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7.某航天模型销售店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种模型.已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元.每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？
答案
解：设每个“天宫”模型的进价为$x$元，则每个“神舟”模型的进价为$(150-3x)$元。
根据题意，得$3(150-3x)+2x=240$，
解得$x=30$。
所以$150-3x=150-3×30=60$(元)。
答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
根据题意，得$3(150-3x)+2x=240$，
解得$x=30$。
所以$150-3x=150-3×30=60$(元)。
答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程求解实际问题的题目，解题思路如下：第一步先从题干提取两个等量关系：①1个“神舟”模型的进价+3个“天宫”模型的进价=150元；②3个“神舟”模型的进价+2个“天宫”模型的进价=240元。第二步设其中一个未知量为x，借助第一个等量关系用含x的式子表示出另一个未知量。第三步把两个量代入第二个等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出两个模型的进价。
【解析】
设每个“天宫”模型的进价为$x$元，则根据第一个等量关系可得每个“神舟”模型的进价为$(150-3x)$元。
根据第二个等量关系列方程：
$3(150-3x)+2x=240$
展开得：$450-9x+2x=240$
合并同类项得：$450-7x=240$
移项计算得：$7x=210$
解得：$x=30$
将$x=30$代入$150-3x$，得“神舟”模型的进价为$150-3×30=60$（元）。
答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
【答案】
每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的基础题型，核心是准确抓取题干中的等量关系，合理设元后列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
这是一道利用一元一次方程求解实际问题的题目，解题思路如下：第一步先从题干提取两个等量关系：①1个“神舟”模型的进价+3个“天宫”模型的进价=150元；②3个“神舟”模型的进价+2个“天宫”模型的进价=240元。第二步设其中一个未知量为x，借助第一个等量关系用含x的式子表示出另一个未知量。第三步把两个量代入第二个等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可求出两个模型的进价。
【解析】
设每个“天宫”模型的进价为$x$元，则根据第一个等量关系可得每个“神舟”模型的进价为$(150-3x)$元。
根据第二个等量关系列方程：
$3(150-3x)+2x=240$
展开得：$450-9x+2x=240$
合并同类项得：$450-7x=240$
移项计算得：$7x=210$
解得：$x=30$
将$x=30$代入$150-3x$，得“神舟”模型的进价为$150-3×30=60$（元）。
答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
【答案】
每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的基础题型，核心是准确抓取题干中的等量关系，合理设元后列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
8.(新定义)设$a,b,c,d$为有理数，现规定一种新的运算：$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，则满足等式$\begin{vmatrix} \frac{x}{2}&\frac{x+1}{3}\\2&1 \end{vmatrix}=1$的$x$的值为 ______ 。
答案
$-10$
解析
【分析】首先要明确题目给出的新运算规则：二阶行列式的值等于左上角与右下角元素的乘积，减去右上角与左下角元素的乘积。解题时先把行列式中对应的元素代入新运算公式，就能得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可得到x的值。
【解析】根据新运算规定$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，将对应元素代入得：
$\frac{x}{2}×1 - \frac{x+1}{3}×2 = 1$
整理方程：$\frac{x}{2} - \frac{2(x+1)}{3} =1$
去分母，两边同时乘6：$3x - 4(x+1) = 6$
去括号：$3x -4x -4 =6$
移项：$3x -4x =6 +4$
合并同类项：$-x =10$
系数化为1：$x=-10$
【答案】$-10$
【知识点】新定义运算；解一元一次方程
【点评】本题结合新定义运算考查一元一次方程的解法，解题的关键是准确理解新运算规则，正确转化为常规的一元一次方程求解，计算时要注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】根据新运算规定$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，将对应元素代入得：
$\frac{x}{2}×1 - \frac{x+1}{3}×2 = 1$
整理方程：$\frac{x}{2} - \frac{2(x+1)}{3} =1$
去分母，两边同时乘6：$3x - 4(x+1) = 6$
去括号：$3x -4x -4 =6$
移项：$3x -4x =6 +4$
合并同类项：$-x =10$
系数化为1：$x=-10$
【答案】$-10$
【知识点】新定义运算；解一元一次方程
【点评】本题结合新定义运算考查一元一次方程的解法，解题的关键是准确理解新运算规则，正确转化为常规的一元一次方程求解，计算时要注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】0.7
9.小王步行往返于甲、乙两地，去程和返程的计划用时相同.去时速度为6 km/h，比计划时间早到了20 min；返回时速度为4 km/h，比计划时间晚到了5 min.甲、乙两地的距离是多少千米？
答案
解：设甲、乙两地的距离是$x$ km。
根据题意，得$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{25}{60}$，
解得$x=5$。
答：甲、乙两地的距离是5 km。
根据题意，得$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{25}{60}$，
解得$x=5$。
答：甲、乙两地的距离是5 km。
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：往返计划用时相同，去时早到20分钟、返回时晚到5分钟，说明返回的实际用时比去时的实际用时多20+5=25分钟。行程问题中时间=路程÷速度，我们设甲、乙两地距离为x km，即可分别表示出往返的实际用时，注意速度单位为km/h，需将时间差换算为25/60小时，根据往返用时差列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两地的距离是$x$ km。
根据往返实际用时的差为25分钟，列方程得：
$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{20+5}{60}$，即$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{25}{60}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$3x - 2x = 5$
解得$x=5$
【答案】
5 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是找准往返实际用时的差值这一等量关系，求解过程中要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等量关系：往返计划用时相同，去时早到20分钟、返回时晚到5分钟，说明返回的实际用时比去时的实际用时多20+5=25分钟。行程问题中时间=路程÷速度，我们设甲、乙两地距离为x km，即可分别表示出往返的实际用时，注意速度单位为km/h，需将时间差换算为25/60小时，根据往返用时差列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两地的距离是$x$ km。
根据往返实际用时的差为25分钟，列方程得：
$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{20+5}{60}$，即$\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=\frac{25}{60}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$3x - 2x = 5$
解得$x=5$
【答案】
5 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是找准往返实际用时的差值这一等量关系，求解过程中要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10.已知关于$x$的方程$x-\dfrac{2-ax}{6}=\dfrac{x}{3}-2$有非负整数解，则整数$a$的所有可能的取值的和为(
A.23
B.$-23$
C.34
D.$-34$
D
).A.23
B.$-23$
C.34
D.$-34$
答案
10. D
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求整数解的题目，解题思路如下：①先按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），将x用含参数a的代数式表示；②根据“方程有非负整数解”的要求，即x≥0且x为整数，结合a是整数的条件，确定a的所有符合要求的取值；③将所有符合条件的a相加，得到最终结果，注意要结合x的符号限制排除不符合的取值，避免多解或漏解。
【解析】
解：先求解原方程：
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：
$6x - (2 - ax) = 2x - 12$
2. 去括号，得：
$6x - 2 + ax = 2x - 12$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：
$6x + ax - 2x = -12 + 2$
4. 合并同类项，得：
$(a + 4)x = -10$
5. 系数化为1，得：
$x = \dfrac{-10}{a + 4}$
根据题意，方程有非负整数解，即$x ≥ 0$且x为整数，a为整数：
首先由$x ≥ 0$可得$\dfrac{-10}{a + 4} ≥ 0$，因分子-10＜0，故分母$a + 4 ＜ 0$；
其次x为整数，说明$a + 4$是-10的负约数，-10的负约数有-1、-2、-5、-10，对应：
当$a + 4 = -1$时，$a = -5$，此时$x = 10$，符合要求；
当$a + 4 = -2$时，$a = -6$，此时$x = 5$，符合要求；
当$a + 4 = -5$时，$a = -9$，此时$x = 2$，符合要求；
当$a + 4 = -10$时，$a = -14$，此时$x = 1$，符合要求；
将所有符合条件的a相加：$-5 + (-6) + (-9) + (-14) = -34$
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程的解；整数解分类讨论
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法及整数解的分析能力，解题核心是准确用参数表示出方程的解，再结合非负整数的限制条件筛选参数值，易错点是忽略分母的符号要求，误将正约数纳入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.4
这是一道含参数的一元一次方程求整数解的题目，解题思路如下：①先按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），将x用含参数a的代数式表示；②根据“方程有非负整数解”的要求，即x≥0且x为整数，结合a是整数的条件，确定a的所有符合要求的取值；③将所有符合条件的a相加，得到最终结果，注意要结合x的符号限制排除不符合的取值，避免多解或漏解。
【解析】
解：先求解原方程：
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：
$6x - (2 - ax) = 2x - 12$
2. 去括号，得：
$6x - 2 + ax = 2x - 12$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：
$6x + ax - 2x = -12 + 2$
4. 合并同类项，得：
$(a + 4)x = -10$
5. 系数化为1，得：
$x = \dfrac{-10}{a + 4}$
根据题意，方程有非负整数解，即$x ≥ 0$且x为整数，a为整数：
首先由$x ≥ 0$可得$\dfrac{-10}{a + 4} ≥ 0$，因分子-10＜0，故分母$a + 4 ＜ 0$；
其次x为整数，说明$a + 4$是-10的负约数，-10的负约数有-1、-2、-5、-10，对应：
当$a + 4 = -1$时，$a = -5$，此时$x = 10$，符合要求；
当$a + 4 = -2$时，$a = -6$，此时$x = 5$，符合要求；
当$a + 4 = -5$时，$a = -9$，此时$x = 2$，符合要求；
当$a + 4 = -10$时，$a = -14$，此时$x = 1$，符合要求；
将所有符合条件的a相加：$-5 + (-6) + (-9) + (-14) = -34$
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；一元一次方程的解；整数解分类讨论
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法及整数解的分析能力，解题核心是准确用参数表示出方程的解，再结合非负整数的限制条件筛选参数值，易错点是忽略分母的符号要求，误将正约数纳入计算导致结果错误。
【难度系数】
0.4
11.定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”.例如:方程$2x=4$和$3x+6=0$为“兄弟方程”.若关于$x$的方程$2x+3n-2=0$和$3x-5n+4=0$是“兄弟方程”,求$n$的值.
答案
解：方程$2x+3n-2=0$的解为$x=\frac{-3n+2}{2}$，方程$3x-5n+4=0$的解为$x=\frac{5n-4}{3}$。
因为关于$x$的方程$2x+3n-2=0$和$3x-5n+4=0$是“兄弟方程”，
所以$\frac{-3n+2}{2}+\frac{5n-4}{3}=0$。
解得$n=2$。
因为关于$x$的方程$2x+3n-2=0$和$3x-5n+4=0$是“兄弟方程”，
所以$\frac{-3n+2}{2}+\frac{5n-4}{3}=0$。
解得$n=2$。
解析
【分析】
首先明确“兄弟方程”的核心定义：两个一元一次方程的解互为相反数。解题可按三步展开：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，用含n的代数式表示出两个方程的解；第二步，根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于n的一元一次方程；第三步，解该方程即可得到n的值。
【解析】
解：先求解方程$2x+3n-2=0$，
移项，得$2x=2-3n$，
系数化为1，得$x=\frac{2-3n}{2}$。
再求解方程$3x-5n+4=0$，
移项，得$3x=5n-4$，
系数化为1，得$x=\frac{5n-4}{3}$。
因为两个方程是“兄弟方程”，所以它们的解互为相反数，即两个解的和为0，列方程得：
$\frac{2-3n}{2}+\frac{5n-4}{3}=0$，
去分母，两边同时乘6，得$3(2-3n)+2(5n-4)=0$，
去括号，得$6-9n+10n-8=0$，
合并同类项，得$n-2=0$，
解得$n=2$。
【答案】
$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
解一元一次方程、相反数的性质、新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的相反数等量关系，再按照一元一次方程的常规解法计算即可，解题时需注意移项、去括号等步骤的符号准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先明确“兄弟方程”的核心定义：两个一元一次方程的解互为相反数。解题可按三步展开：第一步，分别解两个关于x的一元一次方程，用含n的代数式表示出两个方程的解；第二步，根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于n的一元一次方程；第三步，解该方程即可得到n的值。
【解析】
解：先求解方程$2x+3n-2=0$，
移项，得$2x=2-3n$，
系数化为1，得$x=\frac{2-3n}{2}$。
再求解方程$3x-5n+4=0$，
移项，得$3x=5n-4$，
系数化为1，得$x=\frac{5n-4}{3}$。
因为两个方程是“兄弟方程”，所以它们的解互为相反数，即两个解的和为0，列方程得：
$\frac{2-3n}{2}+\frac{5n-4}{3}=0$，
去分母，两边同时乘6，得$3(2-3n)+2(5n-4)=0$，
去括号，得$6-9n+10n-8=0$，
合并同类项，得$n-2=0$，
解得$n=2$。
【答案】
$\boldsymbol{n=2}$
【知识点】
解一元一次方程、相反数的性质、新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的相反数等量关系，再按照一元一次方程的常规解法计算即可，解题时需注意移项、去括号等步骤的符号准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
12.小亮解方程$\frac{2x - 1}{5} + 1 = \frac{x + a}{2}$时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得方程的解为$x = 4$，请求出$a$的值和原方程的解。
答案
解：由题意知，$x=4$是方程$2(2x-1)+1=5(x+a)$的解。
把$x=4$代入，得$a=-1$。将$a=-1$代入原方程，得$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$。
去分母、去括号，得$4x-2+10=5x-5$。
移项、合并同类项，得$-x=-13$。
系数化为1，得$x=13$。
把$x=4$代入，得$a=-1$。将$a=-1$代入原方程，得$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$。
去分母、去括号，得$4x-2+10=5x-5$。
移项、合并同类项，得$-x=-13$。
系数化为1，得$x=13$。
解析
【分析】
解题时首先要明确小亮错误计算对应的方程：原方程去分母应两边同乘10，但小亮漏乘了左边的常数项1，因此他求解的错误方程是$2(2x-1)+1=5(x+a)$。已知$x=4$是这个错误方程的解，我们可以先将$x=4$代入错误方程求出$a$的值，再把$a$代回原方程，按照解一元一次方程的规范步骤求出原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据题意，$x=4$是错误方程$2(2x-1)+1=5(x+a)$的解，将$x=4$代入该方程：
$2×(2×4-1)+1=5×(4+a)$
计算左边得$2×7+1=15$，右边得$20+5a$，因此：
$15=20+5a$
移项计算得$5a=-5$，解得$a=-1$。
2. 求原方程的解：
把$a=-1$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$
两边同乘10去分母：
$2(2x-1)+10=5(x-1)$
去括号：
$4x-2+10=5x-5$
移项：
$4x-5x=-5+2-10$
合并同类项：
$-x=-13$
系数化为1：
$x=13$
【答案】
$a=-1$，原方程的解为$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母运算规则
【点评】
本题是一元一次方程的错解应用类题型，核心是理清错误的解对应错误变形后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解即可，解题时要注意去分母时方程所有项都要乘最简公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确小亮错误计算对应的方程：原方程去分母应两边同乘10，但小亮漏乘了左边的常数项1，因此他求解的错误方程是$2(2x-1)+1=5(x+a)$。已知$x=4$是这个错误方程的解，我们可以先将$x=4$代入错误方程求出$a$的值，再把$a$代回原方程，按照解一元一次方程的规范步骤求出原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据题意，$x=4$是错误方程$2(2x-1)+1=5(x+a)$的解，将$x=4$代入该方程：
$2×(2×4-1)+1=5×(4+a)$
计算左边得$2×7+1=15$，右边得$20+5a$，因此：
$15=20+5a$
移项计算得$5a=-5$，解得$a=-1$。
2. 求原方程的解：
把$a=-1$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$
两边同乘10去分母：
$2(2x-1)+10=5(x-1)$
去括号：
$4x-2+10=5x-5$
移项：
$4x-5x=-5+2-10$
合并同类项：
$-x=-13$
系数化为1：
$x=13$
【答案】
$a=-1$，原方程的解为$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；去分母运算规则
【点评】
本题是一元一次方程的错解应用类题型，核心是理清错误的解对应错误变形后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解即可，解题时要注意去分母时方程所有项都要乘最简公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
