（如笔尖画线、雨刮器扫出扇面、旋转长方形得到圆柱）辅助记忆对应规律。
【解析】
根据几何基本概念逐一分析：
1. 静态构成层面：包围着体的是面；面与面相交的位置形成线；线与线相交的位置形成点。
2. 动态转化层面：点运动的轨迹为线，即点动成线；线运动的轨迹为面，即线动成面；面运动的轨迹为体，即面动成体。
因此六个空依次填入对应概念即可。
【答案】
面；线；点；线；面；体
【知识点】
点线面体的基本概念；点线面体的动态转化
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考察对几何基础元素相关概念的记忆，只要熟练掌握教材对应内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查点、线、面、体的基础概念与动态转化关系，解题时只需回忆课本中对应的基础定义即可完成填空：首先回忆静态下点线面体的构成关系：体被面包围，面和面相交得到线，线和线相交得到点；再回忆动态下的转化规律，可结合生活实例（如笔尖画线、雨刮器扫出扇面、旋转长方形得到圆柱）辅助记忆对应规律。
【解析】
根据几何基本概念逐一分析：
1. 静态构成层面：包围着体的是面；面与面相交的位置形成线；线与线相交的位置形成点。
2. 动态转化层面：点运动的轨迹为线，即点动成线；线运动的轨迹为面，即线动成面；面运动的轨迹为体，即面动成体。
因此六个空依次填入对应概念即可。
【答案】
面；线；点；线；面；体
【知识点】
点线面体的基本概念；点线面体的动态转化
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考察对几何基础元素相关概念的记忆，只要熟练掌握教材对应内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】（1）观察下列多面体，并把下表补充完整.
| 名称 | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
| 图形 | | | | |
| 顶点数a | 6 |
| 10 | 12 |
| 棱数b | 9 | 12 | | |
| 面数c | 5 | | | 8 |
（2）观察上表中的结果，你能发现a,b,c之间有什么关系吗？请写出关系式.
| 名称 | 三棱柱 | 四棱柱 | 五棱柱 | 六棱柱 |
| 图形 | | | | |
| 顶点数a | 6 |
| 10 | 12 || 棱数b | 9 | 12 | | |
| 面数c | 5 | | | 8 |
（2）观察上表中的结果，你能发现a,b,c之间有什么关系吗？请写出关系式.
答案
(1)表格中依次为8 15 18 6 7
(2)a+c−b=2
(2)a+c−b=2
解析
【分析】
（1）解决填表问题先总结n棱柱的结构规律：n棱柱有2个n边形的底面和n个侧面，因此顶点数为上下底面顶点之和，即2n个；棱数包括上下底面各n条棱加n条侧棱，共3n条；面数包括2个底面加n个侧面，共n+2个。根据该规律，对应n=4、5、6的棱柱，即可算出空缺数值。
（2）探究a、b、c的关系时，将每组已知的a、b、c数值代入验证计算，找到四组数据都满足的等式即可。
【解析】
（1）根据棱柱的结构规律：
①四棱柱对应n=4：顶点数a=2×4=8，面数c=4+2=6；
②五棱柱对应n=5：棱数b=3×5=15，面数c=5+2=7；
③六棱柱对应n=6：棱数b=3×6=18。
因此表格空缺从左到右、从上到下依次填写8、15、18、6、7。
（2）将四组对应数值代入计算验证：
三棱柱：$6+5-9=2$；
四棱柱：$8+6-12=2$；
五棱柱：$10+7-15=2$；
六棱柱：$12+8-18=2$。
所有棱柱都满足该数量关系，因此关系式为$a+c-b=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8，15，18，6，7}$
（2）$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的特征，规律归纳，点线面关系
【点评】
本题以常见棱柱为载体，既考查对棱柱基本结构的认识，也考查归纳推理能力，需要先掌握棱柱顶点、棱、面的计数方法，再通过计算验证得到普遍规律，是几何入门阶段的典型规律探究题。
【难度系数】
0.7
（1）解决填表问题先总结n棱柱的结构规律：n棱柱有2个n边形的底面和n个侧面，因此顶点数为上下底面顶点之和，即2n个；棱数包括上下底面各n条棱加n条侧棱，共3n条；面数包括2个底面加n个侧面，共n+2个。根据该规律，对应n=4、5、6的棱柱，即可算出空缺数值。
（2）探究a、b、c的关系时，将每组已知的a、b、c数值代入验证计算，找到四组数据都满足的等式即可。
【解析】
（1）根据棱柱的结构规律：
①四棱柱对应n=4：顶点数a=2×4=8，面数c=4+2=6；
②五棱柱对应n=5：棱数b=3×5=15，面数c=5+2=7；
③六棱柱对应n=6：棱数b=3×6=18。
因此表格空缺从左到右、从上到下依次填写8、15、18、6、7。
（2）将四组对应数值代入计算验证：
三棱柱：$6+5-9=2$；
四棱柱：$8+6-12=2$；
五棱柱：$10+7-15=2$；
六棱柱：$12+8-18=2$。
所有棱柱都满足该数量关系，因此关系式为$a+c-b=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8，15，18，6，7}$
（2）$\boldsymbol{a+c-b=2}$
【知识点】
棱柱的特征，规律归纳，点线面关系
【点评】
本题以常见棱柱为载体，既考查对棱柱基本结构的认识，也考查归纳推理能力，需要先掌握棱柱顶点、棱、面的计数方法，再通过计算验证得到普遍规律，是几何入门阶段的典型规律探究题。
【难度系数】
0.7
【例2】(2024秋滑县期末)如图是一个花瓶,下列平面图形绕虚线旋转一周,能形成这个花瓶表面的是 (
C
)答案
C
解析
【分析】
解决这类问题的核心是“面动成体”的原理：平面图形绕固定轴旋转一周，图形的边界会扫出立体图形的表面。解题时我们可以先观察目标花瓶的轮廓特征：有较窄的瓶颈、向外凸起的瓶身、底部稍收窄的结构，再逐一分析每个选项旋转后得到的立体形状，和花瓶特征比对即可找到答案。
【解析】
我们根据面动成体的规律逐个分析选项：
1. 选项A：该图形绕虚线旋转后，得到的是上部带小凸起、下部为类球体的立体，和花瓶的轮廓不符，排除；
2. 选项B：长方形绕虚线旋转后得到圆柱体，没有瓶颈、鼓肚的结构，和花瓶形状差异大，排除；
3. 选项C：该图形的左侧轮廓和花瓶的侧轮廓完全匹配，绕虚线旋转后恰好能得到题干中的花瓶，符合要求；
4. 选项D：该图形绕虚线旋转后得到的是类圆台的立体，没有瓶颈凹陷、瓶身凸起的结构，和花瓶不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
面动成体、旋转体识别
【点评】
本题是空间想象能力的基础考查题，解题时既可以通过想象平面图形旋转的过程判断结果，也可以通过反向提取立体的侧轮廓来匹配平面图形，熟练掌握常见平面图形旋转后的立体形状能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心是“面动成体”的原理：平面图形绕固定轴旋转一周，图形的边界会扫出立体图形的表面。解题时我们可以先观察目标花瓶的轮廓特征：有较窄的瓶颈、向外凸起的瓶身、底部稍收窄的结构，再逐一分析每个选项旋转后得到的立体形状，和花瓶特征比对即可找到答案。
【解析】
我们根据面动成体的规律逐个分析选项：
1. 选项A：该图形绕虚线旋转后，得到的是上部带小凸起、下部为类球体的立体，和花瓶的轮廓不符，排除；
2. 选项B：长方形绕虚线旋转后得到圆柱体，没有瓶颈、鼓肚的结构，和花瓶形状差异大，排除；
3. 选项C：该图形的左侧轮廓和花瓶的侧轮廓完全匹配，绕虚线旋转后恰好能得到题干中的花瓶，符合要求；
4. 选项D：该图形绕虚线旋转后得到的是类圆台的立体，没有瓶颈凹陷、瓶身凸起的结构，和花瓶不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
面动成体、旋转体识别
【点评】
本题是空间想象能力的基础考查题，解题时既可以通过想象平面图形旋转的过程判断结果，也可以通过反向提取立体的侧轮廓来匹配平面图形，熟练掌握常见平面图形旋转后的立体形状能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
【变式】下列几何体不能通过平面图形旋转得到的是（
C
）答案
C
解析
【分析】
本题考查面动成体原理的应用，解题思路如下：首先明确旋转体的定义：由平面图形绕一条固定直线旋转得到的立体图形为旋转体，接下来逐一分析各选项的几何体是否属于旋转体即可：先回忆常见旋转体的类型，圆柱、圆锥、球都是典型的旋转体，分别对应长方形、直角三角形、半圆旋转得到；而正方体是棱柱类几何体，无法通过平面旋转得到，由此即可确定符合要求的选项。
【解析】
根据“面动成体”的原理逐一判断：
A. 圆柱可由长方形绕它的一条边所在直线旋转一周得到，不符合题意；
B. 球可由半圆绕它的直径所在直线旋转一周得到，不符合题意；
C. 正方体无法通过平面图形旋转得到，它可由正方形沿垂直于自身平面的方向平移得到，符合题意；
D. 圆锥可由直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体识别；几何体的形成
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对常见几何体形成过程的掌握，需要同学们区分开旋转形成的几何体和平移形成的几何体的差异，熟练记忆典型旋转体对应的平面原型即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查面动成体原理的应用，解题思路如下：首先明确旋转体的定义：由平面图形绕一条固定直线旋转得到的立体图形为旋转体，接下来逐一分析各选项的几何体是否属于旋转体即可：先回忆常见旋转体的类型，圆柱、圆锥、球都是典型的旋转体，分别对应长方形、直角三角形、半圆旋转得到；而正方体是棱柱类几何体，无法通过平面旋转得到，由此即可确定符合要求的选项。
【解析】
根据“面动成体”的原理逐一判断：
A. 圆柱可由长方形绕它的一条边所在直线旋转一周得到，不符合题意；
B. 球可由半圆绕它的直径所在直线旋转一周得到，不符合题意；
C. 正方体无法通过平面图形旋转得到，它可由正方形沿垂直于自身平面的方向平移得到，符合题意；
D. 圆锥可由直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
面动成体；旋转体识别；几何体的形成
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对常见几何体形成过程的掌握，需要同学们区分开旋转形成的几何体和平移形成的几何体的差异，熟练记忆典型旋转体对应的平面原型即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.在世界地图上，一个城市可以看成 （
A.一个点
B.一条直线
C.一个面
D.一个几何体
A
）A.一个点
B.一条直线
C.一个面
D.一个几何体
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆点、线、面、体的基本概念，明确几何抽象的规则：当研究对象的大小、形状相对于整体研究范围可以忽略时，可将其抽象为对应的几何图形。世界地图的研究范围是全球，城市的尺寸和全球范围相比极小，可忽略其形状、大小，对应点的特征，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据几何图形的抽象规则：
1. 点的特征是仅表示位置，大小、形状可忽略不计。世界地图的覆盖范围是全球，城市的面积、规模和全球范围相比可以完全忽略，因此在世界地图上可以将城市看作一个点。
2. 分析其余选项：B选项直线是向两端无限延伸的，城市不具备该特征；C选项面有明确的大小、范围，仅当地图范围很小（如城市本地地图）时城市才可能看作面，世界地图尺度下不符合；D选项几何体是三维立体图形，世界地图是平面表达，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
点的概念，几何图形抽象
【点评】
本题结合生活实际考查几何基本图形的判断，核心是理解点的抽象意义，属于基础类考题，只要掌握几何图形的抽象规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆点、线、面、体的基本概念，明确几何抽象的规则：当研究对象的大小、形状相对于整体研究范围可以忽略时，可将其抽象为对应的几何图形。世界地图的研究范围是全球，城市的尺寸和全球范围相比极小，可忽略其形状、大小，对应点的特征，再逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据几何图形的抽象规则：
1. 点的特征是仅表示位置，大小、形状可忽略不计。世界地图的覆盖范围是全球，城市的面积、规模和全球范围相比可以完全忽略，因此在世界地图上可以将城市看作一个点。
2. 分析其余选项：B选项直线是向两端无限延伸的，城市不具备该特征；C选项面有明确的大小、范围，仅当地图范围很小（如城市本地地图）时城市才可能看作面，世界地图尺度下不符合；D选项几何体是三维立体图形，世界地图是平面表达，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
点的概念，几何图形抽象
【点评】
本题结合生活实际考查几何基本图形的判断，核心是理解点的抽象意义，属于基础类考题，只要掌握几何图形的抽象规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. (2024秋湄潭县期末)朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（
A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
D.以上三个均有
A
）A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
D.以上三个均有
答案
A
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：将单个雨滴看作点，下落的雨整体看作线，再回忆点、线、面、体的运动规律：点动成线、线动成面、面动成体。将题干场景和规律对应，同时逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
题干中单个雨滴可被看作一个点，雨滴不断下落的运动过程，最终呈现为我们看到的雨线，这种几何现象符合“点动成线”的原理。
选项B“线动成面”是指线的运动形成平面图形，如汽车雨刮器运动刮出扇形面，与本题场景不符；
选项C“面动成体”是指面的运动形成立体图形，如旋转长方形得到圆柱，与本题场景不符；
因此排除B、C、D选项，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
点动成线、点线面的运动关系
【点评】
本题结合生活中常见的降雨场景考查几何基本规律，引导学生学会用数学视角观察生活现象，难度较低，只要准确理解点线面体的运动原理即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：将单个雨滴看作点，下落的雨整体看作线，再回忆点、线、面、体的运动规律：点动成线、线动成面、面动成体。将题干场景和规律对应，同时逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
题干中单个雨滴可被看作一个点，雨滴不断下落的运动过程，最终呈现为我们看到的雨线，这种几何现象符合“点动成线”的原理。
选项B“线动成面”是指线的运动形成平面图形，如汽车雨刮器运动刮出扇形面，与本题场景不符；
选项C“面动成体”是指面的运动形成立体图形，如旋转长方形得到圆柱，与本题场景不符；
因此排除B、C、D选项，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
点动成线、点线面的运动关系
【点评】
本题结合生活中常见的降雨场景考查几何基本规律，引导学生学会用数学视角观察生活现象，难度较低，只要准确理解点线面体的运动原理即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
