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1.已知$x=2$是关于$x$的方程$2x - a = 0$的解，而$a$又是关于$x$的方程$3x + 2 = b$的解，求$a - 2b$的值.
答案
1. 解:将 $x=2$ 代入方程 $2x-a=0$，得 $4-a=0$.所以 $a=4$.将 $x=4$ 代入方程 $3x+2=b$，得 $b=12+2=14$.所以 $a-2b=4-2×14=-24$.
解析
【分析】
解题思路基于方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。第一步，把已知解x=2代入第一个方程，即可求出参数a的值；第二步，因为a是第二个方程的解，即第二个方程中x的取值为a，把求出的a代入第二个方程就能算出b的值；最后将a、b的值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：将$x=2$代入方程$2x - a = 0$，
得$2×2 - a = 0$，即$4 - a = 0$，解得$a=4$。
因为$a$是方程$3x + 2 = b$的解，将$x=a=4$代入$3x + 2 = b$，
得$3×4 + 2 = b$，解得$b=14$。
将$a=4$、$b=14$代入$a - 2b$，
得$a - 2b = 4 - 2×14 = 4 - 28 = -24$。
【答案】
$-24$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查对方程解的概念的理解，解题核心是利用解的定义两次代入求参数，属于常规基础题型，熟练掌握代入法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路基于方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。第一步，把已知解x=2代入第一个方程，即可求出参数a的值；第二步，因为a是第二个方程的解，即第二个方程中x的取值为a，把求出的a代入第二个方程就能算出b的值；最后将a、b的值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：将$x=2$代入方程$2x - a = 0$，
得$2×2 - a = 0$，即$4 - a = 0$，解得$a=4$。
因为$a$是方程$3x + 2 = b$的解，将$x=a=4$代入$3x + 2 = b$，
得$3×4 + 2 = b$，解得$b=14$。
将$a=4$、$b=14$代入$a - 2b$，
得$a - 2b = 4 - 2×14 = 4 - 28 = -24$。
【答案】
$-24$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题重点考查对方程解的概念的理解，解题核心是利用解的定义两次代入求参数，属于常规基础题型，熟练掌握代入法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.当k为何值时,关于x的方程$\frac{2x + k}{3} + 1 = \frac{1 - x}{2} + k$的解为$x = -1$?
答案
2. 解:将 $x=-1$ 代入方程 $\frac{2x+k}{3}+1=\frac{1-x}{2}+k$，得 $\frac{2×(-1)+k}{3}+1=\frac{1-(-1)}{2}+k$.整理,得 $\frac{k-2}{3}+1=1+k$.解得 $k=-1$.所以当 $k=-1$ 时,关于 $x$ 的方程 $\frac{2x+k}{3}+1=\frac{1-x}{2}+k$ 的解为 $x=-1$.
解析
【分析】
本题是已知方程的解求参数的问题，解题思路如下：首先根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以把x=-1代入原方程后等式仍然成立；代入后原方程就转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，即可得到k的值。
【解析】
将$x=-1$代入方程$\frac{2x + k}{3} + 1 = \frac{1 - x}{2} + k$，得：
$\frac{2×(-1)+k}{3} + 1 = \frac{1 - (-1)}{2} + k$
整理计算等号两边的常数项，得：
$\frac{k - 2}{3} + 1 = 1 + k$
两边同时减去1，得：
$\frac{k - 2}{3} = k$
两边同时乘3去分母，得：
$k - 2 = 3k$
移项，得：
$k - 3k = 2$
合并同类项，得：
$-2k = 2$
系数化为1，得：
$k = -1$
【答案】
$k=-1$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础常规题型，核心考查方程解的含义，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，就能顺利将问题转化为普通的一元一次方程求解，需要熟练掌握这类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
本题是已知方程的解求参数的问题，解题思路如下：首先根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以把x=-1代入原方程后等式仍然成立；代入后原方程就转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解，即可得到k的值。
【解析】
将$x=-1$代入方程$\frac{2x + k}{3} + 1 = \frac{1 - x}{2} + k$，得：
$\frac{2×(-1)+k}{3} + 1 = \frac{1 - (-1)}{2} + k$
整理计算等号两边的常数项，得：
$\frac{k - 2}{3} + 1 = 1 + k$
两边同时减去1，得：
$\frac{k - 2}{3} = k$
两边同时乘3去分母，得：
$k - 2 = 3k$
移项，得：
$k - 3k = 2$
合并同类项，得：
$-2k = 2$
系数化为1，得：
$k = -1$
【答案】
$k=-1$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程部分的基础常规题型，核心考查方程解的含义，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一要点，就能顺利将问题转化为普通的一元一次方程求解，需要熟练掌握这类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
3.我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如:方程$2x=6$与方程$4x=12$的解都为$x=3$,所以它们为同解方程.
(1)若方程$2x-3=11$与关于$x$的方程$4x+5=3k$是同解方程,求$k$的值;
(2)若关于$x$的方程$3[x-2(x-\dfrac{k}{3})]=4x$和$\dfrac{3x+k}{12}-\dfrac{1-5x}{8}=1$是同解方程,求$k$的值.
(1)若方程$2x-3=11$与关于$x$的方程$4x+5=3k$是同解方程,求$k$的值;
(2)若关于$x$的方程$3[x-2(x-\dfrac{k}{3})]=4x$和$\dfrac{3x+k}{12}-\dfrac{1-5x}{8}=1$是同解方程,求$k$的值.
答案
3. (1) 解方程 $2x-3=11$,得 $x=7$.由题意知,关于 $x$ 的方程 $4x+5=3k$ 的解是 $x=7$.把 $x=7$ 代入方程 $4x+5=3k$,得 $4×7+5=3k$,解得 $k=11$.所以 $k$ 的值为 11.
(2) 解方程 $3[x-2(x-\frac{k}{3})]=4x$,得 $x=\frac{2k}{7}$.解方程 $\frac{3x+k}{12}-\frac{1-5x}{8}=1$,得 $x=\frac{27-2k}{21}$.因为关于 $x$ 的方程 $3[x-2(x-\frac{k}{3})]=4x$ 和 $\frac{3x+k}{12}-\frac{1-5x}{8}=1$ 是同解方程,所以 $\frac{2k}{7}=\frac{27-2k}{21}$,解得 $k=\frac{27}{8}$.所以 $k$ 的值为 $\frac{27}{8}$.
(2) 解方程 $3[x-2(x-\frac{k}{3})]=4x$,得 $x=\frac{2k}{7}$.解方程 $\frac{3x+k}{12}-\frac{1-5x}{8}=1$,得 $x=\frac{27-2k}{21}$.因为关于 $x$ 的方程 $3[x-2(x-\frac{k}{3})]=4x$ 和 $\frac{3x+k}{12}-\frac{1-5x}{8}=1$ 是同解方程,所以 $\frac{2k}{7}=\frac{27-2k}{21}$,解得 $k=\frac{27}{8}$.所以 $k$ 的值为 $\frac{27}{8}$.
解析
【分析】
本题考查同解方程的应用，解题核心是利用“同解方程的解完全相同”这一性质求解参数。
(1) 先求解不含参数的方程$2x-3=11$，得到$x$的具体值；再根据同解性质，将$x$的值代入含参数$k$的方程$4x+5=3k$，即可求出$k$的值。
(2) 两个方程都含有参数$k$，先分别解两个方程，将两个方程的解都用含$k$的代数式表示；再根据同解的性质，令两个表示解的代数式相等，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=11$：
移项得$2x=11+3$，即$2x=14$，
系数化为1得$x=7$。
因为两个方程是同解方程，所以$x=7$也是方程$4x+5=3k$的解，
将$x=7$代入$4x+5=3k$，得：
$4×7 +5 =3k$，
计算得$33=3k$，
系数化为1得$k=11$。
(2) 解方程$3[x-2(x-\dfrac{k}{3})]=4x$：
去小括号得$3[x-2x+\dfrac{2k}{3}]=4x$，
合并中括号内同类项得$3[-x+\dfrac{2k}{3}]=4x$，
去中括号得$-3x + 2k =4x$，
移项合并同类项得$-7x=-2k$，
系数化为1得$x=\dfrac{2k}{7}$。
解方程$\dfrac{3x+k}{12}-\dfrac{1-5x}{8}=1$：
去分母，两边同时乘24得$2(3x+k)-3(1-5x)=24$，
去括号得$6x+2k -3 +15x=24$，
合并同类项得$21x +2k -3=24$，
移项得$21x=27-2k$，
系数化为1得$x=\dfrac{27-2k}{21}$。
因为两个方程是同解方程，所以$\dfrac{2k}{7}=\dfrac{27-2k}{21}$，
去分母得$6k=27-2k$，
移项合并同类项得$8k=27$，
系数化为1得$k=\dfrac{27}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=11}$；(2) $\boldsymbol{k=\dfrac{27}{8}}$
【知识点】
同解方程的概念，解一元一次方程，求方程中的参数
【点评】
本题是同解方程的典型题型，解题核心是抓住同解方程的解相等的性质，通过求解方程得到解的表达式或具体值，进而建立关于参数的方程求解。解题时要注意去括号、去分母时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题考查同解方程的应用，解题核心是利用“同解方程的解完全相同”这一性质求解参数。
(1) 先求解不含参数的方程$2x-3=11$，得到$x$的具体值；再根据同解性质，将$x$的值代入含参数$k$的方程$4x+5=3k$，即可求出$k$的值。
(2) 两个方程都含有参数$k$，先分别解两个方程，将两个方程的解都用含$k$的代数式表示；再根据同解的性质，令两个表示解的代数式相等，得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=11$：
移项得$2x=11+3$，即$2x=14$，
系数化为1得$x=7$。
因为两个方程是同解方程，所以$x=7$也是方程$4x+5=3k$的解，
将$x=7$代入$4x+5=3k$，得：
$4×7 +5 =3k$，
计算得$33=3k$，
系数化为1得$k=11$。
(2) 解方程$3[x-2(x-\dfrac{k}{3})]=4x$：
去小括号得$3[x-2x+\dfrac{2k}{3}]=4x$，
合并中括号内同类项得$3[-x+\dfrac{2k}{3}]=4x$，
去中括号得$-3x + 2k =4x$，
移项合并同类项得$-7x=-2k$，
系数化为1得$x=\dfrac{2k}{7}$。
解方程$\dfrac{3x+k}{12}-\dfrac{1-5x}{8}=1$：
去分母，两边同时乘24得$2(3x+k)-3(1-5x)=24$，
去括号得$6x+2k -3 +15x=24$，
合并同类项得$21x +2k -3=24$，
移项得$21x=27-2k$，
系数化为1得$x=\dfrac{27-2k}{21}$。
因为两个方程是同解方程，所以$\dfrac{2k}{7}=\dfrac{27-2k}{21}$，
去分母得$6k=27-2k$，
移项合并同类项得$8k=27$，
系数化为1得$k=\dfrac{27}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=11}$；(2) $\boldsymbol{k=\dfrac{27}{8}}$
【知识点】
同解方程的概念，解一元一次方程，求方程中的参数
【点评】
本题是同解方程的典型题型，解题核心是抓住同解方程的解相等的性质，通过求解方程得到解的表达式或具体值，进而建立关于参数的方程求解。解题时要注意去括号、去分母时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
4.已知关于$x$的方程$x - 2m = 3x + 4$与$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1$的解互为相反数，求$m$的值.
答案
4. 解:解方程 $\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$,得 $x=-1$.因为关于 $x$ 的方程 $x-2m=3x+4$ 与 $\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}=1$ 的解互为相反数,所以把 $x=1$ 代入方程 $x-2m=3x+4$,得 $1-2m=3+4$.解得 $m=-3$.
解析
【分析】
解题时先抓住核心条件：两个方程的解互为相反数。第一步优先求解不含参数的方程$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1$，得到确定的解；第二步根据相反数的性质，得出含参数$m$的方程的解；第三步将该解代入含$m$的方程，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
先解方程$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1$：
1. 去分母，两边同乘6得：$3(x+1)-2(2x-1)=6$
2. 去括号得：$3x+3-4x+2=6$
3. 移项、合并同类项得：$-x=1$
4. 系数化为1得：$x=-1$
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$x-2m=3x+4$的解为$x=1$。
将$x=1$代入$x-2m=3x+4$得：
$1-2m=3×1+4$
化简得：$1-2m=7$
移项得：$-2m=6$
解得：$m=-3$
【答案】
$m=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 相反数的性质
3. 含参方程求参数
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是先求解无参数的方程得到确定解，再利用解的数量关系代入含参方程计算参数，重点考察基础运算能力和对概念的理解运用。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住核心条件：两个方程的解互为相反数。第一步优先求解不含参数的方程$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1$，得到确定的解；第二步根据相反数的性质，得出含参数$m$的方程的解；第三步将该解代入含$m$的方程，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
先解方程$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{3} = 1$：
1. 去分母，两边同乘6得：$3(x+1)-2(2x-1)=6$
2. 去括号得：$3x+3-4x+2=6$
3. 移项、合并同类项得：$-x=1$
4. 系数化为1得：$x=-1$
因为两个方程的解互为相反数，所以方程$x-2m=3x+4$的解为$x=1$。
将$x=1$代入$x-2m=3x+4$得：
$1-2m=3×1+4$
化简得：$1-2m=7$
移项得：$-2m=6$
解得：$m=-3$
【答案】
$m=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 相反数的性质
3. 含参方程求参数
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是先求解无参数的方程得到确定解，再利用解的数量关系代入含参方程计算参数，重点考察基础运算能力和对概念的理解运用。
【难度系数】
0.8
5.已知方程$3(x-1)-4(x+3)=4x$的解比方程$a(x-4)-18=0$的解大2，求$a$的值.
答案
5. 解:解方程 $3(x-1)-4(x+3)=4x$,得 $x=-3$,所以方程 $a(x-4)-18=0$ 的解为 $x=-5$.代入,得 $a(-5-4)-18=0$,解得 $a=-2$.
解析
【分析】
解题时可按三步思路推导：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3(x-1)-4(x+3)=4x$，得到它的解；第二步根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的数量关系，计算出第二个含参数方程的解；第三步将第二个方程的解代入该方程，得到仅含参数$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$3(x-1)-4(x+3)=4x$：
去括号，得：$3x-3-4x-12=4x$
移项，得：$3x-4x-4x=3+12$
合并同类项，得：$-5x=15$
系数化为1，得：$x=-3$
2. 求方程$a(x-4)-18=0$的解：
由题意，第一个方程的解比第二个方程的解大2，因此第二个方程的解为$x=-3-2=-5$
3. 代入求$a$的值：
将$x=-5$代入$a(x-4)-18=0$，得：
$a×(-5-4)-18=0$
整理得：$-9a-18=0$
移项得：$-9a=18$
系数化为1，得：$a=-2$
【答案】
$a=-2$
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的应用；参数求值
【点评】
本题是一元一次方程的常规应用题型，解题核心是理清两个方程解的数量关系，重点考察一元一次方程的基础运算能力，掌握解方程的基本步骤和方程解的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思路推导：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3(x-1)-4(x+3)=4x$，得到它的解；第二步根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的数量关系，计算出第二个含参数方程的解；第三步将第二个方程的解代入该方程，得到仅含参数$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$3(x-1)-4(x+3)=4x$：
去括号，得：$3x-3-4x-12=4x$
移项，得：$3x-4x-4x=3+12$
合并同类项，得：$-5x=15$
系数化为1，得：$x=-3$
2. 求方程$a(x-4)-18=0$的解：
由题意，第一个方程的解比第二个方程的解大2，因此第二个方程的解为$x=-3-2=-5$
3. 代入求$a$的值：
将$x=-5$代入$a(x-4)-18=0$，得：
$a×(-5-4)-18=0$
整理得：$-9a-18=0$
移项得：$-9a=18$
系数化为1，得：$a=-2$
【答案】
$a=-2$
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的应用；参数求值
【点评】
本题是一元一次方程的常规应用题型，解题核心是理清两个方程解的数量关系，重点考察一元一次方程的基础运算能力，掌握解方程的基本步骤和方程解的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
