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5. 如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为点O,AB//CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是
$AB = CD$(答案不唯一)
。(只需写出一个条件即可)答案
5. $AB = CD$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：四边形ABCD中，AB//CD，且AC⊥BD，目标是使四边形为菱形。首先回忆菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，现有条件已经满足对角线垂直，因此只需先判定四边形ABCD是平行四边形即可。已知一组对边AB//CD，根据平行四边形的判定规则，只需添加“一组对边平行且相等”或“另一组对边平行”等条件，就能先判定其为平行四边形，进而结合对角线垂直的条件得到菱形，比如最直接的添加AB=CD即可。
【解析】
解：已知AB//CD，若添加条件AB=CD：
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形；
又
∵AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，
∴四边形ABCD为菱形。
注：也可添加AD//BC、OA=OC、OB=OD、AB=BC等合理条件，均可推出四边形ABCD为菱形。
【答案】
AB = CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是开放性条件补充题，核心考查平行四边形和菱形的判定定理，解题的关键是结合已知条件，灵活选择合适的判定路径补充条件，只要熟练掌握特殊四边形的判定规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：四边形ABCD中，AB//CD，且AC⊥BD，目标是使四边形为菱形。首先回忆菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，现有条件已经满足对角线垂直，因此只需先判定四边形ABCD是平行四边形即可。已知一组对边AB//CD，根据平行四边形的判定规则，只需添加“一组对边平行且相等”或“另一组对边平行”等条件，就能先判定其为平行四边形，进而结合对角线垂直的条件得到菱形，比如最直接的添加AB=CD即可。
【解析】
解：已知AB//CD，若添加条件AB=CD：
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形；
又
∵AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，
∴四边形ABCD为菱形。
注：也可添加AD//BC、OA=OC、OB=OD、AB=BC等合理条件，均可推出四边形ABCD为菱形。
【答案】
AB = CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是开放性条件补充题，核心考查平行四边形和菱形的判定定理，解题的关键是结合已知条件，灵活选择合适的判定路径补充条件，只要熟练掌握特殊四边形的判定规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，$AB=10$，$AC=12$，当$BD=$
16
时，$□ ABCD$是菱形。答案
6. 16
解析
【分析】
要使平行四边形ABCD成为菱形，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，让AC⊥BD即可。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质求出AO的长度，再在直角三角形AOB中借助勾股定理求出BO的长度，最后根据平行四边形对角线平分的性质得到BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，且BD = 2BO。
要使$□ABCD$是菱形，需AC⊥BD（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），此时∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，AB=10，AO=6，由勾股定理得：
BO = $\sqrt{AB^2 - AO^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = $\sqrt{64}$ = 8。
∴BD = 2BO = 2×8 = 16。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础常考题，核心是结合平行四边形的性质与菱形的判定条件，将问题转化为直角三角形的边长计算，解题时要熟练掌握特殊四边形的性质与判定，灵活运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.8
要使平行四边形ABCD成为菱形，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，让AC⊥BD即可。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质求出AO的长度，再在直角三角形AOB中借助勾股定理求出BO的长度，最后根据平行四边形对角线平分的性质得到BD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，且BD = 2BO。
要使$□ABCD$是菱形，需AC⊥BD（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），此时∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，AB=10，AO=6，由勾股定理得：
BO = $\sqrt{AB^2 - AO^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = $\sqrt{64}$ = 8。
∴BD = 2BO = 2×8 = 16。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础常考题，核心是结合平行四边形的性质与菱形的判定条件，将问题转化为直角三角形的边长计算，解题时要熟练掌握特殊四边形的性质与判定，灵活运用勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,H为BC的中点,E是AH上一点,延长AH至点F,使FH = EH。求证:四边形EBFC是菱形。
答案
$\because H$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore BH = HC$。又$\because AB = AC$,$\therefore AH ⊥ BC$。又$\because FH = EH$,$\therefore$ 四边形 $EBFC$ 是平行四边形。又 $\because AH ⊥ CB$,$\therefore$ 四边形 $EBFC$ 是菱形
解析
【分析】
要证明四边形EBFC是菱形，可按照“先证平行四边形，再证对角线垂直”的思路推导：首先由已知H是BC中点、FH=EH，可得出四边形EBFC的对角线互相平分，据此先判定它是平行四边形；再结合等腰三角形ABC的三线合一性质，得到对角线EF与BC垂直，最后根据菱形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
$\because H$ 为 $BC$ 的中点，
$\therefore BH = HC$。
又$\because AB = AC$，H是BC中点，
$\therefore AH ⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
又$\because FH = EH$，
$\therefore$ 四边形 $EBFC$ 的对角线互相平分，即四边形EBFC是平行四边形。
又 $\because AH ⊥ CB$（即$EF⊥BC$），
$\therefore$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形EBFC是菱形。
【答案】
四边形EBFC是菱形
【知识点】
等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，以及平行四边形、菱形的判定规则，就能顺利推导得出结论。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EBFC是菱形，可按照“先证平行四边形，再证对角线垂直”的思路推导：首先由已知H是BC中点、FH=EH，可得出四边形EBFC的对角线互相平分，据此先判定它是平行四边形；再结合等腰三角形ABC的三线合一性质，得到对角线EF与BC垂直，最后根据菱形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
$\because H$ 为 $BC$ 的中点，
$\therefore BH = HC$。
又$\because AB = AC$，H是BC中点，
$\therefore AH ⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
又$\because FH = EH$，
$\therefore$ 四边形 $EBFC$ 的对角线互相平分，即四边形EBFC是平行四边形。
又 $\because AH ⊥ CB$（即$EF⊥BC$），
$\therefore$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形EBFC是菱形。
【答案】
四边形EBFC是菱形
【知识点】
等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，以及平行四边形、菱形的判定规则，就能顺利推导得出结论。
【难度系数】
0.8
1. 下列说法正确的是(
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线的交点到各边距离相等的四边形是菱形
D
)。A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线的交点到各边距离相等的四边形是菱形
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道特殊四边形判定的概念辨析题，解题思路是先回忆菱形的定义和判定定理，再将每个选项与判定条件逐一比对，通过举反例排除错误选项，推导验证正确选项。首先明确菱形的核心判定条件：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边均相等的四边形。分析选项时要注意判定的前提条件是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 菱形的定义要求是“一组邻边相等的平行四边形”，仅说一组邻边相等的四边形，缺少“平行四边形”的前提，比如存在只有一组邻边相等的不规则四边形，不是菱形，故A错误；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，本选项混淆了矩形和菱形的判定条件，故B错误；
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，仅对角线互相垂直的四边形，缺少“平分”的前提，比如对角线垂直但不互相平分的不规则四边形不是菱形，故C错误；
D. 若对角线的交点到各边距离相等，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知两条对角线是四边形四个内角的角平分线，通过三角形全等可证得四边形四条边均相等，符合菱形的判定定理，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；角平分线的判定
【点评】
本题考查对菱形判定定理的掌握和辨析能力，易错点是忽略菱形判定的前提条件，混淆不同特殊四边形的判定性质，学习时要准确记清各类定理的适用范围。
【难度系数】
0.6
这是一道特殊四边形判定的概念辨析题，解题思路是先回忆菱形的定义和判定定理，再将每个选项与判定条件逐一比对，通过举反例排除错误选项，推导验证正确选项。首先明确菱形的核心判定条件：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边均相等的四边形。分析选项时要注意判定的前提条件是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 菱形的定义要求是“一组邻边相等的平行四边形”，仅说一组邻边相等的四边形，缺少“平行四边形”的前提，比如存在只有一组邻边相等的不规则四边形，不是菱形，故A错误；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，本选项混淆了矩形和菱形的判定条件，故B错误；
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，仅对角线互相垂直的四边形，缺少“平分”的前提，比如对角线垂直但不互相平分的不规则四边形不是菱形，故C错误；
D. 若对角线的交点到各边距离相等，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知两条对角线是四边形四个内角的角平分线，通过三角形全等可证得四边形四条边均相等，符合菱形的判定定理，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；角平分线的判定
【点评】
本题考查对菱形判定定理的掌握和辨析能力，易错点是忽略菱形判定的前提条件，混淆不同特殊四边形的判定性质，学习时要准确记清各类定理的适用范围。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$□ ABCD$中,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交AD于点F;再分别以点B,F为圆心,大于$\frac{1}{2}BF$的长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形。
(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若菱形ABEF的周长为16,$AE=4\sqrt{3}$,求$∠ C$的度数。
(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若菱形ABEF的周长为16,$AE=4\sqrt{3}$,求$∠ C$的度数。
答案
2. (1) 由尺规作图的过程可知,AB = AF,AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE = ∠EAF。
∵ 四边形ABCD 为平行四边形,
∴ BC//AD,
∴ ∠AEB = ∠EAF。
∴ ∠BAE = ∠AEB。
∴ AB = BE,
∴ BE = AF。
∴ 四边形ABEF 为平行四边形。
∵ AB = BE,
∴ 四边形ABEF 为菱形
(2) 如图,连接 BF,交 AE 于点 G。
∵ 菱形ABEF 的周长为 16,AE = 4√3,
∴ AB = BE = EF = AF = 4,AG = 2√3,BF = 2BG,AE ⊥ BF。在Rt△ABG中,AB = 4,AG = 2√3,
∴ BG = 2。
∴ BF = 4,
∴ AB = AF = BF,
∴ △ABF 是等边三角形。
∴ ∠BAF = 60°。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠C = ∠BAF = 60°
解析
【分析】
(1) 首先明确尺规作图的结论：作图可得AE是∠BAD的角平分线，且AB=AF。结合平行四边形ABCD中BC//AD的性质，可推导得∠BAE=∠AEB，进而得到AB=BE，推出BE与AF平行且相等，先判定四边形ABEF是平行四边形，再结合邻边AB=AF，即可证明其为菱形。
(2) 先根据菱形周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接BF交AE于点G，得到AG的长度与AE⊥BF的关系，在Rt△ABG中用勾股定理求出BG的长度，得到BF的长，可发现△ABF是等边三角形，求出∠BAF的度数，最后利用平行四边形对角相等的性质即可得到∠C的度数。
【解析】
(1) 由尺规作图的过程可知，AB = AF，AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠EAF。
∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴ BC//AD，
∴ ∠AEB = ∠EAF。
∴ ∠BAE = ∠AEB。
∴ AB = BE，
∴ BE = AF。
又
∵ BE//AF，
∴ 四边形ABEF 为平行四边形。
∵ AB = BE，
∴ 四边形ABEF 为菱形。
(2) 连接 BF，交 AE 于点 G。
∵ 菱形ABEF 的周长为 16，AE = 4√3，
∴ AB = BE = EF = AF = 4，AG = $\frac{1}{2}$AE = 2√3，BF = 2BG，且AE ⊥ BF。
在Rt△ABG中，AB = 4，AG = 2√3，
由勾股定理得：$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$，
∴ BF = 2BG = 4，
∴ AB = AF = BF = 4，
∴ △ABF 是等边三角形，
∴ ∠BAF = 60°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠C = ∠BAF = 60°。
【答案】
(1) 由尺规作图的过程可知,AB = AF,AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE = ∠EAF。
∵ 四边形ABCD 为平行四边形,
∴ BC//AD,
∴ ∠AEB = ∠EAF。
∴ ∠BAE = ∠AEB。
∴ AB = BE,
∴ BE = AF。
∴ 四边形ABEF 为平行四边形。
∵ AB = BE,
∴ 四边形ABEF 为菱形
(2) 如图,连接 BF,交 AE 于点 G。
∵ 菱形ABEF 的周长为 16,AE = 4√3,
∴ AB = BE = EF = AF = 4,AG = 2√3,BF = 2BG,AE ⊥ BF。在Rt△ABG中,AB = 4,AG = 2√3,
∴ BG = 2。
∴ BF = 4,
∴ AB = AF = BF,
∴ △ABF 是等边三角形。
∴ ∠BAF = 60°。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠C = ∠BAF = 60°
【知识点】
1. 菱形的判定与性质
2. 平行四边形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的相关知识，解题的关键是明确作图的含义，熟练掌握平行四边形、菱形的性质与判定定理，整体侧重对基础知识点的应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确尺规作图的结论：作图可得AE是∠BAD的角平分线，且AB=AF。结合平行四边形ABCD中BC//AD的性质，可推导得∠BAE=∠AEB，进而得到AB=BE，推出BE与AF平行且相等，先判定四边形ABEF是平行四边形，再结合邻边AB=AF，即可证明其为菱形。
(2) 先根据菱形周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接BF交AE于点G，得到AG的长度与AE⊥BF的关系，在Rt△ABG中用勾股定理求出BG的长度，得到BF的长，可发现△ABF是等边三角形，求出∠BAF的度数，最后利用平行四边形对角相等的性质即可得到∠C的度数。
【解析】
(1) 由尺规作图的过程可知，AB = AF，AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠EAF。
∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴ BC//AD，
∴ ∠AEB = ∠EAF。
∴ ∠BAE = ∠AEB。
∴ AB = BE，
∴ BE = AF。
又
∵ BE//AF，
∴ 四边形ABEF 为平行四边形。
∵ AB = BE，
∴ 四边形ABEF 为菱形。
(2) 连接 BF，交 AE 于点 G。
∵ 菱形ABEF 的周长为 16，AE = 4√3，
∴ AB = BE = EF = AF = 4，AG = $\frac{1}{2}$AE = 2√3，BF = 2BG，且AE ⊥ BF。
在Rt△ABG中，AB = 4，AG = 2√3，
由勾股定理得：$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=2$，
∴ BF = 2BG = 4，
∴ AB = AF = BF = 4，
∴ △ABF 是等边三角形，
∴ ∠BAF = 60°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠C = ∠BAF = 60°。
【答案】
(1) 由尺规作图的过程可知,AB = AF,AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE = ∠EAF。
∵ 四边形ABCD 为平行四边形,
∴ BC//AD,
∴ ∠AEB = ∠EAF。
∴ ∠BAE = ∠AEB。
∴ AB = BE,
∴ BE = AF。
∴ 四边形ABEF 为平行四边形。
∵ AB = BE,
∴ 四边形ABEF 为菱形
(2) 如图,连接 BF,交 AE 于点 G。
∵ 菱形ABEF 的周长为 16,AE = 4√3,
∴ AB = BE = EF = AF = 4,AG = 2√3,BF = 2BG,AE ⊥ BF。在Rt△ABG中,AB = 4,AG = 2√3,
∴ BG = 2。
∴ BF = 4,
∴ AB = AF = BF,
∴ △ABF 是等边三角形。
∴ ∠BAF = 60°。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠C = ∠BAF = 60°
【知识点】
1. 菱形的判定与性质
2. 平行四边形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的相关知识，解题的关键是明确作图的含义，熟练掌握平行四边形、菱形的性质与判定定理，整体侧重对基础知识点的应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
