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菱形的判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形;(2)四边
菱形的判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形;(2)四边
相等
的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直
的平行四边形是菱形。答案
2. 相等
3. 互相垂直
3. 互相垂直
解析
【分析】
本题考查菱形判定定理的识记，解题时需对应不同判定的前提条件匹配对应内容：首先明确菱形的三类判定分别从定义、普通四边形的边的特征、平行四边形的对角线特征三个维度出发，回忆对应定理的具体表述即可准确完成填空。
【解析】
根据菱形的判定定理内容：
(2) 针对普通四边形的边的判定规则为：四边相等的四边形是菱形，因此第一个空填写“相等”；
(3) 针对平行四边形的对角线的判定规则为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此第二个空填写“互相垂直”。
【答案】
相等；互相垂直
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对几何基础定理内容的记忆，熟练掌握各类图形的判定、性质定理是解决后续几何证明、计算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形判定定理的识记，解题时需对应不同判定的前提条件匹配对应内容：首先明确菱形的三类判定分别从定义、普通四边形的边的特征、平行四边形的对角线特征三个维度出发，回忆对应定理的具体表述即可准确完成填空。
【解析】
根据菱形的判定定理内容：
(2) 针对普通四边形的边的判定规则为：四边相等的四边形是菱形，因此第一个空填写“相等”；
(3) 针对平行四边形的对角线的判定规则为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此第二个空填写“互相垂直”。
【答案】
相等；互相垂直
【知识点】
菱形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对几何基础定理内容的记忆，熟练掌握各类图形的判定、性质定理是解决后续几何证明、计算类题目的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列选项中能使$□ ABCD$成为菱形的是(
A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AC=BD$
B
)。A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AC=BD$
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确题干已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为菱形，需结合平行四边形前提下菱形的判定定理分析：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再逐一判断每个选项的条件对应的特殊四边形类型，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边本来就相等，$AB=CD$是平行四边形的固有性质，无法判定它是菱形，故A错误；
B. $AB$和$BC$是平行四边形的一组邻边，$AB=BC$满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，故B正确；
C. $∠ BAD=90°$，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
D. $AC=BD$即对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是熟练区分在平行四边形的基础上，菱形和矩形的不同判定条件，避免混淆两类特殊平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.8
首先明确题干已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为菱形，需结合平行四边形前提下菱形的判定定理分析：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。再逐一判断每个选项的条件对应的特殊四边形类型，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 平行四边形的对边本来就相等，$AB=CD$是平行四边形的固有性质，无法判定它是菱形，故A错误；
B. $AB$和$BC$是平行四边形的一组邻边，$AB=BC$满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，故B正确；
C. $∠ BAD=90°$，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故C错误；
D. $AC=BD$即对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是熟练区分在平行四边形的基础上，菱形和矩形的不同判定条件，避免混淆两类特殊平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=9\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,将$CB$沿$BA$方向平移得到$EF$(点$F$在边$AB$上,点$E$在边$CD$上),则当$BF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时,四边形$DAFE$是菱形,依据是
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
。答案
2. 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析图形性质：首先根据平行四边形的性质可得AD的长度及CD与AB的平行关系，再根据平移的性质可推导出EF与AD的位置和数量关系，进而判断出四边形DAFE是平行四边形；接下来根据菱形的判定条件“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知只需让AF=AD即可，最后结合AB的长度计算BF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4cm，CD//AB，即DE//AF。
∵CB沿BA方向平移得到EF，
∴EF//BC，EF=BC=4cm，
又
∵BC//AD，
∴EF//AD，
∴四边形DAFE两组对边分别平行，是平行四边形。
若要平行四边形DAFE为菱形，需满足一组邻边相等，即AF=AD=4cm，
∵AB=9cm，
∴BF=AB-AF=9-4=5cm。
判定依据为：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【答案】
5；有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将平移、平行四边形、菱形的相关知识结合考查，解题的关键是先确定四边形DAFE为平行四边形，再结合菱形的判定条件求出对应线段的长度，熟练掌握相关性质和判定定理是解答此类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析图形性质：首先根据平行四边形的性质可得AD的长度及CD与AB的平行关系，再根据平移的性质可推导出EF与AD的位置和数量关系，进而判断出四边形DAFE是平行四边形；接下来根据菱形的判定条件“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知只需让AF=AD即可，最后结合AB的长度计算BF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4cm，CD//AB，即DE//AF。
∵CB沿BA方向平移得到EF，
∴EF//BC，EF=BC=4cm，
又
∵BC//AD，
∴EF//AD，
∴四边形DAFE两组对边分别平行，是平行四边形。
若要平行四边形DAFE为菱形，需满足一组邻边相等，即AF=AD=4cm，
∵AB=9cm，
∴BF=AB-AF=9-4=5cm。
判定依据为：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【答案】
5；有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将平移、平行四边形、菱形的相关知识结合考查，解题的关键是先确定四边形DAFE为平行四边形，再结合菱形的判定条件求出对应线段的长度，熟练掌握相关性质和判定定理是解答此类题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，把它沿底边$BC$翻折后，得到$△ DBC$，则四边形$ABDC$为
菱
形，理由是四边相等的四边形是菱形
。答案
3. 菱 四边相等的四边形是菱形
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用等腰三角形的性质得到△ABC的两条腰相等；第二步根据翻折的性质可知翻折前后的两个三角形全等，得到对应边相等的关系；第三步推导四边形ABDC的四条边的数量关系，最后结合菱形的判定定理即可得出结论。
【解析】
∵ △ABC是等腰三角形，底边为BC，
∴ AB=AC，
∵ 将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴ △ABC≌△DBC，
∴ AB=DB，AC=DC，
∴ AB=AC=DB=DC，即四边形ABDC的四条边都相等，
根据“四边相等的四边形是菱形”，可知四边形ABDC是菱形。
【答案】
菱；四边相等的四边形是菱形
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是熟练掌握翻折的性质以及菱形的判定定理，通过边的等量代换得到四边形四边相等的结论即可完成判断。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步先利用等腰三角形的性质得到△ABC的两条腰相等；第二步根据翻折的性质可知翻折前后的两个三角形全等，得到对应边相等的关系；第三步推导四边形ABDC的四条边的数量关系，最后结合菱形的判定定理即可得出结论。
【解析】
∵ △ABC是等腰三角形，底边为BC，
∴ AB=AC，
∵ 将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴ △ABC≌△DBC，
∴ AB=DB，AC=DC，
∴ AB=AC=DB=DC，即四边形ABDC的四条边都相等，
根据“四边相等的四边形是菱形”，可知四边形ABDC是菱形。
【答案】
菱；四边相等的四边形是菱形
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是熟练掌握翻折的性质以及菱形的判定定理，通过边的等量代换得到四边形四边相等的结论即可完成判断。
【难度系数】
0.9
4. 如图，$AC=8$，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D。依次连接A，B，C，D，A，连接BD交AC于点O。
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)求BD的长。
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)求BD的长。
答案
(1) 四边形ABCD为菱形。理由如下:由作法,得$AB = AD = CD = CB = 5$,$\therefore$ 四边形ABCD为菱形
(2) $\because$ 四边形ABCD为菱形,$\therefore OA = OC = \frac{1}{2}AC = 4$,$OB = OD$, $AC ⊥ BD$ 。在 $\mathrm{Rt } △ AOB$ 中, $OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$,$\therefore BD = 2OB = 6$
(2) $\because$ 四边形ABCD为菱形,$\therefore OA = OC = \frac{1}{2}AC = 4$,$OB = OD$, $AC ⊥ BD$ 。在 $\mathrm{Rt } △ AOB$ 中, $OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$,$\therefore BD = 2OB = 6$
解析
【分析】
(1)判断四边形形状时，先结合作图过程分析边长：以A、C为圆心5为半径作弧，交点到对应圆心的距离都等于半径，可推出四边形四条边相等，再结合菱形的判定定理即可得出结论。
(2)求BD的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB，确定AO的长度，再用勾股定理求出OB的长度，最后根据BD=2OB计算出BD的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD为菱形，理由如下：
由作图方法可得，$AB = AD = CB = CD = 5$，即四边形ABCD的四条边都相等，因此四边形ABCD为菱形。
(2) $\because$ 四边形ABCD为菱形，
$\therefore$ 对角线互相垂直平分，即$OA = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，$OB = OD$， $AC ⊥ BD$。
在 $\mathrm{Rt } △ AOB$ 中，根据勾股定理：
$OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16}=3$，
$\therefore BD = 2OB = 2×3=6$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形，理由见解析；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是明确作图的含义，熟练掌握菱形的相关性质，将所求线段转化到直角三角形中求解，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
(1)判断四边形形状时，先结合作图过程分析边长：以A、C为圆心5为半径作弧，交点到对应圆心的距离都等于半径，可推出四边形四条边相等，再结合菱形的判定定理即可得出结论。
(2)求BD的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB，确定AO的长度，再用勾股定理求出OB的长度，最后根据BD=2OB计算出BD的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD为菱形，理由如下：
由作图方法可得，$AB = AD = CB = CD = 5$，即四边形ABCD的四条边都相等，因此四边形ABCD为菱形。
(2) $\because$ 四边形ABCD为菱形，
$\therefore$ 对角线互相垂直平分，即$OA = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，$OB = OD$， $AC ⊥ BD$。
在 $\mathrm{Rt } △ AOB$ 中，根据勾股定理：
$OB = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16}=3$，
$\therefore BD = 2OB = 2×3=6$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形，理由见解析；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是明确作图的含义，熟练掌握菱形的相关性质，将所求线段转化到直角三角形中求解，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
